Nombre p-adique

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, pour un nombre premier p fixé, les nombres p-adiques forment une extension particulière du corps ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Le corps commutatif ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ des nombres p-adiques peut être construit par complétion de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, d'une façon analogue à la construction des nombres réels par les suites de Cauchy, mais pour une valeur absolue moins familière, nommée valeur absolue p-adique.

Les entiers 3-adiques, avec des représentations obtenues par dualité de Pontriaguine.

Un nombre p-adique peut aussi se concevoir comme une suite de chiffres en base p, éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule), avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels.

La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la valeur absolue p-adique sur le corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ est une valeur absolue non archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique.

Historique et motivation

Une construction algébrique de l'ensemble des nombres p-adiques est découverte par Kurt Hensel en 1897^[1], en cherchant à résoudre des problèmes de théorie des nombres par des méthodes calquant celles de l'analyse réelle ou complexe^[2]. En 1914, József Kürschák développe le concept de valuation, obtenant une construction topologique de ces nombres^[3]. En 1916, Alexander Ostrowski montre qu'il n'existe pas d'autre complétion de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (résultat connu sous le nom de théorème d'Ostrowski). En 1920, Helmut Hasse redécouvre les nombres p-adiques^[4], et les utilise pour formuler le principe local-global.

Construction

Approche analytique

Construction de ℚ_p par complétion

Fixons un nombre premier p. La valuation p-adique d'un entier relatif a non nul (notée ${\displaystyle v_{p}(a)}$) est l'exposant de p dans la décomposition de a en produit de facteurs premiers (c'est un cas particulier de valuation discrète). On pose ${\displaystyle v_{p}(0)=+\infty }$. Par exemple, ${\displaystyle v_{11}(2662)=3}$ car la décomposition de 2662 en facteurs premiers est 2662 = 11³ × 2. On étend cette valuation à ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ en posant : ${\displaystyle v_{p}\left({\frac {a}{b}}\right)=v_{p}(a)-v_{p}(b)}$. Cette définition ne dépend pas du représentant choisi pour le rationnel.

On définit la valeur absolue p-adique ${\displaystyle |~|_{p}}$ sur l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ par : ${\displaystyle |r|_{p}=p^{-v_{p}(r)}}$ (en particulier, ${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$ : en quelque sorte, plus ${\displaystyle r}$ est divisible par p, plus sa valeur absolue p-adique est petite). Le corps valué ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ des nombres p-adiques muni d'une valeur absolue (encore notée ${\displaystyle |~|_{p}}$) est alors défini comme le complété du corps valué ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,|~|_{p})}$.

Quelques différences entre ℚ_p et ℝ

Cette construction de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ permet de le considérer comme un analogue arithmétique de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Cependant, le monde p-adique se comporte de façon très différente du monde réel.

• ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ n'est pas un corps totalement ordonnable (voir infra).
• Dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, la suite ${\displaystyle \left(p^{n}\right)}$ tend vers ${\displaystyle 0}$ et la suite ${\displaystyle \left(1/q^{n}\right)}$, pour ${\displaystyle q}$ premier différent de ${\displaystyle p}$, n'a pas de limite (la suite ${\displaystyle \left(q^{n}\right)}$ n'a pas de limite non plus, d'ailleurs).
• Puisque la valeur absolue sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ est définie à partir d'une valuation, la valeur absolue sur le complété ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ est, elle aussi, ultramétrique, si bien que la distance associée est une distance ultramétrique.
  Ceci a pour conséquences, entre autres, que  :
  • dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, une série converge si et seulement si son terme général tend vers 0 ;
  • l'espace topologique ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ est de dimension 0 (c'est-à-dire qu'il possède une base d'ouverts-fermés) donc totalement discontinu (c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe) ;
  • etc.
• Dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, si une suite ${\displaystyle (u_{n})}$ converge vers un élément non nul, alors ${\displaystyle \left(|u_{n}|_{p}\right)}$ est constante à partir d'un certain rang.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ n'est pas fermé dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (cf. paragraphe suivant).

