완전 유계 공간

해석학에서 완전 유계 공간(完全有界空間, 영어: totally bounded space) 또는 원콤팩트 공간(영어: precompact space 프리콤팩트 스페이스^[*])은 임의적으로 "작은" 집합들로 구성된 유한 덮개를 갖는 공간이다. 여기서 임의적으로 "작은" 집합의 개념은 거리 공간 구조 또는 보다 일반적으로 균등 공간 구조로 정의된다.

정의

균등 공간을 통한 정의

균등 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 균등 공간을 완전 유계 공간이라고 한다.

• 임의의 측근 ${\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}$에 대하여, ${\displaystyle X_{1}^{2},X_{2}^{2},\dots ,X_{n}^{2}\subseteq E}$인 유한 ${\displaystyle X}$-덮개 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\subseteq X}$, ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=1}^{n}X_{i}=X}$가 존재한다.
• ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$의 완비화는 콤팩트 공간이다.
• ${\displaystyle X}$ 위의 모든 필터는 코시 부분 필터를 갖는다.
• ${\displaystyle X}$ 위의 모든 극대 필터는 코시 필터이다.^[1]

(이 조건들이 동치임을 보이는 것은 선택 공리를 필요로 한다.)

근접 공간을 통한 정의

이 단락의 주제는 접근 공간이 아닙니다.

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 근접 구조(영어: proximity structure, p-structure)는 다음 조건들을 만족시키는, 멱집합 위의 이항 관계 ${\displaystyle \delta \subseteq {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(X)}$이다.

• ${\displaystyle \forall A\subseteq X\colon \varnothing \nsim _{\delta }A}$
• ${\displaystyle \forall x\in X\colon \{x\}\sim _{\delta }\{x\}}$
• ${\displaystyle \forall A,B\subseteq X\colon A\sim _{\delta }B\implies B\sim _{\delta }A}$
• ${\displaystyle \forall A,B,C\subseteq X\colon A\sim _{\delta }B\subseteq C\implies A\sim _{\delta }C}$
• ${\displaystyle \forall A,B,C\subseteq X\colon A\sim _{\delta }(B\cup C)\implies A\sim _{\delta }B\lor A\sim _{\delta }C}$
• ${\displaystyle \forall A,B\subseteq X\colon A\nsim _{\delta }X\setminus B\implies (\exists C\subseteq X\colon A\nsim _{\delta }X\setminus C\land C\nsim _{\delta }X\setminus B)}$

근접 공간(영어: proximity space, p-space)은 근접 구조를 갖춘 집합이다.

두 근접 공간 ${\displaystyle (X,\delta _{X})}$와 ${\displaystyle (Y,\delta _{Y})}$ 사이의 근접 함수(영어: proximity map, p-map)는 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle A,B\subseteq X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle A\sim _{\delta _{X}}B}$라면, ${\displaystyle f(A)\sim _{\delta _{Y}}f(B)}$이다.

다음과 같은 3개의 범주를 생각하자.

• ${\displaystyle \operatorname {Top} }$: 위상 공간과 연속 함수의 범주
• ${\displaystyle \operatorname {Prox} }$: 근접 공간과 근접 함수의 범주. 특히, 근접 함수의 합성은 근접 함수이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Unif} }$: 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주

근접 공간 ${\displaystyle (X,\delta )}$ 위에 다음과 같은 폐포 또는 근방 필터를 정의하여 위상 공간으로 만들 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {cl} A=\{x\in X\colon \{x\}\sim _{\delta }A\}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}=\{N\subseteq X\colon \{x\}\nsim _{\delta }X\setminus N\}}$

이 경우, 모든 근접 함수는 연속 함수이다. 즉, 이는 충실한 함자

${\displaystyle F\colon \operatorname {Prox} \to \operatorname {Top} }$

를 이룬다.

임의의 균등 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ 위에 다음과 같은 이항 관계 ${\displaystyle \delta }$를 정의하자.

