Espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, un espace métrique complet est un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge dans ce même espace. La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.
Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque √2 n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné.
La complétude peut être définie plus généralement pour les espaces uniformes, comme les groupes topologiques.
Pour tout espace métrique , il existe un espace métrique complet qui contient comme sous-espace dense.
Une façon[1] de construire un tel espace est de plonger (isométriquement) dans l'espace complet des fonctions bornées de dans (c'est le plongement de Kuratowski) et de prendre pour l'adhérence de l'image de . Une autre façon[1] est de prendre pour l'ensemble des suites de Cauchy de quotienté par une relation d'équivalence adéquate, en mimant la construction des nombres réels par les suites de Cauchy.
Vu comme espace métrique complet contenant , un tel espace est caractérisé (à unique isomorphisme près), au choix, par l'une des deux propriétés universelles suivantes[4],[1] :
L'espace est appelé le complété de .
Si cette procédure est appliquée à un espace vectoriel normé, on obtient un espace de Banach contenant l'espace original comme sous-espace dense. En l'appliquant à un espace préhilbertien, on obtient un espace de Hilbert.
L'espace , vu simplement comme espace métrique complet muni d'une application uniformément continue de dans , est encore caractérisé à unique isomorphisme près par la seconde propriété universelle ci-dessus, mutatis mutandis (en particulier, « isomorphisme » ne signifie alors plus « bijection isométrique » mais « bijection uniformément continue ainsi que sa réciproque »)[4]. est même, en tant qu'espace uniforme, le séparé complété de .
La complétude est une propriété métrique, mais pas topologique, ce qui signifie qu'un espace métrique complet peut être homéomorphe à un espace qui ne l'est pas. Par exemple, pour la distance usuelle, l'espace des nombres réels est complet, bien qu'homéomorphe à l'intervalle ]–1, 1[ qui, lui, ne l'est pas – un exemple d'homéomorphisme est la bijection h de ]–1, 1[ dans ℝ définie par h(x) = tan(xπ/2) ; ou encore, le sous-espace des irrationnels n'est pas complet, alors qu'il est homéomorphe à l'espace de Baire ℕℕ, qui l'est.
Un espace topologique est dit complètement métrisable s'il existe une métrique complète induisant la topologie de cet espace. Par exemple, ]–1, 1[ (muni de la distance usuelle) n'est pas complet, mais il est complètement métrisable, car sa topologie est également induite par la distance complète d(x, y) = |h(y) – h(x)|, où h est n'importe quel homéomorphisme de ]–1, 1[ dans ℝ. À l'inverse, sur ℚ, aucune distance équivalente à la distance usuelle n'est complète, car aucun espace dénombrable sans point isolé n'est complètement métrisable, ni même de Baire.
Un espace complètement métrisable est même complètement de Baire (et bien sûr métrisable)[5].
Tout espace uniforme complet métrisable est complètement métrisable.
Les deux théorèmes suivants sont dus respectivement à Pavel Aleksandrov et Stefan Mazurkiewicz[6] :
On en déduit facilement[6] qu'un espace métrisable est complètement métrisable si et seulement s'il est un Gδ dans son compactifié de Stone-Čech, ou encore dans tout espace complètement régulier où il est dense.
Un espace séparable complètement métrisable est dit polonais.
Un espace localement convexe E sur le corps des réels ou des complexes est dit quasi complet si tout filtre de Cauchy borné converge dans E.
Un espace uniforme est dit semi-complet s'il est séquentiellement complet, c'est-à-dire si toutes ses suites de Cauchy convergent.
Puisqu'une suite de Cauchy dans E est bornée dans E, si E est quasi complet, il est semi-complet.
Si un espace localement convexe est complet, il est quasi complet. La réciproque est fausse. Par exemple, un espace de Banach réflexif de dimension infinie, muni de sa topologie affaiblie, est quasi complet mais non complet.
En revanche, si un espace localement convexe métrisable est quasi complet, il est complet.
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