倍数

数学において、数 a の倍数（ばいすう、英:multiple）とは、a を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、

… −3a, −2a , −a, 0, a, 2a, 3a, …

を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。

a を整数に限ると、a の倍数とは「a で割り切れる整数」のことであり、a の約数（「a を割り切る整数」）と対比されることも多いが、倍数は a が整数でなくても定義できる。

倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、

0, ±a, ±2a, ±3a, …

と表すこともある。とくに a が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は（正の）倍数として

a, 2a, 3a, …

だけを考えることも多い。

整数全体からなる集合 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ を用いると、a の倍数は ${\displaystyle a\mathbb {Z} }$ である。

例

整数の倍数
番号	0	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10
01の倍数	0	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10
02の倍数	0	02	04	06	08	10	12	14	16	18	20
03の倍数	0	03	06	09	12	15	18	21	24	27	30
04の倍数	0	04	08	12	16	20	24	28	32	36	40
05の倍数	0	05	10	15	20	25	30	35	40	45	50
06の倍数	0	06	12	18	24	30	36	42	48	54	60
07の倍数	0	07	14	21	28	35	42	49	56	63	70
08の倍数	0	08	16	24	32	40	48	56	64	72	80
09の倍数	0	09	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10の倍数	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

• 2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, …
  • 偶数に等しい。
• 3 の倍数は 0, ±3, ±6, ±9, ±12, …
• 12 は 1, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもある。
  • 12 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 であることによる。

→「九九」も参照

数学的性質

整数に関する性質

• 0 だけ倍数の個数が有限（0 のみ）である。（したがって 0 の倍数を考えることはあまり意味がない）
• 0 は全ての数の倍数である。
• 全ての数は自分自身の倍数である。
• 全ての整数は 1 と −1 の倍数である。
• 偶数とは 2 の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数の和で表せる数」とも定義できるが、この定義は 2 の倍数であることと同値である。
• a が整数のとき、N が a の倍数であることは、a が N の約数であることと同じ意味である。
• 整数 a, b に対して、b が a で割り切れることと、b の倍数が a の倍数に含まれることは同値である。すなわち、

${\displaystyle a\mid b\Leftrightarrow b\mathbb {Z} \subset a\mathbb {Z} }$

• 2 以上の整数はある素数の倍数である。
• 素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しい。

（→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ）

• a の倍数かつ b の倍数であるものを a と b の公倍数という（3個以上の場合でも同様）。ab は a と b の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
  • a と b の公倍数は a と b の最小公倍数の倍数である。
• a の倍数の倍数は a の倍数である。
• P, Q が 共に a の倍数ならば、kP + lQ（k, l は整数）は共に a の倍数である。
  • 特に、P ± Q は a の倍数である
• 有理整数環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ で二項関係を ${\displaystyle x-y\in a\mathbb {Z} }$ で定義すると、これは同値関係になる。
  • その商集合 ${\displaystyle \mathbb {Z} /a\mathbb {Z} }$ は加法に関するアーベル群である。（→同値関係#商集合の例）

整除性の判定法

整除性の判定法^[1]（せいじょせいのはんていほう, 英: divisibility rule, 仏: critère de divisibilité, 露: признаки делимости, 中: 整除规则）は、ある整数を別の整数で割った商が整数となるか（余りがゼロであるか）を、割り算を直接実行することなく判別する裏技である。倍数の判定法ともいう^[2]。

様々なN進法における倍数判定の方法として、以下の方法が挙げられる。

一の位の数で判定

一の位がMであればMの倍数、という方法。

各桁の和（数字和）で判定

一桁の最後の数（10-1）の倍数は、各桁の和が10-1に収まれば10-1の倍数、という方法。六進数での5の倍数、九進数での（2、4、）8の倍数、十進数での（3、）9の倍数、十六進数での（3、5、）15の倍数、二十五進数の（2、3、4、6、8、12）24の倍数など。

下P桁で判定

下二桁がabであればMの倍数、下三桁がabcであればMの倍数…、という方法。

11が合成数の場合

11となる数が合成数の場合、二桁数abがあれば a-b または b-a の差が11の約数Mになっている場合に、Mの倍数となる、という方法。例：八進数での9（= 11₈）の倍数（3² = 11）、二十進数での3の倍数と7の倍数（3×7 = 11）、三十二進数での3の倍数と11の倍数（33 = 11）など。

