Tensor

Tensor

Tensor on <a href="/et/Lineaaralgebra" title="Lineaaralgebra" class="wl">lineaaralgebras</a> <a href="/et/Matemaatiline_objekt" title="Matemaatiline objekt" class="wl">matemaatiline objekt</a>, mis üldistab <a href="/et/Skalaar" title="Skalaar" class="wl">skalaari</a>, <a href="/et/Vektor" title="Vektor" class="wl">vektori</a>, <a href="/et/Maatriks" title="Maatriks" class="wl">maatriksi</a> ja bilineaarse vormi mõistet. 

<figure class="mw-default-size wiki-thumb"><a href="/et/Fail:Components_stress_tensor_cartesian.svg" class="mw-file-description image media-thumb" data-hash="Fail:Components_stress_tensor_cartesian.svg"><img loading="lazy" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Components_stress_tensor_cartesian.svg/220px-Components_stress_tensor_cartesian.svg.png" decoding="async" data-file-width="505" data-file-height="425" data-file-type="drawing" height="185" width="220" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Components_stress_tensor_cartesian.svg/330px-Components_stress_tensor_cartesian.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Components_stress_tensor_cartesian.svg/440px-Components_stress_tensor_cartesian.svg.png 2x" alt="Components_stress_tensor_cartesian.svg"></a><figcaption>Pingetensori komponendid. Pingetensor on kolmemõõtmeline teist järku tensor. Joonisel kujutatud tensor on reavektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \sigma ={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\end{bmatrix}}}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1">
 <mi>σ</mi>
 <mo>=</mo>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow>
 <mo>[</mo>
 <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
 <mtr>
 <mtd>
 <msup>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mi mathvariant="bold">T</mi>
 </mrow>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mo stretchy="false">(</mo>
 <msub>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mi mathvariant="bold">e</mi>
 </mrow>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>1</mn>
 </mrow>
 </msub>
 <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 </msup>
 <msup>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mi mathvariant="bold">T</mi>
 </mrow>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mo stretchy="false">(</mo>
 <msub>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mi mathvariant="bold">e</mi>
 </mrow>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>2</mn>
 </mrow>
 </msub>
 <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 </msup>
 <msup>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mi mathvariant="bold">T</mi>
 </mrow>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mo stretchy="false">(</mo>
 <msub>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mi mathvariant="bold">e</mi>
 </mrow>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>3</mn>
 </mrow>
 </msub>
 <mo stretchy="false">)</mo>
 </mrow>
 </msup>
 </mtd>
 </mtr>
 </mtable>
 <mo>]</mo>
 </mrow>
 </mrow>
 </mstyle>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \sigma ={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\end{bmatrix}}}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5419462084df38cdf6c59c629939e8959c04c6e0" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.406ex; height:2.509ex;" alt> <a href="/et/Jõud" title="Jõud" class="wl">jõududest</a>, mis mõjuvad <a href="/et/Kuup" title="Kuup" class="wl">kuubi</a> <a href="/et/Tahk" title="Tahk" class="wl">tahkudele</a> X, Y ja Z. Neid jõude kujutavad tulbavektorid. Rea- ja tulbavektoreid, mis tensori moodustavad, saab koos esitada <a href="/et/Maatriks" title="Maatriks" class="wl">maatriksina</a> 
 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&amp;\sigma _{12}&amp;\sigma _{13}\\\sigma _{21}&amp;\sigma _{22}&amp;\sigma _{23}\\\sigma _{31}&amp;\sigma _{32}&amp;\sigma _{33}\end{bmatrix}}}">
 <semantics>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
 <mi>σ</mi>
 <mo>=</mo>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mrow>
 <mo>[</mo>
 <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
 <mtr>
 <mtd>
 <msub>
 <mi>σ</mi>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>11</mn>
 </mrow>
 </msub>
 </mtd>
 <mtd>
 <msub>
 <mi>σ</mi>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>12</mn>
 </mrow>
 </msub>
 </mtd>
 <mtd>
 <msub>
 <mi>σ</mi>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>13</mn>
 </mrow>
 </msub>
 </mtd>
 </mtr>
 <mtr>
 <mtd>
 <msub>
 <mi>σ</mi>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>21</mn>
 </mrow>
 </msub>
 </mtd>
 <mtd>
 <msub>
 <mi>σ</mi>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>22</mn>
 </mrow>
 </msub>
 </mtd>
 <mtd>
 <msub>
 <mi>σ</mi>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>23</mn>
 </mrow>
 </msub>
 </mtd>
 </mtr>
 <mtr>
 <mtd>
 <msub>
 <mi>σ</mi>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>31</mn>
 </mrow>
 </msub>
 </mtd>
 <mtd>
 <msub>
 <mi>σ</mi>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>32</mn>
 </mrow>
 </msub>
 </mtd>
 <mtd>
 <msub>
 <mi>σ</mi>
 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
 <mn>33</mn>
 </mrow>
 </msub>
 </mtd>
 </mtr>
 </mtable>
 <mo>]</mo>
 </mrow>
 </mrow>
 </mstyle>
 </mrow>
 <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&amp;\sigma _{12}&amp;\sigma _{13}\\\sigma _{21}&amp;\sigma _{22}&amp;\sigma _{23}\\\sigma _{31}&amp;\sigma _{32}&amp;\sigma _{33}\end{bmatrix}}}</annotation>
 </semantics>
</math><img loading="lazy" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8355494f011f60f3b0e4761b4adebb5a11b5ac1e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:22.536ex; height:9.176ex;" alt></figcaption></figure>
Paljusid <a href="/et/Füüsikaline_suurus" title="Füüsikaline suurus" class="wl">füüsikalisi suurusi</a> on loomulik vaadelda kahe vektorihulga vaheliste vastavustena. Näiteks pingetensor väljendab sisend- ja väljundvektorite vahelist seost. 

