극점 (기하학)

기하학에서 극점(極點, 영어: extreme point)은 어떤 볼록 집합 속의 점 가운데, 다른 두 점의 볼록 선형 결합으로 나타낼 수 없는 것이다. 즉, 볼록 집합의 일종의 ‘귀퉁이’에 해당한다. 크레인-밀만 정리(Крейн-Мильман定理, 영어: Krein–Milman theorem)에 따르면, 실수 국소 볼록 공간의 콤팩트 볼록 집합은 그 극점들의 볼록 폐포와 같다. 쇼케 정리(Choquet定理, 영어: Choquet’s theorem)에 따르면, 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 속의 임의의 점은 그 극점 집합 위에 정의된 확률 측도의 무게 중심으로 나타내어진다.

하늘색으로 칠해진 콤팩트 볼록 집합의 극점들은 붉게 칠해진 점들이다. 크레인-밀만 정리에 따라, 이 극점들의 볼록 폐포는 원래 볼록 집합과 같다.

정의

실수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 볼록 집합 ${\displaystyle S}$의 부분 집합 ${\displaystyle F\subseteq S}$가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 면(面, 영어: face)이라고 한다.^{[1]:121, Chapter 8}

• 공집합이 아니다.
• 임의의 두 ${\displaystyle x,y\in S}$ 및 ${\displaystyle 0<t<1}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle tx+(1-t)y\in F}$라면, ${\displaystyle x,y\in F}$이다.

실수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 볼록 집합 ${\displaystyle S}$ 속의 점 ${\displaystyle x\in S}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \{x\}}$가 ${\displaystyle S}$의 면이라면, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle S}$의 극점이라고 한다.^{[1]:120, Chapter 8[2]:23, Definition 2.10[3]:369, §A1.3}

${\displaystyle S}$의 극점의 집합을 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(S)}$로 표기하자.

극점 계수

보다 일반적으로, 실수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 볼록 집합 ${\displaystyle S}$ 속의 점 ${\displaystyle x\in S}$의 극점 계수(영어: extreme rank)는 다음과 같은 자연수이다.

${\displaystyle \operatorname {ext} (x)=\min \left\{k\colon x=\sum _{i=0}^{k}t_{i}y_{i},\;k\in \mathbb {Z} ^{+},\;y_{0},\dotsc ,y_{k}\in S,\;(t_{0},\dotsc ,t_{k})\in \operatorname {int} (\Delta ^{k})\right\}}$

여기서, 임의의 양의 정수 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {int} (\Delta ^{k})\subseteq (\mathbb {R} ^{+})^{k+1}}$

${\displaystyle (t_{0},\dotsc ,t_{k})\in \operatorname {int} (\Delta ^{k}){\overset {\text{def}}{\iff }}t_{0}+\dotsb +t_{k}=1}$

는 ${\displaystyle k}$차원 단체의 내부이다. 특히, ${\displaystyle \operatorname {int} (\Delta ^{0})=\{1\}}$이며, 임의의 ${\displaystyle x\in S}$는 ${\displaystyle x=1x}$로 나타내어지므로 항상 ${\displaystyle \operatorname {ext} (x)\geq 0}$이다.

이 경우, 만약 ${\displaystyle \operatorname {ext} (x)=n}$이라면 ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle n}$-극점이라고 하자. 즉, 극점의 개념은 0-극점의 개념과 같다.

성질

임의의 실수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 볼록 집합 ${\displaystyle K\subseteq V}$의 면들의 족 ${\displaystyle (F_{i})_{i\in I}}$에 대하여, 그 교집합 ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}F_{i}}$는 공집합이 아니라면 항상 면이다.

증명:

임의의 ${\displaystyle x,y\in K}$ 및 ${\displaystyle t\in (0,1)}$에 대하여,

${\displaystyle \forall i\in I\colon tx+(1-t)y\in F_{i}}$

라고 하자. 그렇다면, 면의 정의에 따라서 ${\displaystyle \forall i\in I\colon x,y\in F}$이며, 따라서 ${\displaystyle \textstyle x,y\in \bigcap _{i\in I}F_{i}}$이다.

