Funcións pares e impares

En matemáticas, unha función par é unha función real tal que ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ para cada ${\displaystyle x}$ no seu dominio. Do mesmo xeito, unha función impar é unha función tal que ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ para cada ${\displaystyle x}$ no seu dominio.

A función seno e todos os seus polinomios de Taylor son funcións impares.

A función coseno e todos os seus polinomios de Taylor son funcións pares.

Noméanse pola paridade das potencias das funcións potencia que satisfán cada condición: a función ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ é par se n é un enteiro par e é impar se n é un enteiro impar.

As funcións pares son aquelas funcións reais cuxa gráfica é autosimétrica en relación ao eixo y, e as impares son aquelas cuxa gráfica é autosimétrica en relación á orixe.

Definición e exemplos

Función par

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ é un exemplo dunha función par.

Unha función real f é par se, para todo x no seu dominio, −x tamén está no seu dominio e^{[1]:p. 11}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$$ ou equivalentemente $${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$$

Xeométricamente, a gráfica dunha función par é simétrica en relación ao eixo y, o que significa que a súa gráfica permanece sen mudanzas despois da reflexión sobre o eixo y.

Exemplos de funcións pares son:

• O valor absoluto ${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ para calquera número enteiro par ${\displaystyle n,}$
• coseno ${\displaystyle \cos ,}$
• coseno hiperbólico ${\displaystyle \cosh ,}$
• Función gaussiana ${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}).}$

Función impar

${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ é un exemplo dunha función impar.

Unha función real f é impar se, para cada x no seu dominio, −x tamén está no seu dominio e^{[1] :p. 72}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$$ ou equivalentemente $${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$$

Xeométricamente, a gráfica dunha función impar ten simetría de rotación en relación á orixe, o que significa que a súa gráfica permanece sen mudanzas despois de xirar 180 graos sobre a orixe.

Se ${\displaystyle x=0}$ está no dominio dunha función impar ${\displaystyle f(x)}$, entón ${\displaystyle f(0)=0}$.

Exemplos de funcións impares son:

• A función signo ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x),}$
• A función de identidade ${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ para calquera número enteiro impar ${\displaystyle n,}$
• seno ${\displaystyle \sin ,}$
• seno hiperbólico ${\displaystyle \sinh ,}$
• A función erro ${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+1}$ non é par nin impar.

Propiedades analíticas

O feito de que unha función sexa par ou impar non implica diferenciabilidade nin continuidade. Por exemplo, a función de Dirichlet é par, mais non é continua.

A continuación considéranse propiedades que inclúen derivadas, series de Fourier e series de Taylor, e suponse que estes conceptos están definidos para as funcións consideradas.

Propiedades analíticas básicas

• A derivada dunha función par é impar.
• A derivada dunha función impar é par.
• A integral dunha función impar de −A a +A é cero (onde A pode ser finita ou infinita, e a función non ten asíntotas verticais entre −A e A ). Para unha función impar que é integrábel nun intervalo simétrico, p ${\displaystyle [-A,A]}$, o resultado da integral sobre ese intervalo é cero; é ^[2]

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$ .

• A integral dunha función par de −A a +A é o dobre da integral de 0 a +A (onde A é finita, e a función non ten asíntotas verticais entre −A e A. Isto tamén é certo cando A é infinita, mais só se a integral converxe); é dicir

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$ .

Series

• A serie de Maclaurin dunha función par inclúe só potencias pares.
• A serie de Maclaurin dunha función impar inclúe só potencias impares.
• A serie de Fourier dunha función par periódica inclúe só termos coseno.
• A serie de Fourier dunha función periódica impar inclúe só termos seno.
• A transformada de Fourier dunha función par puramente real é real e par.
• A transformada de Fourier dunha función impar puramente real é imaxinaria e impar.