Tensori mõiste võtsid kasutusele <a href="/et/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann" class="wl">Bernhard Riemann</a> ja Elwin Bruno Christoffel ning seda arendasid edasi Tullio Levi-Civita ja Gregorio Ricci-Curbastro. Nende eesmärk oli formuleerida diferentsiaalmuutkonna <a href="/et/Diferentsiaalgeomeetria" title="Diferentsiaalgeomeetria" class="wl">diferentsiaalgeomeetrilised</a> omadused Riemanni kõverustensori abil. 

Et tensorid väljendavad vektoritevahelist seost, on nad sõltumatud <a href="/et/Koordinaadistik" title="Koordinaadistik" class="mw-redirect wl">koordinaadistiku</a> valikust. Tensorit on võimalik esitada selle järgi, mida ta teeb <a href="/et/Baas_(matemaatika)" title="Baas (matemaatika)" class="wl">vektorruumi baasiga</a> või <a href="/et/Taustsüsteem" title="Taustsüsteem" class="wl">taustsüsteemiga</a>. Saadakse suurus, mis korrastatakse mitmemõõtmeliseks massiiviks. Tensori sõltumatus koordinaatidest avaldub siis kovariantse teisendusena, mis seob ühes koordinaadistikus arvutatud massiivi teises koordinaadistikus arvutatud massiiviga. <a href="/et/Tensori_järk" title="Tensori järk" class="wl">Tensori järk</a> on selle esitamiseks vajaliku massiivi <a href="/et/Mõõde" title="Mõõde" class="wl">mõõde</a>. Skalaar on 0-järku tensor, sest tema suurus on ainus komponent, nii et teda saab esitada 0-mõõtmelise arvusüsteemina. Vektor on esimest järku tensor, sest teda saab koordinaatide abil esitada komponentide ühemõõtmelise massiivina. Maatriks on teist järku tensor, sest teda saab esitada kahemõõtmelise massiivina. Ja nii edasi: k-järku tensor on esitatav komponentide k-mõõtmelise massiivina. Tensori järk on tema komponendi spetsifitseerimiseks vajalike <a href="/et/Indeks" title="Indeks" class="mw-disambig wl">indeksite</a> arv.

Tensor on lineaaralgebras matemaatiline objekt, mis üldistab skalaari, vektori, maatriksi ja bilineaarse vormi mõistet.  Paljusid füüsikalisi suurusi on loomulik vaadelda kahe vektorihulga vaheliste vastavustena. Näiteks pingetensor väljendab sisend- ja väljundvektorite vahelist seost.   Tensori mõiste võtsid kasutusele Bernhard Riemann ja Elwin Bruno Christoffel ning seda arendasid edasi Tullio Levi-Civita ja Gregorio Ricci-Curbastro. Nende eesmärk oli formuleerida diferentsiaalmuutkonna diferentsiaalgeomeetrilised omadused Riemanni kõverustensori abil.  