Цэнтральная лімітавая тэарэма

Цэнтра́льная лімітавая тэарэма — агульная назва шэрага тэарэм у тэорыі імавернасцей, якія сцвярджаюць, што сума дастаткова вялікай колькасці слаба залежных выпадковых велічынь, у якіх прыкладна аднолькавыя маштабы (ні адзін са складнікаў не пераважвае, не ўносіць у суму вызначальнага ўкладу), мае размеркаванне, блізкае да нармальнага.

Многія выпадковыя велічыні ў прыкладаннях фарміруюцца пад уплывам некалькіх слаба залежных выпадковых фактараў, таму іх размеркаванне лічаць нармальным. Пры гэтым павінна выконвацца ўмова, што ні адзін з фактараў не пераважвае. Цэнтральныя лімітавыя тэарэмы ў гэтых выпадках абгрунтоўваюць прымяненне нармальнага размеркавання.

Класічная цэнтральная лімітавая тэарэма

Няхай X₁, ..., X_n, ... — паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з канечным матэматычным спадзяваннем µ і дысперсіяй σ². Няхай таксама

${\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}.}$

Тады^[1]

${\displaystyle {\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}\to N(0,1)}$ па размеркаванню пры ${\displaystyle n\to \infty ,}$

дзе ${\displaystyle N(0,1)}$ — нармальнае размеркаванне з нулявым матэматычным спадзяваннем і стандартным адхіленнем, роўным адзінцы.

Заўвагі

Абазначыўшы сімвалам ${\displaystyle {\bar {X}}}$ выбарачнае сярэдняе першых ${\displaystyle n}$ велічынь:

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i},}$

вынік цэнтральнай лімітавай тэарэмы можна перапісаць у наступным выглядзе:

${\displaystyle {\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)}$ па размеркаванню пры ${\displaystyle n\to \infty }$.

Скорасць збежнасці можна ацаніць з дапамогаю няроўнасці Беры — Эсеена.

• Кажучы прасцей, класічная цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што сума ${\displaystyle n}$ незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь мае размеркаванне блізкае да ${\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^{2}).}$ Ці, што тое самае, ${\displaystyle {\bar {X}}}$ мае размеркаванне блізкае да ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}/n).}$
• Паколькі функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання непарыўная, збежнасць к гэтаму размеркаванню раўназначная папунктавай збежнасці функцый размеркавання к функцыі размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання. Прымаючы ${\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}}$, атрымліваем ${\displaystyle F_{Z_{n}}(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb {R} }$, дзе ${\displaystyle \Phi (x)}$ — функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання.
• Цэнтральная лімітавая тэарэма ў класічнай фармулёўцы даказваецца метадам характарыстычных функцый (тэарэма Леві аб непарыўнасці).
• Увогуле кажучы, са збежнасці функцый размеркавання не выцякае збежнасць шчыльнасцей. Тым не менш у дадзеным класічным выпадку гэта мае месца (пры ўмове, што для размеркавання велічынь X_i можна вызначыць шчыльнасць).

Лакальная цэнтральная лімітавая тэарэма

У дапушчэннях класічнае фармулёўкі, дапусцім у дадатак, што размеркаванне выпадковых велічынь ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ абсалютна непарыўнае, г. зн. мае шчыльнасць. Тады размеркаванне ${\displaystyle Z_{n}}$ таксама абсалютна непарыўнае, і больш таго,

${\displaystyle f_{Z_{n}}(x)\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ пры ${\displaystyle n\to \infty }$,

дзе ${\displaystyle f_{Z_{n}}(x)}$ — шчыльнасць выпадковае велічыні ${\displaystyle Z_{n}}$, а ў правай частцы стаіць шчыльнасць стандартнага нармальнага размеркавання.

Абагульненні

Вынік класічнай цэнтральнай лімітавай тэарэмы верны для выпадкаў, значна больш агульных, чым выпадак поўнай незалежнасці і аднолькавага размеркавання.

Цэнтральная лімітавая тэарэма Ляпунова

Ляпуноў сфармуляваў і даказаў гэту тэарэму ў 1901 годзе.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні {X_i} маюць канечныя матэматычныя спадзяванні μ_i і дысперсіі σ2i і абсалютныя моманты E[|X_i − μ_i|^2+δ]. Няхай

${\displaystyle B_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2},}$

${\displaystyle r_{n}^{2+\delta }=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[|X_{i}-\mu _{i}|^{2+\delta }\right].}$

Няхай выконваецца умова Ляпунова:

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {r_{n}^{2+\delta }}{B_{n}^{2+\delta }}}=0.}$

Тады^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{B_{n}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})\to N(0,1)}$ па размеркаванню пры ${\displaystyle n\to \infty }$.

Цэнтральная лімітавая тэарэма Ліндэберга

Ліндэберг даказаў свой варыянт цэнтральнай лімітавай тэарэмы ў 1920-х гадах.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні X₁, ..., X_n, ... вызначаны на адной імавернаснай прасторы і маюць канечныя матэматычныя спадзяванні і дысперсіі:

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{i}]=\mu _{i},\quad \mathrm {D} [X_{i}]=\sigma _{i}^{2}.}$

Няхай

${\displaystyle B_{n}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}.}$

І няхай выконваецца ўмова Ліндэберга: г. зн. для любога ε > 0

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{B_{n}^{2}}}\sum \limits _{i=1}^{n}\int \limits _{|x-\mu _{i}|>\varepsilon B_{n}}(x-\mu _{i})^{2}\,dF_{i}(x)=0,}$

дзе F_i(x) — функцыя размеркавання велічыні X_i .

Тады^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{B_{n}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})\to N(0,1)}$ па размеркаванню пры ${\displaystyle n\to \infty }$.

Заўвагі

• З лінейнасці матэматычнага спадзявання маем

  ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}\mu _{i}.}$

• Велічыні X_i незалежныя, таму

  ${\displaystyle \mathrm {D} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}=B_{n}^{2}.}$

• Умову Ліндэберга можна перапісаць у наступным відзе:

  ${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{B_{n}^{2}}}\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{i}-\mu _{i})^{2}\,\mathbf {1} _{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon B_{n}\}}\right]=0,}$

  дзе ${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\dots \}}}$ — індыкатарная функцыя  (англ.).

Цэнтральная лімітавая тэарэма для мартынгалаў

Няхай працэс ${\displaystyle (X_{t})_{t\in \mathbb {N} }}$ з'яўляецца мартынгалам  (англ.) з абмежаванымі прырашчэннямі, г. зн. для ўсіх t

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X_{t+1}-X_{t}\mid X_{1},\ldots ,X_{t}\right]=0,}$

і існуе такая пастаянная C, што для ўсіх t амаль напэўна  (англ.) справядліва няроўнасць

${\displaystyle |X_{t+1}-X_{t}|\leq C.}$

Будзем таксама лічыць, што ${\displaystyle |X_{1}|\leq C.}$

Няхай

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\mathbb {E} \left[(X_{t}-X_{t-1})^{2}\mid X_{1},\ldots ,X_{t-1}\right],}$

і рад з σ2i разбягаецца з імавернасцю 1  (англ.):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sigma _{i}^{2}=\infty .}$

Няхай

${\displaystyle \tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{t}^{2}\geq \nu \right\}.}$

Тады^[3]

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}\to N(0,1)}$ па размеркаванню пры ${\displaystyle n\to \infty }$.

Гл. таксама

• Закон вялікіх лікаў
• Закон паўторнага лагарыфма
• Тэарэма Беры — Эсеена
• Тэарэма Эрдзёша — Каца