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표현 가능 함자

어떤 대상 X에 대하여, 사상 집합 함자 hom(X, –)와 자연 동형인 함자 위키백과, 무료 백과사전

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범주론에서 표현 가능 함자(表現可能函子, 영어: representable functor)는 어떤 요네다 함자자연 동형함자이다.

정의

요약
관점

국소적으로 작은 범주 에서 집합의 범주로 가는 함자 표현 은 다음과 같은 순서쌍이다.

  • 의 대상이다.
  • 자연 동형이다.

표현 가능 함자는 적어도 하나의 표현이 존재하는 함자이다.

국소적으로 작은 범주 에서 집합의 범주로 가는 함자 보편 원소 는 다음과 같은 순서쌍이다.

  • 의 대상이다.
  • 는 다음 조건을 만족시키는 원소이다.
    • 임의의 에 대하여, 인 유일한 사상 가 존재한다.

함자의 표현들은 그 보편 원소와 일대일 대응한다. 표현 에 대응하는 보편 원소 는 다음과 같다.

반대로, 보편 원소 에 대응하는 표현 는 다음과 같다.

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성질

주어진 함자의 표현들은 (만약 존재한다면) 모두 서로 표준적으로 동형이다. 즉, 의 두 개의 표현 , 에 대하여,

인 유일한 가 존재한다.

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요약
관점

가 집합을 그 멱집합으로 대응시키고, 함수를 그 역함수 로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 은 보편 원소를 이룬다.

대수 구조 다양체의 범주 의 경우, 항상 망각 함자 및 그 수반 함자인 자유 함자 가 존재한다. 이 경우, 보편 원소는 이 된다. 여기서 은 크기가 1인 임의의 집합이다.

위상 공간의 범주 의 망각 함자 의 보편 원소는 이다. 여기서 한원소 공간이다.

점을 가진 공간의 호모토피 범주에서 점을 가진 집합반대 범주로 가는 함자들의 표현 가능성은 브라운 표현 정리에 의하여 주어진다.

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외부 링크

같이 보기

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