正多角形

幾何学やそれに関係する数学の諸分野における正多角形（せいたかくけい、英: Regular polygon）とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形のことを指す。

正多角形の一覧。（左上から）正三角形、正四角形（正方形）、正五角形、正六角形、正七角形、…

正多角形は凸多角形又は星型多角形となる。

以下、本記事では「正多角形」を説明の都合上、「正 n 角形」と表すこがある、このとき、 n は2以上の有理数である。また、正多角形の一辺の長さを a とする。

正 n 角形の n の値を${\displaystyle \infty }$に飛ばしたとき、つまり、正${\displaystyle \infty }$角形は、周長・面積が一定の場合は円に、一辺の長さが一定の場合は直線に近似する。

定義

正多角形とは、多角形の内、すべての辺の長さが等しく、すべての内角の大きさが等しいもののことを言う。

→詳細は「多角形」を参照

ユークリッド幾何学

緑色の線分は、正 n 角形を合同な二等辺三角形に n 等分したときの高さ

n が自然数の場合

性質

図形の対称性

正 n 角形は、 n の取る値がどのような値でも、常に線対称で対称軸は n 本であり、 n 次対称性を持つ、また、 n の取る値が偶数のときは点対称でもある。

辺の平行

正 n 角形は、 n の取る値が奇数のとき、どの辺同士も平行ではないが、

n の取る値が偶数のとき、${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$組の対辺は平行である。

図形の相似性

n の取る値が同一の正多角形同士は全て互いに相似である。

内接円と外接円

正多角形の全ての頂点は同一円周上にある。つまり、正多角形は円に内接する。また、すべての辺の中点も同一円周上にある。つまり、正多角形は円に外接する。

内心・外心・重心

正 n 角形の内心・外心・重心は等しい位置にある。また、 n の取る値が偶数のとき、最長の対角線同士の交点と一致する。

その他

角の数が最小であるのは正三角形である。三角形では、辺の長さが全て等しいか、または角の大きさが全て等しい三角形は正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さが全て等しく、かつ角の大きさも全て等しくなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であり、正四角形（正方形）とは限らない。菱形かつ長方形である四角形が正方形となる。

内角の大きさ

内角の大きさを表す公式

正 n 角形の一つの内角の大きさを度数法で表すと

${\displaystyle {\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}}$

となる。また、正多角形だけでなく 多角形でも成り立つ。

公式の証明

上記の式が成り立つことを証明する。

証明1

「多角形の外角の和が${\displaystyle 360^{\circ }}$である」という外角の和の定理を利用する、正 n 角形は n 個の等しい大きさの外角を持つため、正 n 角形の一つの外角の大きさは${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}$、よって、一つの正 n 角形の内角の大きさは

${\displaystyle 180^{\circ }-{\frac {360^{\circ }}{n}}={\frac {180^{\circ }n}{n}}-{\frac {360^{\circ }}{n}}={\frac {180^{\circ }n-360^{\circ }}{n}}={\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}}$

となる。

証明2

まず、三角形の内角の和が${\displaystyle 180^{\circ }}$であることを示す。

△ABCにおいて頂点Aを通り、辺BCと平行な直線PQを引く、そして、錯角から${\displaystyle \angle ABC=\angle BAP}$と${\displaystyle \angle ACB=\angle CAQ}$が分かる。これにより、${\displaystyle \angle BAP+\angle BAC+\angle CAQ=180^{\circ }}$が分かり、${\displaystyle \angle ABC=\angle BAP}$、${\displaystyle \angle ACB=\angle CAQ}$なため、${\displaystyle \angle ABC+\angle BAC+\angle ACB=180^{\circ }}$と分かる。

正 n 角形はn−2個の三角形に分割でき、一つの三角形の内角の和は${\displaystyle 180^{\circ }}$のため、正 n 角形の内角の和は、${\displaystyle 180^{\circ }(n-2)}$となる、正 n 角形は n 個の等しい大きさの内角を持つため、正 n 角形の一つの内角の大きさは

${\displaystyle {\frac {180^{\circ }(n-2)}{n}}}$

となる。

→詳細は「多角形の三角形分割」を参照

面積

面積を表す公式

正 n 角形の面積を表すと

${\displaystyle {na^{2} \over 4}\cot {\pi \over {n}}}$

である。

公式の証明

まず、正 n 角形の外心と各頂点を線分で結び、合同な n 個の二等辺三角形に分割する。できた二等辺三角形は、中心角の大きさが${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$ラジアンで、底辺の長さが a である。また、高さ h とする。分割した後、正 n 角形の外心から、各辺に向かって垂直二等分線を引く、すると、辺と角が二等分され、合同な2n個の直角三角形が分割する。できた直角三角形は、中心角の大きさが${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}\div 2={\frac {\pi }{n}}}$ラジアンで、底辺の長さが${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$である。三角比の${\displaystyle \tan }$を用いると、${\displaystyle \tan }$の定義「${\displaystyle \tan \theta =}$対辺${\displaystyle /}$隣辺」より、${\displaystyle \theta }$は${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$ラジアンで対辺の長さは${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$、隣辺の長さは高さ h のため、

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{n}}={\frac {\frac {a}{2}}{h}}}$