一の位をa倍

乗算表の二桁数abから逆算して、一の位bをa倍する方法。十進数における7の倍数（7×3 = 21）、十二進数における5の倍数（5×5 = 21）、十六進数における11の倍数（3×B ＝ 21）、四十進数における3³ の倍数（3×3×3×3 ＝ 21）など。

乗算表の最後の数｛(10-1)² = a1｝の場合は、一の位をa倍して、「整数第二位以上」と「一の位をa倍」の差をa1で割って余りが0になればa1の倍数、という方法。十進数での3⁴ = 81の倍数など。

「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算

「整数第三位以上」に「下二桁をa倍」を加算し、その和をMで割って余りが0ならばMの倍数、という方法。六進数での15（11₁₀）の倍数、十進数での3⁵ = 243 の倍数など。

素因数が複数になる場合には、上記の倍数判定方法を組み合わせることになる。

とりわけ、六進数と十進数では、素因数に2, 3, 5が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 3²+1 となり、"10"の素因数と"10-1"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである（その上に10の素因数も複数ある）。例えば、2³×3²×5 = 1400₍₆₎ = 360₍₁₀₎の倍数も、六進数だと「下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数」で計3種類（1400, 3200, 5000, 10400…）、十進数だと「一の位が0、整数第二位～第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数」で計25₁₀種類（360, 720, 1080, 1440,1800,2160,2520…）となる。

十進数での例

十進数での倍数判定法がいくつか存在する。

1 - 9

割る数 M	整除性の判定法（倍数の判定法）	具体例・備考	Mの倍数 一覧 000(OEIS)000
1	任意の整数は1で割り切れる
2	最後の桁が偶数（0、2、4、6、8）ならば2で割り切れる	1294：最後の桁4は偶数である。割り算を実行してみれば分かるが、1294は2で割り切れる[3]	The nonnegative even numbers: a(n) = 2n. (A005843)
3	各桁の数を合計したものが3で割り切れれば、3で割り切れる	405の場合、4+0+5=9、これは3で割り切れるから405は3で割り切れる[3]	a(n) = 3*n. (A008585)
	各桁に現れる1, 4, 7の数を数える。次に各桁に現れる2, 5, 8の数を数える。両者の差が0ならば3で割り切れる	16,499,205,854,376：1, 4, 7は合計4回現れる。2, 5, 8は合計4回現れる。4-4= 0、∴3で割り切れる
4	最後の2桁が4で割り切れれば4の倍数である	40,832：最後の2桁である32が4で割り切れる[3]	Multiples of 4. (A008586)
	10の位が偶数の場合、1の位が0, 4, 8 10の位が奇数の場合、1の位が2, 6ならば4の倍数である	40,832：10の位の3は奇数で、1の位が2である
	10の位に2を掛け、それに1の位を加える。それが4で割り切れればもとの数は4の倍数である	40832：2×3 + 2 = 8、これは4で割り切れるから40832は4の倍数
5	1の位が0または5	[3]	Multiples of 5: a(n) = 5 * n. (A008587)
6	2と3で同時に割り切れる	1458：1 + 4 + 5 + 8 = 18、∴3で割り切れる。最後の桁2は偶数であるから2で割り切れ、よって6で割り切れる[4]	Nonnegative multiples of 6. (A008588)
	10の位より上の数に4を掛け、1の位の数を加える。この操作を1桁になるまで続け、それが6で割り切れればもとの数は6の倍数である	354: 35 × 4 + 4 = 144，14 × 4 + 4 = 60，6 × 4 + 0 = 24，2 × 4 + 4 = 12，1 × 4 + 2 = 6，よって354は6の倍数
7	下から3桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、下から偶数番目の区分は-1倍して合計する。これが7で割り切れれば7の倍数	1,369,851：851 − 369 + 1 = 483、これは7で割り切れる。よって1,369,851は7の倍数[4]	Multiples of 7. (A008589)
	下から6桁ごとに区分する。各区分を合計する。これが7で割り切れれば7の倍数	16,498,888：16 + 498888 = 498904、これは7で割り切れる。以下略
	1の位に2を掛ける。10以上の位からそれを引く。結果が7で割り切れれば7の倍数	483：48 −（3×2）= 42、7で割り切れる。
	1の位に5を掛け、10以上の位に加える。結果が7で割り切れれば7の倍数	483：48 + (3 × 5) = 63，7で割り切れる。
	最上位の桁の数に3を掛ける。それに上から2桁目の数を加える。こうして得られた数を上位2桁と置き換える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数	483：4×3 + 8 = '20'、20を48に置き換える。203：2×3 + 0 = '6'、6を20に置き換えます。63：6×3 + 3 = 21、7で割り切れる
	下から数えて3桁以上の数に2を掛ける。これに下2桁を加える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数	483,595：95 +（2×4835）= 9765、65 +（2×97）= 259、59 +（2×2）= 63、7で割り切れる。
	（6, 12, 18…桁の数に有効）下の桁から順に1, 3, 2, -1, -3, -2を掛け（周期性あり）、合計する。得られた結果が7で割り切れれば、7の倍数	483,595：(4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7，7で割り切れる
8	100の位が偶数の場合、下2桁が8で割り切れれば8の倍数		Multiples of 8. (A008590)
	100の位が奇数の場合、下2桁に4を加えて8の倍数になればもとの数は8の倍数	352：100の位3は奇数で、下2桁の52に4を加えれば56、これは8で割り切れる
	下から数えて2桁以上の数に2を掛ける。これに下1桁を加えて8で割り切れれば8の倍数	56：（5×2）+ 6 = 16、8で割り切れる。
	下3桁が8で割り切れれば8の倍数	34,152：152は8で割り切れる[5]
	100の位を4倍する。10の位を2倍する。これらの合計に1の位を加える。結果が8で割り切れれば8の倍数	34,152：1×4 + 5×2 + 2 = 16、8で割り切れる。
9	各桁の数を合計したものが9で割り切れれば9の倍数	2880：2 + 8 + 8 + 0 = 18：1 + 8 = 9、9で割り切れる[3]	Multiples of 9: a(n) = 9*n. (A008591)