Constructions de ℤ_p

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ est le corps des fractions de son anneau de valuation (les nombres p-adiques de valuation positive ou nulle), noté ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ et appelé l'anneau des entiers p-adiques. Ce sous-anneau de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ est l'adhérence de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. On aurait donc pu le construire directement comme l'anneau complété de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Les valuations sur ℚ

Ostrowski a démontré que toute valeur absolue non triviale sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ est équivalente soit à la valeur absolue usuelle ${\displaystyle |~|_{\infty }}$, soit à une valeur absolue p-adique. ${\displaystyle |~|_{p}}$ est dite normalisée (on pourrait prendre ${\displaystyle a^{-v_{p}(r)}}$ pour un réel ${\displaystyle a>1}$ autre que ${\displaystyle p}$ : on obtiendrait une distance associée uniformément équivalente). L'avantage de la normalisation est la « formule du produit » ${\displaystyle |r|_{\infty }\prod _{p}|r|_{p}=1}$ pour tout rationnel ${\displaystyle r}$ non nul. Cette formule montre que les valeurs absolues sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (à équivalence près) ne sont pas indépendantes.

Par exemple, pour ${\displaystyle r={3 \over 50}=2^{-1}\cdot 3\cdot 5^{-2}}$ : ${\displaystyle |r|_{p}=1}$ pour ${\displaystyle p>5}$ et ${\displaystyle |r|_{\infty }|r|_{2}|r|_{3}|r|_{5}=r\cdot 2\cdot 3^{-1}\cdot 5^{2}=1}$.

Approche algébrique

Dans cette approche, on commence par définir l'anneau intègre ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ des entiers p-adiques, puis on définit le corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ des nombres p-adiques comme le corps des fractions de cet anneau.

On définit^[5] l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ comme la limite projective des anneaux ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$, où le morphisme ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \\a+p^{n+1}\mathbb {Z} \mapsto a+p^{n}\mathbb {Z} \end{cases}}}$ est la "réduction modulo ${\displaystyle p^{n}}$". Un entier p-adique est donc une suite ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ telle que pour tout n ≥ 1 :

${\displaystyle a_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \quad {\text{ et }}\quad a_{n}\equiv a_{n+1}{\pmod {p^{n}}}}$.

On démontre alors^[6] que cet anneau est isomorphe à celui construit dans l'« approche analytique » (voir supra) et l'est même en tant qu'anneau topologique, vu comme sous-anneau (compact) du produit des anneaux discrets ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$.

Le morphisme canonique de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ est injectif car ${\displaystyle 0}$ est le seul entier divisible par toutes les puissances de ${\displaystyle p}$.

Par exemple, 7 en tant que nombre 2-adique serait la suite (1, 3, 7, 7, 7, 7, 7, …).

Toute suite ${\displaystyle (a_{n})}$ dont le premier élément n'est pas nul a un inverse dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ car p est l'unique élément premier de l'anneau (c'est un anneau de valuation discrète) ; c'est l'absence de cette propriété qui rendrait la même construction sans intérêt (algébrique) si l'on prenait pour p un nombre composé^[7].

Par exemple, l'inverse de 7 dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ est la suite (1, 3, 7, 7, 23, 55,...), où l'on remarque par exemple que 7×55 ≡ 1 mod 2⁶.

On peut remarquer^{[réf. souhaitée]} que ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ contient donc l'anneau obtenu en adjoignant à ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ tous les inverses des nombres premiers sauf p (ce sous-anneau est un anneau local, le localisé de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ en p).

Puisque de plus ${\displaystyle p}$ n'est pas un diviseur de zéro dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, le corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ s'obtient en adjoignant simplement à l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ un inverse pour p, ce que l'on note ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} _{p}\left[{\tfrac {1}{p}}\right]}$ (anneau engendré par ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ et ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}}$, donnant les expressions polynomiales en ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}}$, analogue de la construction des nombres décimaux ${\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{10}}\right]}$).

Calculs dans ℚp

Décomposition canonique de Hensel

D'après ce qui précède, tout élément non nul ${\displaystyle r}$ de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ s'écrit de manière unique comme une série (automatiquement convergente pour la métrique p-adique) de la forme :

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }b_{i}p^{i}}$

où ${\displaystyle k}$ est un entier relatif et où les ${\displaystyle b_{i}}$ sont des nombres entiers compris entre ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle p-1}$, ${\displaystyle b_{k}}$ étant non nul. Cette écriture est la décomposition canonique de ${\displaystyle r}$ comme nombre p-adique. Elle se déduit immédiatement du cas ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} _{p}}$^[8], c.-à-d. ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ : si ${\displaystyle r=(a_{n})\in \varprojlim {\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }}$, la donnée des ${\displaystyle b_{i}}$ équivaut à celle des ${\displaystyle a_{n}}$ puisque ${\displaystyle a_{n}\equiv \sum _{k\leq i<n}b_{i}p^{i}\mod p^{n}}$. On peut donc représenter un entier p-adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base p, tandis que les autres éléments de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, eux, auront en plus un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels.