${\displaystyle A\sim _{\delta }B\iff \forall E\in {\mathcal {E}}\exists a\in A\exists b\in B\colon a\sim _{E}b}$

그렇다면, ${\displaystyle (X,\delta )}$는 근접 공간을 이루며, 그 근접 위상은 균등 위상과 일치한다. 또한, 모든 균등 연속 함수는 근접 함수이다. 즉, 이는 충실한 함자

${\displaystyle G\colon \operatorname {Unif} \to \operatorname {Prox} }$

를 정의하며, ${\displaystyle GF}$는 균등 공간의 범주와 위상 공간의 범주 사이의 충실한 함자와 일치한다. 근접 공간 또는 균등 공간의 범주론적 곱 위의 위상은 곱위상과 일치하지만, 균등 공간의 곱 위의 접근 구조는 일반적으로 곱 근접 구조가 아니다. 즉, ${\displaystyle F}$와 ${\displaystyle GF}$는 곱을 보존하지만, ${\displaystyle G}$는 아니다. 특히, ${\displaystyle G}$는 왼쪽 수반 함자를 갖지 않는다.

반대로, 임의의 근접 공간 ${\displaystyle (X,\delta )}$에 대하여, 이 근접 구조를 유도하는 균등 구조가 존재한다. 즉, 근접 공간은 균등 공간들의 근접 동형에 따른 동치류로 여길 수 있다. 또한 임의의 근접 공간 ${\displaystyle (X,\delta )}$에 대하여, 이 근접 구조를 유도하는 균등 구조 가운데 가장 엉성한 균등 구조가 존재한다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 기본계에 의하여 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\bigcup _{i=1}^{n}D_{i}\times D_{i}\colon n\in \mathbb {N} ,\;\mathbb {C} _{1},\ldots ,C_{n},D_{1},\ldots ,D_{n}\subseteq X,\;X=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i},\;C_{i}\nsim _{\delta }X\setminus D_{i}\right\}}$

균등 공간에서 위와 같은 꼴의 균등 공간으로 가는 모든 접근 함수는 균등 연속 함수이다. 따라서, 이는 다음과 같은 충실충만한 매장 함자를 정의하며, 또한 이는 ${\displaystyle G}$의 오른쪽 수반 함자를 이룬다.

${\displaystyle H\colon \operatorname {Prox} \to \operatorname {Unif} }$

${\displaystyle G\dashv H}$

이에 따라, ${\displaystyle \operatorname {Prox} }$는 ${\displaystyle \operatorname {Unif} }$의 어떤 충만한 부분 범주 ${\displaystyle \operatorname {TBUnif} }$와 동형이다. 또한, ${\displaystyle \operatorname {TBUnif} }$는 ${\displaystyle \operatorname {Unif} }$의 반사 부분 범주를 이루며, 또한 전반사 부분 범주이자 단반사 부분 범주이다. ${\displaystyle \operatorname {TBUnif} }$의 대상을 완전 유계 공간이라고 한다. 즉, 균등 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$가 그와 같은 접근 구조를 유도하는 균등 구조들 가운데 가장 엉성하다면, ${\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}$를 완전 유계 공간이라고 한다. 이 정의는 균등 공간을 통한 정의와 동치이다.

성질

완전 유계성은 완비화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 균등 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X}$는 완전 유계 공간이다.
• ${\displaystyle X}$의 완비화 ${\displaystyle {\bar {X}}}$는 완전 유계 공간이다.

균등 공간에 대한 하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]

• 콤팩트 공간이다.
• 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이다.

완전 유계 거리 공간

거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다. 거리 공간 ${\displaystyle (X,d)}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[3]:275

• 완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 반지름이 ${\displaystyle \epsilon }$인 열린 공들로 구성된 유한 ${\displaystyle X}$-덮개가 존재한다.
• ${\displaystyle X}$의 모든 점렬은 코시 부분 점렬을 갖는다.

즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다.

모든 완전 유계 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

예

유클리드 공간의 부분 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 유계 공간이다.
• 완전 유계 공간이다.

완전 유계 공간이 아닌 유계 공간

임의의 바나흐 공간의 단위 초구는 유계 공간이다. 그러나 임의의 바나흐 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 단위 초구가 완전 유계 공간이다.
• 유한 차원 바나흐 공간이다.

모든 (유한 또는 무한) 이산 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 임의의 이산 거리 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완전 유계 공간이다.
• 유한 집합이다.

같이 보기

• 콤팩트 공간
• 국소 콤팩트 공간
• 직교 콤팩트 공간
• 파라콤팩트 공간
• 상대 콤팩트 집합