បំលែងឡាប្លាស

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា បំលែងឡាប្លាស (Laplace transform) ជាបំលែងអាំងតេក្រាលដ៏ល្បីល្បាញមួយក្នុងចំនោមបំលែងជាច្រើន ដែលត្រួវបានគេប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់​ជាទូទៅដើម្បីធ្វើអោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា​ទៅជាសមីការពិជគណិត​ដែលងាយៗ​ដើម្បីសំរួល​ក្នុងដោះស្រាយ។ បំលែងឡាប្លាសត្រូវបានគេប្រើក្នុងការអនវត្តន៍សំខាន់ៗជាច្រើនក្នុង​គណិតវិទ្យា អុបទិក វិស្វកម្មអគិ្គសនី control engineering , signal processing និងួទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ក្នងគណិតវិទ្យា ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង សមីការអាំងតេក្រាល។

ប្រវត្តិ

រូបភាព​លោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស​ក្នុងឆ្នាំ១៨៤២

បំលែងឡាប្លាសត្រូវដាក់ឈ្មោះដោយផ្តល់កិត្តិយល់ដល់គណិតវិទូ និង តារាវិទូជនជាតិបារាំងគឺលោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស (Pierre-Simon Laplace) ដែលបានប្រើប្រាស់​បំលែងនេះក្នុងកិច្ចការ​របស់គាត់ចំពោះទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ពីឆ្នាំ១៧៤៤ លេអុណាដ អឺលែរ (Leonhard Euler) បានធ្វើការសង្កេតទៅលើអាំងតេក្រាលដែលមានទំរង់៖

${\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\,}$ និង ${\displaystyle z=\int X(x)x^{A}\,dx}$

និយមន័យ

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ f(t) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត t ≥ 0 គឺជាអនុគមន៍ F(s) កំនត់ដោយ៖

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

ដែល ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$ ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលឡាប្លាស។

រូបមន្តគ្រឹះ

អនុគមន៍ដើម f(t)	បំលែងឡាប្លាស F(s)
${\displaystyle e^{at}f(t)\,}$	${\displaystyle F(s-a)\,}$
${\displaystyle f(at)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}F({\frac {s}{a}});\quad a>0}$
${\displaystyle f'(t)\,}$	${\displaystyle sF(s)-f(0)\,}$
${\displaystyle f''(t)\,}$	${\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\,}$
${\displaystyle t^{k}f(t)\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}F^{(k)}(s)\,}$
${\displaystyle f*g\,}$	${\displaystyle F(s)G(s)\quad$ ;{\mathcal {L}}[g(t)]=G(s)}
${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$
${\displaystyle t\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$
${\displaystyle t^{n}\,}$	${\displaystyle {\frac {n!}{s^{n+1}}}}$
${\displaystyle e^{at}\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{s-a}}\,}$
${\displaystyle e^{at}t\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{(s-a)^{2}}}}$
${\displaystyle \sin \omega t\,}$	${\displaystyle {\frac {\omega }{s^{2}+{\omega }^{2}}}\,}$
${\displaystyle \cos \omega t\,}$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}+{\omega }^{2}}}}$
${\displaystyle \sinh \omega \,}$	${\displaystyle {\frac {\omega }{s^{2}-{\omega }^{2}}}\,}$
${\displaystyle \cosh \omega t\,}$	${\displaystyle {\frac {s}{s^{2}-{\omega }^{2}}}\,}$
${\displaystyle t\sin \omega t\,}$	${\displaystyle {\frac {2\omega s}{(s^{2}+{\omega }^{2})^{2}}}}$
${\displaystyle t\cos \omega t\,}$	${\displaystyle {\frac {s^{2}-{\omega }^{2}}{(s^{2}+{\omega }^{2})^{2}}}}$
${\displaystyle e^{at}\sin \omega t\,}$	${\displaystyle {\frac {\omega }{(s-a)^{2}+{\omega }^{2}}}}$
${\displaystyle e^{at}\cos \omega t\,}$	${\displaystyle {\frac {(s-a)}{(s-a)^{2}+{\omega }^{2}}}}$

លក្ខណៈនិងទ្រឹស្តីបទ

គេមានអនុគមន៍ f(t) , g(t) និងបំលែងឡាប្លាសរបស់វារៀងគ្នា F(s) ,G(s):