Par exemple, avec ${\displaystyle p=2}$ :

• ${\displaystyle 1=1\times 2^{0}=\ldots 000001_{2}=1_{2}}$ (pour tout entier naturel, le développement 2-adique est simplement le développement en base 2) ;
• ${\displaystyle \ldots 111111_{2}=\sum _{i=0}^{\infty }2^{i}=-1}$ (dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, toute série géométrique de premier terme ${\displaystyle a}$ et de raison ${\displaystyle 2}$ converge vers ${\displaystyle {\frac {a}{1-2}}=-a}$, car ${\displaystyle |2|_{2}=2^{-1}<1}$) ;
• de même (puisque ${\displaystyle |4|_{2}=2^{-2}}$) ${\displaystyle \ldots 01010101011_{2}=1+\sum _{n=0}^{\infty }2^{2n+1}=1+{\frac {2}{1-4}}={\frac {1}{3}}}$.

Algorithmes utilisant les décompositions de Hensel

• L'addition est tout à fait similaire à celle de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, avec le même système de retenues :

Exemple : dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}$

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}&\ldots &3&3&3&2&4&{1_{5}}\\+&\ldots &1&1&1&1&4&{2_{5}}\\\hline &\ldots &4&4&4&4&3&{3_{5}}\end{array}}}$

• On en déduit aisément une formule pour l'opposé : puisque, dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}$,

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}&\ldots &3&3&3&2&4&{1_{5}}\\+&\ldots &1&1&1&2&0&{4_{5}}\\\hline &\ldots &0&0&0&0&0&{0_{5}}\end{array}}}$,

c'est que

${\displaystyle -\ldots 333241=\ldots 111204}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}$. De même, ${\displaystyle -1=\ldots 44444_{5}}$ (on peut vérifier que, puisque ${\displaystyle 4_{5}+1_{5}=10_{5}}$, ajouter ${\displaystyle 1}$ à ${\displaystyle \ldots 44444_{5}}$ conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0).

• La multiplication se fait de façon analogue :

Exemple 1 : dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}&&1&4&{3_{5}}\\\times &&&3&{2_{5}}\\\hline &&3&4&{1_{5}}\\1&0&3&4&{\cdot _{5}}\\\hline 1&1&2&3&{1_{5}}\end{array}}}$

Exemple 2 : de même, dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccc}&\ldots &0&2&0&2&0&2&{1_{3}}\\\times &&&&&&&1&{1_{3}}\\\hline &\ldots &0&2&0&2&0&2&{1_{3}}\\&\ldots &2&0&2&0&2&1&{\cdot _{3}}\\\hline &\ldots &0&0&0&0&0&0&{1_{3}}\end{array}}}$,

ce qui montre que ${\displaystyle \ldots 0202021_{3}={\frac {1}{4}}}$.

• La division de deux entiers demande une analyse plus algébrique.

Exemple 1 : Écrivons ${\displaystyle {1 \over 3}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{7}}$. Remarquons tout d'abord que ${\displaystyle {1 \over 3}\in \mathbb {Z} _{7}}$ car sa valuation 7-adique est 0. Ainsi ${\displaystyle {1 \over 3}=\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}$ avec ${\displaystyle 0\leqslant a_{i}<7}$.

3 est inversible modulo 7 puisque ${\displaystyle 3\times 5=1\ +\ 2\times 7\equiv 1[7]}$. Ceci permet d'ailleurs d'écrire la relation de Bézout suivante :

${\displaystyle 1=3\times 5\ -\ 7\times 2\qquad (*)}$

d'où :

${\displaystyle {1 \over 3}=5+7\times {\frac {-2}{3}}}$ et à ce stade on a : ${\displaystyle {1 \over 3}=\ldots a_{2}a_{1}5}$.