という関係式が成り立ちます。ここから、高さ h を求めると、

${\displaystyle h={\frac {a}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}=\cot \theta }$より、

${\displaystyle h={\frac {a}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}}$

内接・外接

多角形 F に対して、頂点が F の辺上にあり、なおかつ F の内部にあるとき、多角形は多角形 F に内接するという。また、F の頂点が辺上にあり、Fの外部にある多角形は多角形 F に外接するという。

（例）：⬡ABCDEFにおいて、辺AB,CD,EFの中点を頂点とする△PQRは⬡ABCDEFに内接する図形である。

以上のことを踏まえた上で、一辺の長さが a である正n角形 F において、F に内接する正n角形で、面積が最小であるものの面積 s、F に外接する正n角形で、面積が最大であるものの面積 S はそれぞれ、

${\displaystyle s={na^{2} \over 4}\cot {\pi \over {n}}\cos ^{2}{\pi \over {n}}}$

${\displaystyle S={na^{2} \over 2\sin {2\pi \over {n}}}}$

と表される^[疑問点]。

半径が一定の円に内接する正n角形は、n → ∞ とするとその円に近づくので、十分大きい n について「周長÷外接円の直径」を計算すると円周率の近似値が得られる。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史上の始まりに位置する。これはいわば「正∞角形は円である」ということである。

対角線の長さ

正n角形の対角線の長さの種類は

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1={\frac {2n-5+(-1)^{n}}{4}}}$

だけある（⌊x⌋ はガウス記号）。一辺の長さを a とすると、m番目に短い対角線の長さは

${\displaystyle {a\sin {(m+1)\pi \over {n}} \over {\sin {\pi \over {n}}}}}$

である。m = 0 のとき辺の長さ、m = 1 のとき最短の対角線の長さを表す。

コンパスと定規を用いて描けるもの

→詳細は「定規とコンパスによる作図」を参照

p を素数とする。正p角形のうち、作図可能なものは、頂点の個数 p がフェルマー素数 (3, 5, 17, 257, 65537) である場合のみであり、それぞれ正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形である。頂点の個数が素数でないものについては、その数を素因数分解した時に奇数の因数がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない（2の冪）場合のみ作図することが可能である。

例：正方形は、奇数の因数がないので (4=2×2) 作図することができる。正六角形や正十五角形は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので (6=2×3, 15=3×5) 作図することができる。正九角形は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので (9=3×3) 作図できない。

正十七角形の作図可能性は、1796年3月30日にカール・フリードリヒ・ガウスが発見した。さらにガウスは1801年に出版したDisquisitiones Arithmeticae（『ガウス整数論』）の第365条、第366条において、作図できる正多角形の必要十分条件も示している。

作図可能性の比較

正多角形（正四十角形まで）が作図可能かどうかを以下に示す。なお、○は作図可能、×は作図不可能を示す。

正多角形	定規とコンパスによる作図	折紙による作図	ネウシス作図 (Neusis)	備考
正三角形	○	○	○
正方形	○	○	○
正五角形	○	○	○
正六角形	○	○	○
正七角形	×	○	○	ピアポント素数も参照のこと。
正八角形	○	○	○
正九角形	×	○	○
正十角形	○	○	○
正十一角形	×	×	×→○[1]	折り紙は1回ずつ折る方法だが、3重折りを許せば折り紙で作図可能[2]。2重折りで作図可能[3]。
正十二角形	○	○	○
正十三角形	×	○	○
正十四角形	×	○	○
正十五角形	○	○	○
正十六角形	○	○	○
正十七角形	○	○	○	フェルマー素数も参照のこと。
正十八角形	×	○	○
正十九角形	×	○	○
正二十角形	○	○	○
正二十一角形	×	○	○
正二十二角形	×	×	×→○[1]
正二十三角形	×	×	×
正二十四角形	○	○	○
正二十五角形	×	×	未解決問題
正二十六角形	×	○	○
正二十七角形	×	○	○
正二十八角形	×	○	○
正二十九角形	×	×	×
正三十角形	○	○	○
正三十一角形	×	×	未解決問題
正三十二角形	○	○	○
正三十三角形	×	×	×→○
正三十四角形	○	○	○
正三十五角形	×	○	○
正三十六角形	×	○	○
正三十七角形	×	○	○
正三十八角形	×	○	○
正三十九角形	×	○	○
正四十角形	○	○	○

正p角形（p は3以上の素数）、正(2n + 1)角形の作図に必要な値 cos(2π/2n+1) は、n次方程式の解として求められる^[4]。

n	2n+1	方程式の次数	方程式の次数（素因数分解）	定規とコンパス 作図	折り紙 作図
1	正3角形	1次方程式	1次方程式	○	○
2	正5角形	2次方程式	2次方程式	○	○
3	正7角形	3次方程式	3次方程式	×	○
5	正11角形	5次方程式	5次方程式	×	×
6	正13角形	6次方程式	(2×3)次方程式	×	○
8	正17角形	8次方程式	(2×2×2)次方程式	○	○

→詳細は「ユークリッド幾何学」を参照

楕円幾何学

→詳細は「楕円幾何学」を参照

最も角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。

この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。

双曲幾何学

→詳細は「双曲幾何学」を参照

最も角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。