Integralzeichen

Das Integralzeichen ${\displaystyle \textstyle \int }$ ist aus dem Buchstaben langes s („ſ“) als Abkürzung für das Wort Summe, lateinisch ſumma, entstanden. Diese symbolische Schreibweise von Integralen geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück. Für das Integralzeichen gibt es eine Reihe von Abwandlungen, unter anderem für Mehrfachintegrale, Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale und Volumenintegrale.

∫
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen	+
Minuszeichen	−, ⁒
Malzeichen	⋅, ×
Geteiltzeichen	:, ÷, /
Plusminuszeichen	±, ∓
Vergleichszeichen	<, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen	√
Prozentzeichen	%
Analysis
Summenzeichen	Σ
Produktzeichen	Π
Differenzzeichen, Nabla	∆, ∇
Prime	′
Partielles Differential	∂
Integralzeichen	∫
Verkettungszeichen	∘
Unendlichzeichen	∞
Geometrie
Winkelzeichen	∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel	⊥, ∥
Dreieck, Viereck	△, □
Durchmesserzeichen	⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt	∪, ∩
Differenz, Komplement	∖, ∁
Elementzeichen	∈
Teilmenge, Obermenge	⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge	∅
Logik
Folgepfeil	⇒, ⇔, ⇐
Allquantor	∀
Existenzquantor	∃
Konjunktion, Disjunktion	∧, ∨
Negationszeichen	¬

Geschichte

Leibniz erwähnte in einem später veröffentlichten Manuskript Analysis tetragonistica vom 29. Oktober 1675 erstmals das Integralzeichen.^[1]

„Utile erit scripsisse ∫ pro omnia“

„Es wird nützlich sein, ∫ für omnia zu schreiben“

Omnia steht dabei für omnia l und wird in dem geometrisch orientierten Flächenberechnungsverfahren von Bonaventura Cavalieri verwendet. Die zugehörige gedruckte Veröffentlichung Leibniz’ ist De geometria recondita et analysi indivisibilium et infinitorum (lat. für „Über eine verborgene Geometrie und die Analyse des Unteilbaren und des Unendlichen“), aus dem Jahr 1686. Damals nannte er die Integralrechnung noch calculus summatorius, deshalb das lange S. Auch Johann I Bernoulli beschäftigte sich zu der Zeit mit dem Thema, und da Leibniz einheitliche wissenschaftliche Zeichen anstrebte, diskutierten sie darüber. So blieb das Zeichen von Leibniz und der Name calculus integralis, Integralrechnung, von Bernoulli.^[2]

Verwendung

Das Integral einer reellen Funktion ${\displaystyle f}$ bezüglich der Variablen ${\displaystyle x}$ über das Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ wird durch

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x}$

notiert. Die multiplikativ zu lesende Notation ${\displaystyle f(x)\;\mathrm {d} x}$ deutet dabei an, wie sich die Integraloperation aus Streifen der Höhe ${\displaystyle f(x)}$ und der infinitesimalen Breite ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ zur Fläche unter der Funktion summiert.

Traditionen des Formelsatzes

In den verschiedenen Traditionen des Formelsatzes haben sich leicht unterschiedliche Formen des Integralzeichens eingebürgert. Im amerikanischen und sonstigen englischsprachigen Raum ist das Integralzeichen nach vorne geneigt. Im deutschen Formelsatz wird eine Variante verwendet, bei der der Steg vertikal ist. Im russischsprachigen/osteuropäischen Raum hat sich eine Formvariante etabliert in der das Integralzeichen nach hinten geneigt ist.^[3]

• 
  Amerikanische Form des Integralzeichens
• 
  Deutsche Form des Integralzeichens
• 
  Russische Formvariante des Integralzeichens

Außerdem werden im amerikanischen Satz in Textformeln die oberen und unteren Grenzen rechts des Integralzeichens angeordnet, um störende Zeilenabstände einzuschränken,

${\displaystyle \int _{0}^{T}f(t)\;\mathrm {d} t,}$

während in deutscher Tradition

${\displaystyle \int \limits _{0}^{T}f(t)\;\mathrm {d} t}$

üblich ist. Auch sind Integrale in Textformeln immer kleiner als in abgesetzten Formeln.

Kodierung

Das Integralzeichen und seine Abwandlungen werden in Computersystemen folgendermaßen kodiert.

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX

Zeichen	Unicode		Bezeichnung	HTML			LaTeX[4]
	Position	Bezeichnung		hexadezimal	dezimal	benannt
∫	U+222B	integral	Integral	∫	∫	∫	\int
∬	U+222C	double integral	Doppelintegral	∬	∬		\iint
∭	U+222D	triple integral	Dreifachintegral	∭	∭		\iiint
∮	U+222E	contour integral	Kurvenintegral	∮	∮		\oint
∯	U+222F	surface integral	Oberflächenintegral	∯	∯		\oiint
∰	U+2230	volume integral	Volumenintegral	∰	∰		\oiiint
∱	U+2231	clockwise integral	rechtsläufiges Integral	∱	∱		\intclockwise
∲	U+2232	clockwise contour integral	rechtsläufiges Kurvenintegral	∲	∲		\ointclockwise
∳	U+2233	anticlockwise contour integral	linksläufiges Kurvenintegral	∳	∳		\ointctrclockwise
⌠	U+2320	top half integral	obere Hälfte eines Integrals	⌠	⌠
⌡	U+2321	bottom half integral	untere Hälfte eines Integrals	⌡	⌡
⎮	U+23AE	integral extension	Erweiterung eines Integrals	⎮	⎮
⨋	U+2A0B	summation with integral	Integralsumme	⨋	⨋		\sumint
⨌	U+2A0C	quadruple integral operator	Vierfachintegral	⨌	⨌		\iiiint
⨍	U+2A0D	finite part integral	Integral mit endlichem Teil	⨍	⨍		\dashint
⨎	U+2A0E	integral with double stroke	Integral mit Doppelstrich	⨎	⨎		\ddashint
⨏	U+2A0F	integral average with slash	Mittelwertintegral mit Querstrich	⨏	⨏		\strokedint
⨑	U+2A11	anticlockwise integration	linksläufiges Integral	⨑	⨑		\intctrclockwise
⨕	U+2A15	integral around a point operator	Integral um einen Punkt	⨕	⨕
⨖	U+2A16	quaternion integral operator	Quaternionenintegral	⨖	⨖		\sqint
⨗	U+2A17	integral with leftwards arrow with hook	Integral mit Linkspfeil mit Haken	⨗	⨗
⨘	U+2A18	integral with times sign	Integral mit Malzeichen	⨘	⨘
⨙	U+2A19	integral with intersection	Integral mit Durchschnitt	⨙	⨙		\landdownint
⨚	U+2A1A	integral with union	Integral mit Vereinigung	⨚	⨚		\landupint
⨛	U+2A1B	integral with overbar	Integral mit Überstrich	⨛	⨛
⨜	U+2A1C	integral with underbar	Integral mit Unterstrich	⨜	⨜

Weblinks

Commons: Mathematical integration symbols – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Integralzeichen – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen