Verkettungszeichen

Dieser Artikel behandelt das Verkettungszeichen als mathematischen Operator, für das Pipe-Symbol in der EDV siehe senkrechter Strich.

Das Verkettungszeichen (${\displaystyle \circ }$), auch als Kreisoperator bezeichnet, Sprechweise auch Kringel, ist ein mathematisches Zeichen, das die Verkettung zweier Funktionen, Relationen oder Wörter ausdrückt. Besteht keine Verwechslungsgefahr mit der Multiplikation, wird es oft auch weggelassen.

∘
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen	+
Minuszeichen	−, ⁒
Malzeichen	⋅, ×
Geteiltzeichen	:, ÷, /
Plusminuszeichen	±, ∓
Vergleichszeichen	<, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen	√
Prozentzeichen	%
Analysis
Summenzeichen	Σ
Produktzeichen	Π
Differenzzeichen, Nabla	∆, ∇
Prime	′
Partielles Differential	∂
Integralzeichen	∫
Verkettungszeichen	∘
Unendlichzeichen	∞
Geometrie
Winkelzeichen	∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel	⊥, ∥
Dreieck, Viereck	△, □
Durchmesserzeichen	⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt	∪, ∩
Differenz, Komplement	∖, ∁
Elementzeichen	∈
Teilmenge, Obermenge	⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge	∅
Logik
Folgepfeil	⇒, ⇔, ⇐
Allquantor	∀
Existenzquantor	∃
Konjunktion, Disjunktion	∧, ∨
Negationszeichen	¬

Verwendung

Verkettung von Funktionen

Das Verkettungszeichen wird häufig als mathematischer Operator für die Hintereinanderausführung von Funktionen verwendet. Sind ${\displaystyle A,B,C}$ Mengen und ${\displaystyle f\colon A\to B}$ sowie ${\displaystyle g\colon B\to C}$ Funktionen, dann wird die Verkettung von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ durch

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

notiert. Der Ausdruck „${\displaystyle g\circ f}$“ wird als „${\displaystyle g}$ verknüpft mit ${\displaystyle f}$“, „${\displaystyle g}$ komponiert mit ${\displaystyle f}$“, „${\displaystyle g}$ nach ${\displaystyle f}$“ oder „${\displaystyle g}$ Kringel ${\displaystyle f}$“ gelesen.^[1][2][3] Bei der Notation ist darauf zu achten, dass die Komposition ${\displaystyle g\circ f}$ von rechts nach links durchgeführt wird, das heißt erst ${\displaystyle f}$ und dann ${\displaystyle g}$ angewandt wird. Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und ${\displaystyle (f\circ g)(x)=g(f(x))}$ geschrieben.

Verkettung von Relationen

Allgemeiner wird das Verkettungszeichen als Operator für die Verkettung binärer Relationen verwendet. Sind wieder ${\displaystyle A,B,C}$ Mengen und ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ sowie ${\displaystyle S\subseteq B\times C}$ binäre Relationen, dann wird die Verkettung von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ durch

${\displaystyle S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\mid \exists ~b\in B:(a,b)\in R\land (b,c)\in S\}}$

notiert. Das Resultat nennt man Relationsprodukt oder relatives Produkt. Auch hier wird gelegentlich die umgekehrte Reihung ${\displaystyle R\circ S}$ verwendet.

Verkettung von Wörtern

In der theoretischen Informatik wird das Verkettungszeichen für die Konkatenation von Wörtern verwendet. Sind ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ und ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{k})}$ zwei Wörter über einem Alphabet, dann wird die Konkatenation von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ durch

${\displaystyle x\circ y=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{k})}$

notiert. Hierbei ist ${\displaystyle x}$ das Präfix und ${\displaystyle y}$ das Suffix des Resultats der Konkatenation. Die Konkatenation von Wörtern ist dabei ein Spezialfall einer Konkatenation von Mengen.

Binäre Verknüpfungen

Noch allgemeiner wird das Verkettungszeichen manchmal neben den Zeichen ${\displaystyle \bullet }$, ${\displaystyle \ast }$ und ${\displaystyle \cdot }$ als Platzhalter für binäre Verknüpfungen allgemeiner algebraischer Strukturen eingesetzt.

Darstellung auf dem Computer

Kodierung

Das Verkettungszeichen wird folgendermaßen definiert und kodiert:

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX

Zeichen	Unicode		Bezeichnung	HTML			LaTeX
	Position	Bezeichnung		hexadezimal	dezimal	benannt
∘	U+2218	ring operator	Kreisoperator	∘	∘		\circ

Ähnliche Zeichen

Ähnliche und verwandte Zeichen –
mit folgenden Zeichen besteht zum Teil Verwechslungsgefahr

Zeichen	Unicode		Name
	Position	Bezeichnung
o	U+006F	latin small letter o	Lateinischer Kleinbuchstabe o
°	U+00B0	degree sign	Gradzeichen
ο	U+03BF	greek small letter omicron	Griechischer Kleinbuchstabe ο
о	U+043E	cyrillic small letter о	Kyrillischer Kleinbuchstabe о
ₒ	U+2092	latin subscript small letter o	Tiefgestellter lateinischer Kleinbuchstabe o
○	U+25CB	white circle	Weißer Kreis
◦	U+25E6	white bullet	Weißes Aufzählungszeichen
⚬	U+26AC	medium small white circle	Mittlerer kleiner weißer Kreis
。	U+3002	ideographic full stop	Satzende in CJK-Schriftarten