Relación inversa

En matemáticas, a inversa dunha relación binaria é a relación que se produce cando se troca a orde dos elementos na relación. Por exemplo, a inversa da relación 'fillo de' é a relación 'pai de'. En termos formais, se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ son conxuntos e ${\displaystyle L\subseteq X\times Y}$ é unha relación de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y,}$ entón ${\displaystyle L^{\operatorname {T} }}$ é a relación definida detal forma que ${\displaystyle yL^{\operatorname {T} }x}$ se e só se ${\displaystyle xLy.}$

${\displaystyle L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.}$

Se representamos a relación como unha matriz a relación inversa sería a matriz transposta, de aí a nomenclatura co superíndice "T": ${\displaystyle L^{\operatorname {T} }}$.

Por analoxía coas funcións pode verse escrita co superíndice "-1": ${\displaystyle L^{-1}}$. Aínda que moitas funcións non teñen unha inversa, toda relación ten unha única inversa.

Outras formas usadas menos frecuentes son: ${\displaystyle L^{\operatorname {C} },L^{V},{\breve {L}},L^{\circ }.}$

Exemplo

Para as relacións de orde habituais (estritas ou parciais), a inversa é a orde "oposta" elementalmente esperada, por exemplo, ${\displaystyle {\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.}$

Unha relación pode ser representada por unha matriz lóxica como $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Logo, a relación inversa represéntase pola matriz transposta: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.}$$

Inversas

No monoide das relacións homoxéneas binarias nun conxunto (sendo a operación binaria sobre relacións a composición das relacións), a relación inversa non satisfai a definición de inverso da teoría de grupos, é dicir, se ${\displaystyle L}$ é unha relación arbitraria sobre ${\displaystyle X,}$ entón ${\displaystyle L\circ L^{\operatorname {T} }}$ non é igual, en xeral, á relación de identidade en ${\displaystyle X}$. A relación inversa satisfai os axiomas (máis débiles) dun semigrupo con involución: ${\displaystyle \left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L}$ e ${\displaystyle (L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.}$^[1]

Se ${\displaystyle I}$ representa a relación de identidade, daquela unha relación ${\displaystyle R}$ pode ter unha inversa do seguinte xeito: ${\displaystyle R}$ chámase

Invertíbel pola dereita

se existe unha relación ${\displaystyle X,}$ chamada inversa pola dereita de ${\displaystyle R,}$ que satisfai ${\displaystyle R\circ X=I.}$

Invertíbel pola esquerda

se existe unha relación ${\displaystyle Y,}$ chamada inversa pola esquerda of ${\displaystyle R,}$ que satisfai ${\displaystyle Y\circ R=I.}$

invertíbel

no caso de ser invertíbel bilateral.

Para unha relación homoxénea invertíbel ${\displaystyle R,}$ todas as inversas dereita e esquerda coinciden; este conxunto único chámase a súa Inverse relation e denotase por ${\displaystyle R^{-1}.}$ Neste caso si que se cumpre que ${\displaystyle R^{-1}=R^{\operatorname {T} }}$.^[2]

Relación inversa dunha función

Unha función é invertíbel se e só se a súa relación inversa é unha función, nese caso a relación inversa é a función inversa.

A relación inversa dunha función ${\displaystyle f:X\to Y}$ é a relación ${\displaystyle f^{-1}\subseteq Y\times X}$ definida por ${\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.}$

Isto non é necesariamente unha función: unha condición necesaria é que ${\displaystyle f}$ sexa inxectiva, xa que senón ${\displaystyle f^{-1}}$ é multivaluada. Entón ${\displaystyle f^{-1}}$ é unha función (total) se e só se ${\displaystyle f}$ é sobrexectiva. No caso de que ${\displaystyle f}$ é bixectiva, ${\displaystyle f^{-1}}$ pódese chamar función inversa de ${\displaystyle f.}$

Por exemplo, a función ${\displaystyle f(x)=2x+2}$ ten a función inversa ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.}$

Porén, a función ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ten a relación inversa ${\displaystyle g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},}$ que non é unha función, por ser multivaluada.

Composición con relación

Usando a composición de relacións, a inversa pódese compor coa relación orixinal. Por exemplo, a relación de subconxunto composta coa súa inversa é sempre a relación universal:

∀ A ∀ B ∅ ⊂ A ∩ B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. Do mesmo xeito,

Para U = universo, A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B.

Considere agora a relación de pertenza do conxunto e a súa inversa.

${\displaystyle A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .}$

Así ${\displaystyle A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .}$ A composición contraria ${\displaystyle \in \ni }$ é a relación universal.

As composicións pódense utilizar para clasificar as relacións segundo o tipo: para unha relación Q, cando a relación de identidade no rango de Q contén Q^TQ, entón Q denomínase univalente . Cando a relación de identidade no dominio de Q está contida en QQ ^T, entón Q chámase total . Cando Q é univalente e total, entón é unha función. Cando Q ^T é univalente, entón Q denomínase inxectiva . Cando Q^T é total, Q denomínase sobrexectiva .

Se Q é univalente, entón QQ^T é unha relación de equivalencia no dominio de Q, consulte Relación transitiva#Propiedades relacionadas.