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\},\qquad g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}}$

គេបានតារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាសដូចខាងក្រោម

តារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាស

	អនុគមន៍	បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍	សំគាល់​​​​​​​
លីនែអ៊ែរ	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	អាចទទួលបានដោយប្រើក្បូនគោលនៃអាំងតេក្រាល
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	${\displaystyle t^{n}f(t)\ }$	${\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }$	ទំរង់ទូទៅ
ដេរីវេ	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ }$	ទទួលបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
ដេរីវេទី២	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$
ដេរីវេទូទៅ	${\displaystyle f^{(n)}(t)\ }$	${\displaystyle s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})\ }$
អាំងតេក្រាលប្រេកង់	${\displaystyle {\frac {f(t)}{t}}\ }$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }$
អាំងតេក្រាល	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	${\displaystyle u(t)\,}$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ (Heaviside step function)។
Scaling	${\displaystyle f(at)\ }$	${\displaystyle {1 \over |a|}F\left({s \over a}\right)}$
	${\displaystyle e^{at}f(t)\ }$	${\displaystyle F(s-a)\ }$
	${\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$	${\displaystyle u(t)\,}$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ
	${\displaystyle (f*g)(t)\ }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
អនុគមន៍ខួប	${\displaystyle f(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$	${\displaystyle f(t)\,}$ ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T ដែល${\displaystyle f(t)=f(t+T),\;\forall t\geq 0}$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃដើម:

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃចុងបំផុត:

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$,ប្រសិនបើគ្រប់ប៉ូលនៃ ${\displaystyle sF(s)}$ គឺស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដៃខាងឆ្វេង។

លក្ខណៈលីនេអ៊ែរ

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af+bg\right\}=a\,{\mathcal {L}}\left\{f\right\}+b\,{\mathcal {L}}\left\{g\right\}}$

ដេរីវេ

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=p{\mathcal {L}}\{f\}-f(0+)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=p^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-pf(0+)-f'(0+)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=p^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-p^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(p)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{p}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma }$

រូបមន្តទី៥អាចត្រូវបានបង្ហាញលក្ខណៈ

ចេញពីនិយមន័យនៃ ${\displaystyle {\mathcal {\,}}F(\sigma )=\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{p=\sigma }\,}$

និង :${\displaystyle {\mathcal {\,}}\int _{p}^{\infty }F(\sigma )d{\sigma }=\int _{0}^{\infty }\int _{p}^{\infty }e^{-{\sigma }t}f(t)dtd{\sigma }\,}$

${\displaystyle {\mathcal {\,}}\Longrightarrow \int _{p}^{\infty }F({\sigma })d{\sigma }=\int _{0}^{\infty }f(t)dt\cdot \int _{p}^{\infty }e^{-{\sigma }t}d{\sigma }\,}$

ដោយការគណនាអាំងតេក្រាល

${\displaystyle {\mathcal {\,}}\int _{p}^{\infty }F(\sigma )d{\sigma }=\int _{0}^{\infty }f(t)dt\cdot ({\frac {1}{t}}e^{-pt})\,}$

ដែលជាបំលែងនៃ ${\displaystyle {\mathcal {\,}}{\frac {f(t)}{t}}\,}$ ដូច្នេះ ${\displaystyle {\mathcal {\,}}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}\,}$

ដូច្នេះ :${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{p}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma }$

អាំងតេក្រាល

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over p}{\mathcal {L}}\{f\}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{a}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over p}{\mathcal {L}}\{f\}+{1 \over p}\int _{a}^{0}f(\tau )d\tau }$

តំលៃចុងក្រោយ

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }f(t)=\lim _{p\to 0}pF(p)}$

តំលែដើម

${\displaystyle \lim _{t\to 0+}f(t)=\lim _{p\to +\infty }pF(p)}$

Convolution

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}}$

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Tp}}\int _{0}^{T}e^{-pt}f(t)\,dt}$

• គេអាចបង្ហាញរូបមន្តនៃលក្ខណៈដូចតទៅ៖

${\displaystyle {\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u}+\int _{T}^{2T}e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u+T}\int _{2T}^{3T}e^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u+2T}+...\,}$

${\displaystyle {\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-pt}f(u)du+\int _{T}^{2T}e^{-p(u+T)}f(u+T)du+\int _{2T}^{3T}e^{-p(u+2T)}f(u+2T)du+...\,}$