Continuons et multiplions ${\displaystyle (*)}$ par -2 :

${\displaystyle -2=3\times (-10)+7\times (4)}$

et arrangeons pour obtenir des coefficients entre 0 et 6 :

${\displaystyle -2=3\times (4-2\times 7)+7\times (4)=3\times 4\ +\ 7\times (4-3\times 2)}$

d'où :

${\displaystyle {\frac {-2}{3}}=4+7\times {\frac {-2}{3}}}$ et on observe une périodicité puisqu'on retombe sur ${\displaystyle {\frac {-2}{3}}}$.

Au bilan : ${\displaystyle {1 \over 3}=5+7\times {\frac {-2}{3}}=5+7\times \left(4+7\times \left(4+7\times \ldots \right)\right)}$ c'est-à-dire :

${\displaystyle {1 \over 3}=5+4\times 7+4\times 7^{2}+\ldots }$

d'où l'écriture 7-adique :

${\displaystyle {1 \over 3}=\ldots 4445_{7}}$.

Exemple 2 : Écrivons ${\displaystyle {4 \over 21}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{7}}$. On sait que ${\displaystyle {4 \over 21}\notin \mathbb {Z} _{7}}$ car sa valuation 7-adique est –1 : ce sera donc un nombre 7-adique « à virgule ».

On écrit : ${\displaystyle {4 \over 21}={1 \over 7}\times \left(4\times {1 \over 3}\right)}$

Or on sait que ${\displaystyle {1 \over 3}=\ldots 4445_{7}}$ donc en multipliant par 4 :

${\displaystyle {4 \over 3}=4\times \ldots 4445_{7}=\ldots 44446_{7}}$.

Il ne reste plus qu'à diviser par 7, mais ceci revient à décaler la virgule vers la gauche (on est en base 7) :

${\displaystyle {4 \over 21}=\ldots 4444{,}6}$.

Exemple 3 : Calcul de ${\displaystyle 1 \over 9}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}$. On sait (théorème d'Euler) que 9 divise ${\displaystyle 5^{6}-1}$, et de fait ${\displaystyle 5^{6}-1=15624=9\times }$1736, et ${\displaystyle 1736=1+2\times 5+4\times 25+3\times 125+2\times 625=23421_{5}}$ ; on a donc ${\displaystyle {1 \over 9}={\frac {-1736}{1-5^{6}}}=-1736\left(1+5^{6}+5^{12}+5^{18}+\dots \right)=-\ldots 1023421023421_{5}}$ et finalement ${\displaystyle {1 \over 9}=\ldots 3421023421024_{5}}$.

• La résolution d'équations algébriques utilise de manière essentielle le lemme de Hensel ; celui-ci affirme en particulier que si un polynôme à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ possède une racine simple dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p\mathbb {Z} _{p}\simeq \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$, il en possède une dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
  • Ainsi, 2 admet deux racines carrées dans ${\displaystyle \mathbb {Z} /7\mathbb {Z} }$ (à savoir 3 et 4) ; il en possède donc deux (opposées) dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$. Partant de ${\displaystyle u_{0}=3}$, la méthode de Newton appliquée au polynôme ${\displaystyle X^{2}-2}$ (c'est-à-dire la suite définie par ${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}-{\frac {u_{n}^{2}-2}{2u_{n}}}}$) donne ${\displaystyle u_{2}=193/132}$, qui est dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ une valeur approchée d'une racine de 2 à ${\displaystyle 7^{4}}$ près ; on en déduit les valeurs approchées des racines, ${\displaystyle \ldots 213_{7}}$ et ${\displaystyle \ldots 454_{7}}$ ; on aurait pu aussi les obtenir chiffre par chiffre, en résolvant successivement les équations ${\displaystyle (3+7x)^{2}=2\mod 7^{2}}$, d'où ${\displaystyle x=1}$, puis ${\displaystyle (10+49y)^{2}=2\mod 7^{3}}$, etc.^[9],[7].
  • Plus généralement, si ${\displaystyle p>2}$ alors pour tous ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} _{p}}$ avec ${\displaystyle b}$ non divisible par ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle b^{2}+pa}$ admet deux racines carrées dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
  • De même, avec ${\displaystyle p}$ premier quelconque, si ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} _{p}}$ et ${\displaystyle b}$ non divisible par ${\displaystyle p}$ alors le polynôme ${\displaystyle P(X)=aX^{2}+bX+p}$ admet une racine dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. Puisque ${\displaystyle 4aP(X)=(2aX+b)^{2}-(b^{2}-4ap)}$, ceci prouve que ${\displaystyle b^{2}-4ap}$ est un carré dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$^[10].

