표현 가능 함자

범주론에서 표현 가능 함자(表現可能函子, 영어: representable functor)는 어떤 요네다 함자와 자연 동형인 함자이다.

정의

국소적으로 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서 집합의 범주로 가는 함자 ${\displaystyle F}$의 표현 ${\displaystyle (X,\Phi )}$은 다음과 같은 순서쌍이다.

• ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상이다.
• ${\displaystyle \Phi \colon \hom(X,-)\implies F}$는 자연 동형이다.

표현 가능 함자는 적어도 하나의 표현이 존재하는 함자이다.

국소적으로 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서 집합의 범주로 가는 함자 ${\displaystyle F}$의 보편 원소 ${\displaystyle (X,u)}$는 다음과 같은 순서쌍이다.

• ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상이다.
• ${\displaystyle u\in F(X)}$는 다음 조건을 만족시키는 원소이다.
  • 임의의 ${\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}}$ 및 ${\displaystyle v\in F(Y)}$에 대하여, ${\displaystyle Ff\colon u\mapsto v}$인 유일한 사상 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 존재한다.

함자의 표현들은 그 보편 원소와 일대일 대응한다. 표현 ${\displaystyle (X,\Phi )}$에 대응하는 보편 원소 ${\displaystyle (X,u)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle u=\Phi _{X}(\operatorname {id} _{X})}$

반대로, 보편 원소 ${\displaystyle (X,u)}$에 대응하는 표현 ${\displaystyle (X,\Phi )}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi _{Y}(f)=(Ff)(u)\qquad \forall f\in \hom(X,Y)}$

성질

주어진 함자의 표현들은 (만약 존재한다면) 모두 서로 표준적으로 동형이다. 즉, ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$의 두 개의 표현 ${\displaystyle (X_{1},\Phi _{1})}$, ${\displaystyle (X_{2},\Phi _{2})}$에 대하여,

${\displaystyle \Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\hom(\phi ,-)}$

인 유일한 ${\displaystyle \phi \in \hom(X_{1},X_{2})}$가 존재한다.

예

${\displaystyle {\mathcal {P}}\colon \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$가 집합을 그 멱집합으로 대응시키고, 함수를 그 역함수 ${\displaystyle f^{-1}\colon S\mapsto \{x\colon f(x)\in S\}}$로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle (X,u)=(\{0,1\},\{1\})}$은 보편 원소를 이룬다.

대수 구조 다양체의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$의 경우, 항상 망각 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {Set} }$ 및 그 수반 함자인 자유 함자 ${\displaystyle G\colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {V}}}$가 존재한다. 이 경우, 보편 원소는 ${\displaystyle (G(\{\bullet \}),\bullet )}$이 된다. 여기서 ${\displaystyle \{\bullet \}}$은 크기가 1인 임의의 집합이다.

위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$의 망각 함자 ${\displaystyle F\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} }$의 보편 원소는 ${\displaystyle (\{\bullet \},\bullet )}$이다. 여기서 ${\displaystyle \{\bullet \}}$은 한원소 공간이다.

점을 가진 공간의 호모토피 범주에서 점을 가진 집합의 반대 범주로 가는 함자들의 표현 가능성은 브라운 표현 정리에 의하여 주어진다.

외부 링크

• “Representable functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Representable functor”. 《nLab》 (영어).

같이 보기

• 요네다 보조정리
• 부분 대상 분류자
• 모듈라이 공간