존재

임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 ${\displaystyle V}$ 속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합 ${\displaystyle \varnothing \neq K\subseteq V}$의 닫힌 면 ${\displaystyle F\subseteq K}$에 대하여, ${\displaystyle F}$에 속하는 ${\displaystyle K}$의 극점이 (적어도 하나 이상) 존재한다.^{[1]:127, 8.13}

증명:

${\displaystyle K}$의 닫힌 면들의 (부분 집합 관계의 반대 관계에 대한) 부분 순서 집합 ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq )}$을 생각하자. 초른 보조정리를 사용할 경우, 다음 두 명제를 보이면 족하다.

• ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq )}$는 닫힌 부분 순서 집합이다.
  • 증명: 닫힌 면들의 사슬 ${\displaystyle (F_{i})_{i\in I}}$의 경우, ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}F_{i}}$는 (칸토어의 교점 정리에 의하여) 공집합이 아니며, (면들의 교집합은 공집합 또는 면이므로) 면이며, (닫힌집합의 교집합은 닫힌집합이므로) 닫힌집합이다.
• ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq )}$의 최대 원소는 한원소 집합이다.
  • 증명: 임의의 닫힌 면 ${\displaystyle F\subseteq K}$가 서로 다른 두 점 ${\displaystyle x,y\in F}$, ${\displaystyle x\neq y}$을 갖는다고 하자. 한-바나흐 정리에 따라, ${\displaystyle \phi (x)\neq \phi (y)}$인 실수 값 선형 범함수 ${\displaystyle \phi \colon V\to \mathbb {R} }$가 존재한다. ${\displaystyle F}$가 콤팩트 집합이므로 ${\displaystyle \phi (F)}$는 최댓값을 갖는다. 따라서 ${\displaystyle G=\textstyle \phi ^{-1}(\max _{x\in F}\phi (x))}$는 공집합이 아니며, 닫힌집합이며, 또한 면을 이룬다. 또한, ${\displaystyle \phi (x)\neq \phi (y)}$이므로, ${\displaystyle G}$는 ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle y}$를 둘 다 포함할 수 없다. 즉, ${\displaystyle G\subsetneq F}$이다. 이에 따라, ${\displaystyle F}$는 ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq F)}$의 최대 원소가 될 수 없다.

극점의 볼록 폐포

임의의 실수 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 볼록 집합 ${\displaystyle S}$ 속의 두 점 ${\displaystyle x,y\in S}$ 및 ${\displaystyle t\in (0,1)}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {ext} _{S}(tx+(1-t)y)<\operatorname {ext} _{S}(x)+\operatorname {ext} _{S}(y)}$

크레인-밀만 정리에 따르면, 임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 콤팩트 볼록 집합 ${\displaystyle K\subseteq V}$은 그 극점들의 볼록 폐포와 일치한다.

증명:^{[1]:128, Theorem 8.14[3]:371, Theorem A1.6}

${\displaystyle K=\varnothing }$은 자명하므로 ${\displaystyle K\neq \varnothing }$이라고 가정하자. ${\displaystyle K}$의 극점 집합 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(K)\subseteq K}$를 생각하자. 자명하게 ${\displaystyle \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))\subseteq K}$이다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {co} (-)}$는 볼록 폐포이다.) 따라서 ${\displaystyle K\subseteq \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}$를 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여, ${\displaystyle x\in K\setminus \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}$라고 하자. 한-바나흐 정리에 의하여, ${\displaystyle \{x\}}$와 ${\displaystyle \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}$를 분리하는, 즉

${\displaystyle \inf _{e\in \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}\phi (e)>\phi (x)}$

가 성립하는 실수 값 선형 범함수

${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

가 존재한다. ${\displaystyle K}$가 콤팩트 볼록 집합이므로 그 상 ${\displaystyle \phi (K)}$ 역시 콤팩트 볼록 집합, 즉 닫힌구간 ${\displaystyle [s,t]\subseteq \mathbb {R} }$이며, ${\displaystyle s\leq \phi (e)c\leq t}$이다. 즉, ${\displaystyle F=\phi ^{-1}(t)}$는 ${\displaystyle K}$의 닫힌 면이며, 정의에 따라 ${\displaystyle F\cap \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))=\varnothing }$이다. 그런데 ${\displaystyle F}$에 속하는 ${\displaystyle K}$의 극점이 존재한다. 즉, ${\displaystyle \varnothing \neq F\cap {\mathcal {E}}(K)\subseteq F\cap \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}$이며, 이는 모순이다.