Propriétés

Non-dénombrabilité

Les ensembles ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ et ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ sont équipotents et non dénombrables. Plus précisément, ils ont la puissance du continu, car la décomposition de Hensel ci-dessus fournit une bijection de ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,p-1\}^{\mathbb {N} }}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ et une surjection de ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \{0,1,2,\dots ,p-1\}^{\mathbb {N} }}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

Propriétés algébriques

Un nombre p-adique est rationnel si, et seulement si, sa décomposition de Hensel ${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }b_{i}p^{i}}$ est périodique à partir d'un certain rang^[11], c'est-à-dire s'il existe deux entiers ${\displaystyle N\geq k}$ et ${\displaystyle r>0}$ tels que ${\displaystyle \forall n\geq N,b_{n+r}=b_{n}}$. Par exemple, l'entier p-adique ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }p^{2^{j}}}$ n'est pas dans ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Le corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ contient ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ donc sa caractéristique est nulle.

Il n'est cependant pas totalement ordonnable puisque (voir supra) 1 – 4p est un carré dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Pour p et q premiers distincts, les corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ et ${\displaystyle \mathbb {Q} _{q}}$ ne sont pas isomorphes, puisque q² – pq n'est pas un carré dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{q}}$ (sa valuation q-adique n'étant pas divisible par 2) mais est un carré dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ si p > 2 (voir supra)^[12].

La structure du groupe multiplicatif ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ des « unités p-adiques » (le groupe des inversibles de l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$) et celle du groupe ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$ sont données par^[13] :

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }\simeq \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{p}}$ si p ≠ 2, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{\times }\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{2}}$, et ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }\simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$.

Esquisse de démonstration

• L'application ${\displaystyle (n,u)\mapsto p^{n}u}$ est un isomorphisme du produit ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ est le produit direct des deux sous-groupes ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} _{p}\mid x^{p-1}=1\}\simeq (\mathbb {Z} _{p}/p\mathbb {Z} _{p})^{\times }\simeq (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }\simeq \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$ et ${\displaystyle 1+p\mathbb {Z} _{p}}$^[14].
• ${\displaystyle 1+p\mathbb {Z} _{p}}$ est isomorphe si p ≠ 2 au groupe additif ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ (par les fonctions exponentielle et logarithme p-adiques), tandis que ${\displaystyle 1+2\mathbb {Z} _{2}=\{\pm 1\}\times (1+4\mathbb {Z} _{2})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{2}}$.

On en déduit que :

• un nombre p-adique u appartient à ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ si et seulement si ${\displaystyle u^{p-1}}$ a une racine n-ième dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ pour une infinité d'entiers n^[15]. Ceci permet de montrer^[16] quele corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ n'a pas d'automorphismes non triviaux ;
• pour p ≠ 2, le groupe des racines de l'unité dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ est cyclique d'ordre p – 1 (par exemple, le 12^e corps cyclotomique est un sous-corps de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{13}}$). On retrouve ainsi, au moins pour p – 1 > 2, que le corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ n'est pas totalement ordonnable et, au moins pour ${\displaystyle \{p,q\}\neq \{2,3\}}$, que^[17] si p et q sont distincts alors ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ et ${\displaystyle \mathbb {Q} _{q}}$ ne sont pas isomorphes.

La clôture algébrique ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{a}}$ de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ est de degré infini (contrairement à celle de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, qui est une extension quadratique). Il existe d'ailleurs dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}[X]}$ des polynômes irréductibles en tout degré ${\displaystyle n>0}$ : par exemple le polynôme d'Eisenstein ${\displaystyle X^{n}-p}$, et même^[18] un polynôme unitaire de degré n à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ et irréductible modulo p. Ce degré est dénombrable, puisque c'est une extension algébrique, donc réunion de ses sous-extensions finies, lesquelles sont en nombre fini pour chaque degré d'après le lemme de Krasner^[19].

Le corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{a}}$ est, en supposant l'axiome du choix AC, isomorphe au corps ${\displaystyle \mathbb {C} }$ des nombres complexes, puisque (avec AC, et à isomorphisme près) en tout cardinal infini non dénombrable, il n'y a qu'un corps algébriquement clos de caractéristique 0. Inversement, la non-existence d'un plongement de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ est cohérente avec la théorie des ensembles sans l'axiome du choix^[20].