10 - 19

10	1の位が0ならば10の倍数	[5]	Multiples of 10: a(n) = 10 * n. (A008592)
11	下から数えて奇数桁目は-1倍、偶数桁目は+1倍して合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数	918,082：9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22、11で割り切れる[3]	Multiples of 11. (A008593)
	下から2桁ごとに区分する。各区分の数を合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数	627：6 + 27 = 33、11で割り切れる 50,215：5 + 02 + 15 = 22、11で割り切れる
	下から数えて2桁以上の数から下1桁を引く。結果が11で割り切れれば11の倍数	627：62 − 7 = 55、11で割り切れる。
	1の桁を10倍して10以上の桁の数に加える。2桁になるまで続ける。11の倍数に行きついたらもとの数は11の倍数	627：62 + 70 = 132：13 + 20 = 33、11で割り切れる。
	全体で偶数桁の場合、最初の桁から最後の桁を引く。それを残りの（中間の）桁に加える。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数	918,082（6桁）→1808 +（9 − 2）= 1815、81 + 1 − 5 = 77、これは11で割り切れる。
	全体で奇数桁の場合、最初の桁と最後の桁を足す。それを残りの（中間の）桁から引く。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数	14,179（5桁）→417 −（1 + 9）= 407、0-（4 + 7）= -11、11で割り切れる。
12	同時に3と4で割り切れれば12の倍数	[4]	Multiples of 12. (A008594)
	下から数えて2桁以上の数を2倍する。そこから下1桁を引く。それが12で割り切れれば12の倍数	288：28×2 − 8 = 48、12で割り切れる。
13	下から3桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が13で割り切れれば13の倍数	2,911,272：2-911 + 272 = -637、13で割り切れる[4]	Multiples of 13. (A008595)
	下から6桁ごとに区分する。各区分の数を合計する。結果が13で割り切れれば13の倍数	161,480,059：161 + 480059 = 480220、これは13で割り切れる
	下1桁を4倍する。それを残りの桁に加え、13の倍数になればもとの数は13の倍数	637：63 + 7×4 = 91、9 + 1×4 = 13、13で割り切れる。
	100の位以上の数を4倍する、そこから下2桁を引く。結果が13で割り切れれば13の倍数	923：9×4-23 = 13、13で割り切れる。
	下1桁を9倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が13で割り切れれば13の倍数	637：63-7×9 = 0、13で割り切れる。
14	2と7で同時に割り切れる	[4]	Multiples of 14. (A008596)
	下から数えて3桁以上の数を2倍する。それに下2桁を加える。結果が14で割り切れれば14の倍数	364：3×2 + 64 = 70 1764：17×2 + 64 = 98、どちらも14で割り切れる
	下から数えて2桁以上の数を4倍する。そこから下1桁を引く。結果が14で割り切れれば14の倍数	1358：135×4 − 8 = 532、14で割り切れる。
15	同時に3と5で割り切れる	[4]	Multiples of 15. (A008597)
16	1000の位が偶数の場合、下3桁が16で割り切れれば16の倍数	254,176：1000の位の4は偶数。下3桁は176で、16で割り切れる	Multiples of 16. (A008598)
	1000の位が奇数の場合、下3桁に8を加えたものが16で割り切れれば16の倍数	3408：1000の位の3は奇数。下3桁は408。408 + 8 = 416で、16で割り切れる
	下から数えて3桁以上の数を4倍する。それの下2桁を加える。結果が16で割り切れれば16の倍数	1168：11×4 + 68 = 112、16で割り切れる
	下4桁が16で割り切れる	157,648：下4桁の7648は16で割り切れる[5]
17	下1桁を5倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が17で割り切れれば17の倍数	221：22 −1×5 = 17、17で割り切れる。	Multiples of 17. (A008599)
