Тэарэма Беры — Эсеена

У тэорыі імавернасцей цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што пры пэўных умовах размеркаванне імавернасцей сярэдняга значэння выпадковай выбаркі збягаецца  (англ.) к нармальнаму размеркаванню пры нарастанні аб'ёму выбаркі да бесканечнасці. Пры больш моцных дапушчэннях, тэарэма Беры — Эсеена (або няроўнасць Беры — Эсеена) колькасна ацэньвае скорасць, з якою гэта збежнасць адбываецца, даючы ацэнку найбольшай пагрэшнасці прыбліжэння сапраўднага размеркавання нармальным. Прыбліжэнне ацэньваецца па адлегласці Калмагорава — Смірнова. У выпадку незалежных выбарак скорасць збежнасці мае парадак n^−1/2, дзе n — аб'ём выбаркі, а пастаянная ацэньваецца праз трэція абсалютныя нарміраваныя моманты.

Сцвярджэнне тэарэмы

Фармулёўкі тэарэмы могуць адрознівацца, бо яна была адкрыта незалежна двума матэматыкамі: Эндру Беры (у 1941) і Карлам-Густавам Эсеенам  (англ.) (1942), які затым, разам з іншымі аўтарамі, некалькі разоў паляпшаў тэарэму на працягу наступных дзесяцігоддзяў.

Аднолькава размеркаваныя складнікі

Адзін з варыянтаў, які ў нечым ахвяруе агульнасцю дзеля яснасці, гучыць наступным чынам:

Няхай X₁, X₂, …, — незалежныя і аднолькава размеркаваныя выпадковыя велічыні з E(X_i) = 0, E(X2i) = σ² > 0, і E(|X_i|³) = ρ < ∞. Вызначым выбарачнае сярэдняе:

${\displaystyle Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}.}$

Няхай F_n ёсць функцыя размеркавання велічыні

${\displaystyle {Y_{n}{\sqrt {n}} \over {\sigma }},}$

а Φ ёсць функцыя стандартнага нармальнага размеркавання.

Тады існуе дадатная пастаянная C такая, што для ўсіх x і n справядліва няроўнасць

${\displaystyle \left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {C\rho \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}}.\ \ \ \ (1)}$

Ілюстрацыя рознасці паміж упамянутымі ў тэарэме функцыямі размеркавання.

Гэта значыць: зададзена паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь  (англ.) з нулявым спадзяваннем і дадатнаю дысперсіяй, і, акрамя таго, з канечным трэцім абсалютным момантам. Тады функцыі размеркавання ўнармаванага выбарачнага сярэдняга і стандартнай нармальнай велічыні адрозніваюцца не больш чым на вызначаную велічыню. Варта заўважыць, што хібнасць прыбліжэння для ўсіх n абмежавана велічынёю парадку n^−1/2.

На працягу гадоў вылічаныя значэнні пастаяннай C прыкметна панізіліся са значэння 7.59, атрыманага Эсеенам^[1], да 0.7882, атрыманага ван-Беекам^[2], пасля 0.7655^[3], тады 0.7056^[4], затым 0.7005^[5], потым 0.5894^[6], пазней 0.5129^[7], затым 0.4785^[8]. Падрабязны агляд можна знайсці ў артыкулах^[7][9]. Найлепшая ацэнка на 2012 год, C < 0.4748, вынікае з няроўнасці

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {0.33554(\rho +0.415\sigma ^{3}) \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}},}$

даказанай Шаўцовай^[10], пры ўліку суадносін σ³ ≤ ρ і 0.33554 · 1.415 < 0.4748. Аднак, калі ρ ≥ 1.286σ³, тады ацэнка

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {0.3328(\rho +0.429\sigma ^{3}) \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}},}$

якая таксама даказана Шаўцовай^[10], дае яшчэ стражэйшую верхнюю ацэнку.

Эсеен^[11] атрымаў ніжнюю мяжу для пастаяннай

${\displaystyle C\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}\approx 0.40973\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}+0.01079.}$

Рознаразмеркаваныя складнікі

Няхай X₁, X₂, …, — незалежныя выпадковыя велічыні з E(X_i) = 0, E(X_i²) = σ_i² > 0, і E(|X_i|³) = ρ_i < ∞. Таксама няхай

${\displaystyle S_{n}={X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \over {\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2}}}}}$

унармаваная n-я частковая сума. Абазначым F_n функцыю размеркавання велічыні S_n, а сімвалам Φ — функцыю стандартнага нармальнага размеркавання. Дзеля зручнасці абазначым

${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},...,\sigma _{n}),\ {\vec {\rho }}=(\rho _{1},...,\rho _{n}).}$

У 1941 Эндру Беры даказаў, што для ўсіх n існуе абсалютная пастаянная C₁, такая што

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq C_{1}\cdot \psi _{1},\ \ \ \ (2)}$

дзе

${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}{\big (}{\vec {\sigma }},{\vec {\rho }}{\big )}={\Big (}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}{\Big )}^{-1/2}\cdot \max _{1\leq i\leq n}{\frac {\rho _{i}}{\sigma _{i}^{2}}}.}$

Незалежна, у 1942 годзе, Карл Густаў Эсеен даказаў, што для любых n існуе абсалютная пастаянная C₀, такая што

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq C_{0}\cdot \psi _{0},\ \ \ \ (3)}$

дзе

${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{0}{\big (}{\vec {\sigma }},{\vec {\rho }}{\big )}={\Big (}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}{\Big )}^{-3/2}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}\rho _{i}.}$

Лёгка пераканацца, што ψ₀≤ψ₁. Таму няроўнасць (3) прынята называць няроўнасцю Беры-Эсеена, велічыня ψ₀ называецца дробам Ляпунова трэцяга парадку. Больш таго, у выпадку, калі ўсе складнікі X₁,… X_n размеркаваны аднолькава

${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}={\frac {\rho _{1}}{\sigma _{1}^{3}{\sqrt {n}}}},}$

ацэнкі з няроўнасцей (1), (2) і (3) супадаюць.

Адносна C₀, відавочна, ніжняя мяжа, устаноўленая Эсеенам^[11], застаецца ў сіле:

${\displaystyle C_{0}\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}=0.4097\ldots .}$

Верхнія межы для C₀ пазней былі паніжаны ад зыходнай ацэнкі 7.59 Эсеена^[1] да (тут пералічваюцца толькі нядаўнія вынікі) 0.9051 Залатарова^[12], 0.7975 ван-Беека^[2], 0.7915 Шыганава^[3], 0.6379 і 0.5606 Цюрына^[6][8]. На 2011 год найлепшая ацэнка 0.5600 атрымана Шаўцовай^[13].

Гл. таксама

• Цэнтральная гранічная тэарэма
• Няроўнасць Чарнова  (англ.)
• Рад Эджворта  (англ.)