Propriétés topologiques

Muni de la distance p-adique, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ s'identifie naturellement à l'espace métrique produit ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,p-1\}^{\mathbb {N} }}$ (compact donc complet). Pour tout réel B > p, l'application ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,p-1\}^{\mathbb {N} }\to \mathbb {R} ,\;(b_{i})\mapsto \sum _{i=0}^{\infty }b_{i}B^{-i}}$ est un homéomorphisme de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ sur son image ${\displaystyle E_{0}\subset \mathbb {R} }$^[21], et ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ est — comme ${\displaystyle E_{0}}$ — homéomorphe à l'espace de Cantor, d'après un théorème de Brouwer qui caractérise topologiquement ce dernier.

L'espace métrique ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (complet par construction) est un espace localement compact (car le compact ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ est un ouvert contenant ${\displaystyle 0}$), naturellement homéomorphe, pour tout B > p, à l'ensemble ${\displaystyle E=\cup _{n\in \mathbb {N} }B^{n}E_{0}\subset \mathbb {R} }$ (où ${\displaystyle E_{0}}$ est défini ci-dessus). Le compactifié d'Alexandrov de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ est à nouveau — comme E ∪ {+∞} ⊂ ℝ — homéomorphe à l'espace de Cantor.

La clôture algébrique ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{a}}$ de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ n'est pas localement compacte : cela équivaut au fait qu'elle est de degré infini^[22]. Puisque ce degré est ℵ₀^[23], elle n'est même pas complète^[24]. Son complété ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Q} _{p}^{a}}}}$ est appelé le corps de Tate et noté ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ (ou parfois ${\displaystyle \Omega _{p}}$^[25]). Il est algébriquement clos^[26] (donc algébriquement isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {C} }$, comme ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{a}}$) et son degré de transcendance sur ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ est 2^ℵ₀[27].

Les seules fonctions réelles de dérivée nulle sont les fonctions constantes. Cela n'est pas vrai sur ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. Par exemple, la fonction

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}\to \mathbb {Q} _{p},\,x\longmapsto \left\{{\begin{matrix}|x|_{p}^{-2}&{\mbox{si }}x\neq 0,\\0&{\mbox{si }}x=0\end{matrix}}\right.}$

possède une dérivée nulle en tous points, mais n'est même pas localement constante en 0.

Pour tous ${\displaystyle r,r_{2},r_{3},r_{5},r_{7}\ldots }$ appartenant respectivement à ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {Q} _{2},\mathbb {Q} _{3},\mathbb {Q} _{5},\mathbb {Q} _{7}\ldots }$, il existe une suite dans ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ qui converge vers ${\displaystyle r}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et vers ${\displaystyle r_{p}}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ pour tout ${\displaystyle p}$ premier.

Extensions et applications

Le nombre e (défini par la série ${\displaystyle \sum 1/n!}$) n'appartient à aucun des corps p-adiques. Cependant, en conservant la définition ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n\in \mathbb {N} }x^{n}/n!}$, on peut montrer que ${\displaystyle \mathrm {e} ^{4}\in \mathbb {Q} _{2}}$ et que, si ${\displaystyle p\neq 2}$, alors ${\displaystyle \mathrm {e} ^{p}\in \mathbb {Q} _{p}}$. Dès lors, il devient a priori possible de définir, pour tout ${\displaystyle p}$, e comme une racine p-ième de e^p. Un tel nombre n'appartient toutefois pas à ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ mais à sa clôture algébrique ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ (et donc à son complété ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$), et l'exponentielle ainsi définie dépend de la racine choisie^[28]. Plus généralement, il est possible de définir dans le corps de Tate une fonction exponentielle p-adique, qui cependant ne possède pas d'aussi bonnes propriétés que l'exponentielle complexe. En particulier, elle ne fait apparaître aucun analogue du nombre ${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }$ ; cette situation a été résolue par Jean-Marc Fontaine, qui a construit en 1982 l'anneau des « nombres complexes p-adiques » (en) ${\displaystyle {\bf {B_{dR}^{+}}}}$(prononcer « ${\displaystyle {\bf {B}}}$ de Rham »)^[29].

Une des premières applications des nombres p-adiques a été l'étude de formes quadratiques sur les rationnels ; ainsi, en particulier, le théorème de Minkowski-Hasse affirme qu'une telle forme a des solutions rationnelles (non triviales) si et seulement si elle en a dans tous les corps ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, ainsi que dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.