	下から数えて3桁以上の数を2倍する。そこから下2桁を引く。結果が17で割り切れれば17の倍数	4,675：46×2-75 = 17、これは17で割り切れます。
	下から8桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が17で割り切れれば17の倍数	117,250,581：17250581-1 = 17250580、これは17で割り切れる
18	2と9で同時に割り切れる。		Multiples of 18. (A008600)
19	下1桁を2倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が19で割り切れれば19の倍数	437：43 + 7×2 = 57、19で割り切れる。	Multiples of 19. (A008601)
	下2桁に4を掛ける。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が19で割り切れれば19の倍数	6935：69 + 35×4 = 209、これは19で割り切れる
	下から9桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が19で割り切れれば19の倍数	1,232,228,318：232228318-1 = 232228317、これは19で割り切れる

20 - 29

20	1の位が0、10の位が偶数		Multiples of 20. (A008602)
21	同時に3と7で割り切れる。		Multiples of 21. (A008603)
	下1桁を2倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が21で割り切れれば21の倍数	168：16 −8×2 = 0、21で割り切れる。
22	2と11で同時に割り切れる。		Multiples of 22. (A008604)
23	下1桁を7倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。繰り返して23の倍数に行きつけばもとの数は23で割り切れる	3128：312 + 8×7 = 368、36 + 8×7 = 92、これは23で割り切れる	Multiples of 23. (A008605)
	下2桁を3倍する。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が23で割り切れれば23の倍数	1725：17 + 25×3 = 92、これは23で割り切れる
	1の位の数を16倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が23で割り切れれば23の倍数	391: 39 - 16 = 23、よって391は23の倍数
	下から数えて2桁以上の数を下1桁の数で割る。結果が16ならば23の倍数	1449: 144/9 = 16、23の倍数
	下から11桁ごとに区分する。下から奇数番目の区分は+1倍、偶数番目の区分は-1倍して合計する。結果が23で割り切れれば23の倍数	167,788,290,564：67788290564-1 = 67788290563、これは23で割り切れる
24	同時に3と8で割り切れる。		Multiples of 24. (A008606)
	下から数えて3桁以上の数を4倍する。それに下2桁を加える。結果が24で割り切れれば24の倍数	1632：16×4 + 32 = 96、24で割り切れる
25	下2桁が25の倍数（00、25、50、75）		Multiples of 25. (A008607)
26	2と13で同時に割り切れる。		Multiples of 26. (A252994)
27	下から3桁ごとに区分する。それらの区分を合計して27で割り切れれば27の倍数	2,644,272：2 + 644 + 272 = 918、これは27で割り切れます。	a(n) = 27*n. (A305548)
	下1桁を-1倍して下から2桁以上の位の数に加える。結果が27で割り切れれば27の倍数	621：62 −1×8 = 54、27で割り切れる。
	下2桁の-2倍を下から3桁以上の位の数に加える。結果が27で割り切れれば27の倍数	6507：65×8-7 = 513、27で割り切れる
28	同時に4と7で割り切れる。		Multiples of 28. (A135628)
29	下1桁に3を掛ける。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が29で割り切れれば29の倍数	493：49 + 3×3 = 58、29で割り切れる	Multiples of 29. (A195819)
	下2桁を9倍する。それを下から数えて3桁以上の数に加える。結果が29で割り切れれば29の倍数	5510：55 + 10×9 = 145、これは29で割り切れる