${\displaystyle {\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-pT}\int _{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-2pT}\int _{0}^{T}e^{-pu}f(u)dT+...\,}$

គេផ្តុំតួរនីមួយៗ:

${\displaystyle {\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-pt}f(t)dt=(1+e^{-pT}+e^{-2pT}+...)\int _{0}^{T}e^{-pT}f(T)du{\mid }_{u=t}\,}$

ដូចនេះ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Tp}}\int _{0}^{T}e^{-pt}f(t)\,dt}$

តារាងរូបមន្តសង្ខេបបំលែងឡាប្លាស

តារាងខាងក្រោមផ្តល់នូវរូបមន្តបំលែងឡាប្លាសទូទៅនៃអថេរមួយ។ ចំពោះនិយមន័យនិងសេចក្តីពន្យល់សូមមើលសំគាល់ផ្នែកខាងចុងនៃតារាង។

• បំលែងឡាប្លាសនៃផលបូកគឺជាផលបូកនៃបំលែងឡាប្លាសនៃតួរនិមួយៗ។

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}$

• បំលែងឡាប្លាសច្រើនដងនៃអនុគមន៍មួយគឺ​មានបំលែងឡាប្លាសជាចំនួនច្រើនដងនៃអនុគមន៍នោះ។

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$

បំលែងឡាប្លាសតែឯងគឺពិតជាត្រឹមត្រូវនៅពែល t ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ដែលគ្រប់អនុគមន៍ដើមក្នុងតារាងគឺជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយជាច្រើន u(t) ។

ID	ឈ្មោះអនុគមន៍	អនុគមន៍ដើម ${\displaystyle x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}}$	បំលែងឡាប្លាស ${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$	causal systems
1	ideal delay	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$
1a	unit impulse	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1\ }$	${\displaystyle \mathrm {all} \ s\,}$
2	delayed nth power with frequency shift	${\displaystyle {\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2a	ស្វ័យគុណទី n ( ចំពោះចំនួនគត់ n )	${\displaystyle {t^{n} \over n!}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{n+1}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2a.1	ស្វ័យគុណទី q (ចំនួនពិត q )	${\displaystyle {t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{q+1}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2a.2	អនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2b	delayed unit step	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {e^{-\tau s} \over s}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2c	ramp	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2d	nth power with frequency shift	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \,}$
2d.1	exponential decay	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \ }$
3	exponential approach	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ }$
4	ស៊ីនុស	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ }$
5	កូស៊ីនុស	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ }$
6	ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\ }$
7	កូស៊ីនុសអ៊ីពែលីក	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\ }$
8	Exponentially-decaying sine wave	${\displaystyle e^{\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \ }$
9	Exponentially-decaying cosine wave	${\displaystyle e^{\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s-\alpha \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \ }$
10	រឺសទីn	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
11	លោការីតធម្មជាតិ	${\displaystyle \ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
12	Bessel function of the first kind, of order n	${\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$ ${\displaystyle (n>-1)\,}$
13	Modified Bessel function of the first kind, of order n	${\displaystyle I_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\omega |\,}$
14	Bessel function of the second kind, of order 0	${\displaystyle Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{2\sinh ^{-1}(s/\alpha ) \over \pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
15	Modified Bessel function of the second kind, of order 0	${\displaystyle K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)}$
16	Error function	${\displaystyle \mathrm {erf} (t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {e^{s^{2}/4}\left(1-\operatorname {erf} \left(s/2\right)\right) \over s}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
សំគាល់: ${\displaystyle u(t)\,}$ តំណាងអោយអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ ${\displaystyle \delta (t)\,}$ តំណាងអោយ Dirac delta function ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ តំណាងអោយហ្គាំម៉ា ${\displaystyle \gamma \,}$ ជាថេរអឺលែរម៉ាសឆេរ៉ូនី ${\displaystyle t\,}$ ជាចំនួនពិតតំណាងអោយពេល (time) ${\displaystyle s\,}$ ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច angular frequency និង${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}}$ ជាផ្នែកពិត. ${\displaystyle \alpha \,}$, ${\displaystyle \beta \,}$, ${\displaystyle \tau \,}$, និង ${\displaystyle \omega \,}$ ចំនួនពិត ${\displaystyle n\,}$ ជាចំនួនគត់