체르멜로-프렝켈 집합론과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리와 동치이다.

또한, 에드거 정리(영어: Edgar’s theorem)에 따르면, 반사 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 임의의 유계 볼록 닫힌집합 ${\displaystyle K}$는 스스로의 극점의 볼록 폐포와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합인 것은 콤팩트 집합인 것보다 더 약한 조건이다.)

밀만 정리(영어: Milman’s theorem)에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 콤팩트 볼록 집합 ${\displaystyle K\subseteq V}$의 부분 집합 ${\displaystyle T\subseteq K}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle T}$를 포함하는 최소의 볼록 닫힌집합이 ${\displaystyle K}$라면, ${\displaystyle K}$의 모든 극점은 ${\displaystyle T}$의 폐포에 속한다.^{[1]:138, Theorem 9.4}

극점 위의 측도

임의의 실수 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 속의 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq V}$ 속의 베르 집합 ${\displaystyle A\in \operatorname {Baire} (K)}$ 및 측도 ${\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} (A)\to [0,\infty ]}$ 및 ${\displaystyle v\in V}$가 주어졌을 때, 만약

${\displaystyle \forall f\in V^{*}\colon f(x_{0})=\int _{A}\phi \,\mathrm {d} \mu }$

가 성립한다면, ${\displaystyle v}$를 ${\displaystyle \mu }$의 무게 중심(-中心, 영어: barycenter)이라고 하자. (여기서 ${\displaystyle V^{*}}$는 연속 쌍대 공간이다.)

다음이 주어졌다고 하자.

• 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle V}$ 속의 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 ${\displaystyle K\subseteq V}$

그렇다면, 쇼케 정리(영어: Choquet’s theorem)에 따르면 다음이 성립한다.^{[1]:168, Theorem 10.7}

• ${\displaystyle K}$의 극점의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(K)}$는 ${\displaystyle K}$의 보렐 집합이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in K}$에 대하여, ${\displaystyle x}$를 무게 중심으로 갖는 확률 측도 ${\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} ({\mathcal {E}}(K))\to [0,1]}$가 존재한다.

예

한원소 집합의 유일한 점은 0-극점이다.

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 속에서, 닫힌 공

${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{\mathbb {R} ^{n}}({\vec {0}},1))=\left\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|{\vec {v}}\|\leq 1\right\}}$

의 0-극점들은 초구

${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|{\vec {v}}\|=1\}}$

이며, 나머지 모든 점(열린 공)은 1-극점이다.

비(非)유계 집합에 대한 크레인-밀만 정리의 반례

실수선 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 속의 닫힌 반직선

${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq }=\{t\in \mathbb {R} \colon t\geq 0\}}$

은 닫힌집합이며 볼록 집합이지만 유계 집합이 아니다. 그 속의 0-극점들은 ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} _{\geq }}$ 밖에 없으며, 나머지 점들은 모두 1-극점들이다. 이 경우 ${\displaystyle \{0\}}$의 볼록 폐포는 ${\displaystyle \{0\}\neq \mathbb {R} _{\geq }}$이므로, 크레인-밀만 정리가 실패한다.

보다 일반적으로, ${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간 속의 닫힌 반공간

${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq }\times \mathbb {R} ^{n-1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

은 ${\displaystyle k\leq n-2}$일 경우 ${\displaystyle k}$-극점을 갖지 않는다. 구체적으로, 경계의 점

${\displaystyle x\in \partial (\mathbb {R} _{\geq }\times \mathbb {R} ^{n-1})=\{0\}\times \mathbb {R} ^{n-1}}$

은 ${\displaystyle n-1}$-극점이며, 나머지 점들은 ${\displaystyle n}$-극점이다.

비(非) 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리의 반례

크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합을 가지는, 완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간이 존재한다.^[4]

역사

유클리드 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 헤르만 민코프스키가 20세기 초에 증명하였다.^[5]

바나흐 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 마르크 크레인과 다비트 핀후소비치 밀만(러시아어: Дави́д Пи́нхусович Ми́льман, 히브리어: דוד פינחוסוביץ' מילמן, 1912~1982)이 1940년에 증명하였다.^[6]:134

밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.^[7]

쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(프랑스어: Gustave Choquet, 1915~2006)가 증명하였다.