30 - 39

30	下1桁が0、その他の桁の数の合計が3で割り切れる	270：2 + 7 = 9, 3で割り切れる∴270は30の倍数	a(n) = 30*n. (A249674)
31	下1桁を最後3倍する。これを下から2桁以上の位の数字から引く。結果が31で割り切れれば31の倍数	341：34 −1×3 = 31、31で割り切れる。	Multiples of 31. (A135631)
	下から4桁以上の位の数を8倍する。これに下3桁を加える。結果が31で割り切れれば31の倍数	18042：18×8 + 42 = 186、これは31で割り切れる
32	10000の位が偶数の場合、下4桁が32で割り切れる		32*n. (A174312)
	10000の位が奇数の場合、下4桁に16を加えたものが32で割り切れる	340,179,488：10000の位の7は奇数。9488 + 16 = 9504，これは32で割り切れる
	下から3桁以上の位の数に、下2桁の4倍を加える。これが32で割り切れれば32の倍数	1376：13 × 4 + 76 = 128，これは32で割り切れる
	下から4桁以上の位の数を8倍して下3桁を加える。結果が32で割り切れれば32の倍数	19584：19×8 + 584 = 736、これは32で割り切れます。
	下5桁が32の倍数
33	下から2桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計したものが33で割り切れる	169,257：16 + 92 + 57 = 165、これは33で割り切れる	（登録なし）
	同時に3と11で割り切れる。
	下1桁を10倍する。これを下から2桁以上の位の数に加える。結果が33で割り切れれば33の倍数	16104：1610 + 4×10 = 1650, 165 + 0×10 = 165, これは33で割り切れる
34	下から3桁以上の位の数を2倍する。そこから下2桁を引く。結果が34で割り切れれば34の倍数	2516：25×2 − 16 = 34、34で割り切れる。	（登録なし）
	同時に2と17で割り切れる。
35	下から3桁以上の位の数を5倍する。そこから下2桁を引く。結果が35で割り切れれば35の倍数	7455：74×5 − 55 = 315、35で割り切れる。	（登録なし）
36	下から3桁以上の位の数を8倍する。そこから下2桁を引く。結果が36で割り切れれば36の倍数	1512：15×8 − 12 = 108。36で割り切れる。	Multiples of 36. (A044102)
	4と9で同時に割り切れる。
37	下から3桁以上の位の数を11倍する。そこから下2桁を引く。結果が37で割り切れれば37の倍数	68265：682×11 − 65 = 7437、37で割り切れる。	Multiples of 37. (A085959)
	下から3桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計する。それが37で割り切れれば37の倍数	728,395,061：728 + 395 + 61 = 1184、これは37で割り切れる
	下から2桁以上の位の数から下1桁の11倍を引く。結果が37で割り切れれば37の倍数	2294：229 −4×11 = 185、37で割り切れる。
38	2と19で同時に割り切れる。		（登録なし）
39	3と13で同時に割り切れる。		（登録なし）
	下から6桁ごとに区分する。それぞれの区分を合計する。これが39で割り切れれば39の倍数	458,535,168：458 + 535168 = 535626、これは39で割り切れます。
	下1桁を4倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が39で割り切れれば39の倍数	2262：226 + 2×4 = 234、これは39で割り切れます。

