Умоўнае размеркаванне імавернасцей

Умоўнае размеркаванне імавернасцей — размеркаванне выпадковай велічыні пры ўмове, што здзейснілася некаторая выпадковая падзея.

Азначэнне

Параўнанне шчыльнасці і ўмоўнай шчыльнасці (зверху), а таксама функцыі размеркавання і ўмоўнай функцыі размеркавання (знізу). Для прыкладу ўзята нармальнае размеркаванне і яно ж пры ўмове ${\displaystyle X>0.}$

Умоўная функцыя размеркавання

Умоўнай функцыяй размеркавання велічыні ${\displaystyle X}$ адносна падзеі ${\displaystyle A}$ называецца функцыя

${\displaystyle F_{X}(x|A):={\frac {P(\{X<x\}\cap A)}{P(A)}},}$

азначаная, калі ${\displaystyle P(A)>0}$^[1].

Умоўная шчыльнасць размеркавання

Калі ${\displaystyle F_{X}(x|A)}$ абсалютна непарыўная, то існуе такая функцыя ${\displaystyle f_{X},}$ для якой выконваецца роўнасць

${\displaystyle F_{X}(x|A)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t|A)dt.}$

Гэтая функцыя завецца ўмоўнай шчыльнасцю размеркавання^[1].

Для ўмоўнай шчыльнасці і функцыі размеркавання выконваюцца тыя ж уласцівасці, што і для звычайных шчыльнасці і фукнцыі размеркавання^[1].

Умоўныя моманты выпадковай велічыні

Умоўнымі момантамі выпадковай велічыні называюцца моманты, вылічаныя на ўмоўнай функцыі размеркавання^[1].

Адзін з такіх момантаў — умоўнае матэматычнае спадзяванне, што задаецца формулай^[1]

${\displaystyle \mathbb {E} [X|A]=\int _{\mathbb {R} }xdF_{X}(x|A).}$

Калі выпадковая велічыня ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ зададзена на імавернаснай прасторы ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$, то ўмоўнае матэматычнае спадзяванне можна запісаць як^[2]

${\displaystyle \mathbb {E} [X|A]={\frac {1}{P(A)}}\int _{A}X(\omega )dP(\omega ).}$

Гл. таксама

• Умоўная імавернасць
• Ссечанае размеркаванне