40 - 50

40	下1桁が0。下3桁と下2桁を2桁の数とみなし、それが4の倍数。	15960：最後の桁は0。96は4の倍数	a(n) = 40*n. (A317095)
	下3桁が40の倍数
	下から3桁以上の位の数を20倍する。これに下2桁を加える。結果が40で割り切れれば40の倍数	322840：3228×20 + 40 = 64600、これは40で割り切れる
	100の位が偶数の場合、下2桁が00, 40, 80 100の位が奇数の倍、下2桁が20, 60	467520、100の位の5は奇数で、下2桁は20。これは40の倍数
41	下1桁を4倍する。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が41で割り切れれば41の倍数	492：49 −2×4 = 41、41で割り切れる。	（登録なし）
	下から5桁ごとに区分する。各区分を合計し、41で割り切れる	147,559：1 + 47559 = 47560、これは41で割り切れる
42	2と3と7で同時に割り切れる。		（登録なし）
	下から数えて2桁以上の数を4倍する。そこから下1桁を引く。結果が14で割り切れ、かつ数字和が3の倍数ならば42の倍数。	210: 21*4 = 84, 84 - 0 = 84。84は14で割り切れ、数字和2+1+0が3の倍数。
43	下1桁を13倍し、下から2桁以上の位の数に加える。これが43で割り切れれば43の倍数	50998：5099 + 8×13 = 5203、520 + 3×13 = 559、これは43で割り切れます。	（登録なし）
	下2桁を3倍する。ここから下から3桁以上の位の数を引く。これが43で割り切れれば43の倍数	2021：21×3-20 = 43、43で割り切れる
44	4と11で同時に割り切れる。		（登録なし）
45	5と9で同時に割り切れる。		（登録なし）
46	2と23で同時に割り切れる。		（登録なし）
	下から3桁以上の位の数に8を掛ける。それに下2桁を加える。結果が46で割り切れれば46の倍数	162,288：88 +（8×1622）= 13064、64 +（8×130）= 1104、4 +（8×11）= 92、46で割り切れる。
47	下から3桁以上の位の数に6を掛ける。それに下2桁を加える。結果が47で割り切れれば47の倍数	30691：91+6×306 = 1927、47で割り切れる。	（登録なし）
	下1桁を33倍する。それを下から数えて2桁以上の数に加える。結果が47で割り切れれば47の倍数	48128：4812 + 8×33 = 5076、および507 + 6×33 = 705、47で割り切れる
	下1桁に14を掛ける。それを下から数えて2桁以上の数から引く。結果が47で割り切れれば47の倍数	3948：394 −8×14 = 282、47で割り切れる。
48	下から3桁以上の位の数に4を掛ける。それに下2桁を加える。結果が48で割り切れれば48の倍数	5712：12 + 4×57 = 240、48で割り切れる。	（登録なし）
	3と16で同時に割り切れる。
49	下2桁を2倍する。それを下から3桁以上の位の数に加える。結果が49で割り切れれば49の倍数	12457956：56 + 2×124579 = 249214、14 + 2×2492 = 4998、98+ 2×49 = 196、49で割り切れる。	（登録なし）
	下1桁を5倍する。これを下から2桁以上の位の数に加える。結果が49で割り切れれば49の倍数	3871：387 + 1×5 = 392、これは49で割り切れる
50	下2桁が50の倍数（00, 50）		（登録なし）

割る数Mが51以上の倍数判定法の例を以下に示す。

• 一の位を5倍して、整数第二位以上と一の位の5倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 51 で割って余りが 0 であれば、その数は 51 の倍数である。
• 一の位を8倍して、整数第二位以上と一の位の8倍の差を求め、その差が 0、またはその差を 81 で割って余りが 0 であれば、その数は 81 の倍数である。
• 下から2桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 99 で割り切れれば、その数は 99 の倍数である。
• 下から4桁ごとに区分し、各区分を合計した時の数が 101 で割り切れれば、その数は 101 の倍数である。
• 下三桁が 125 の倍数（つまり 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875, 000）ならば、その数は 125 の倍数である。

これら以外にも、先述の倍数判定法を組み合わせることにより、これ以外の整数の倍数であるか判定することができる。一般に、整数Nが N = a*b*c*…*n と表せるとき、a, b, c,･･･, n の倍数判定法をパスした整数はNの倍数である。

• 4の倍数判定法と27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は108の倍数である。
• 5の倍数判定法と37の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は185の倍数である。
• 3の倍数判定法、5の倍数判定法、16の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は240の倍数である。
• 2の倍数判定法、7の倍数判定法、27の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は378の倍数である。
• 8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は792の倍数である。