연속 원순서 집합

순서론에서 연속 원순서 집합(連續原順序集合, 영어: continuous preordered set)은 모든 원소가 그 원소를 ‘제한적으로 근사’하는 원소들로도 충분히 잘 근사되는 원순서 집합이다. 연속 완비 격자는 흔히 연속 격자(連續格子, 영어: continuous lattice)로 불린다.

정의

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in P}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 상향 집합 ${\displaystyle D\subseteq P}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle b\lesssim \bigvee D}$라면, ${\displaystyle a\lesssim d}$인 ${\displaystyle d\in D}$가 존재한다.
• 임의의 순서 아이디얼 ${\displaystyle I\subseteq P}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle b\lesssim \bigvee I}$라면, ${\displaystyle a\in I}$이다.

이 경우, ${\displaystyle a}$가 ${\displaystyle b}$를 근사한다(영어: ${\displaystyle a}$ approximates ${\displaystyle b}$) 또는 ${\displaystyle a}$가 ${\displaystyle b}$보다 훨씬 아래(영어: ${\displaystyle a}$ is way below ${\displaystyle b}$)라고 하며, 이를

${\displaystyle a\ll b}$

로 적는다.

근사 관계 ${\displaystyle \ll }$는 추이적 관계이며, ${\displaystyle P}$가 부분 순서 집합인 경우 반대칭 관계이지만, 원순서가 아닐 수 있다. ${\displaystyle \ll }$가 원순서인 것은 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 오름 사슬 조건과 동치이다.^{[1]:52, Examples I-1.3(4)}

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 임의의 원소 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여,

${\displaystyle \mathop {\Uparrow } a=\{b\in L\colon a\ll b\}}$

${\displaystyle \mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\colon b\ll a\}}$

라고 하자. 이는 각각 ${\displaystyle P}$의 상집합과 하집합을 이룬다. 만약 ${\displaystyle P}$가 이음 반격자라면, ${\displaystyle \mathop {\Downarrow } a}$는 상향 집합이다. 그러나 ${\displaystyle P}$가 만남 반격자이더라도 ${\displaystyle \mathop {\Uparrow } a}$는 하향 집합이 아닐 수 있다.

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$가 다음 조건을 만족시키면, 연속 원순서 집합이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle a\in P}$에 대하여, ${\displaystyle \mathop {\Downarrow } a}$는 상향 집합이며, ${\displaystyle a=\bigvee \mathop {\Downarrow } a}$이다.

성질

순서론적 성질

연속 원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in P}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a\ll b}$
• 임의의 상향 집합 ${\displaystyle D\subseteq P}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle b\lesssim \bigvee D}$라면, ${\displaystyle a\ll d}$인 ${\displaystyle d\in D}$가 존재한다.

증명:

둘째 조건은 첫째 조건을 자명하게 함의한다. 이제, ${\displaystyle a\ll b}$이며, ${\displaystyle D\subseteq P}$가 상향 집합이며, ${\displaystyle b\lesssim \bigvee D}$라고 하자.

${\displaystyle I=\bigcup _{d\in D}\mathop {\Downarrow } d}$

를 생각하자. ${\displaystyle P}$가 연속 원순서 집합이므로, ${\displaystyle I}$는 순서 아이디얼들의 상향 집합의 합집합이다. 따라서 ${\displaystyle I}$ 역시 순서 아이디얼이다. 또한,

${\displaystyle \bigvee I\gtrsim \bigvee _{d\in D}\bigvee \mathop {\Downarrow } d=\bigvee D\gtrsim b}$

이다. 따라서, ${\displaystyle a\in I}$이다. 즉, ${\displaystyle a\ll d}$인 ${\displaystyle d\in D}$가 존재한다.

이를 사용하여, 연속 원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 근사 관계 ${\displaystyle \ll }$가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다.

${\displaystyle \forall a,b\in P\colon a\ll b\implies (\exists c\in P\colon a\ll c\ll b)}$

증명:

위 명제에서, ${\displaystyle D=\mathop {\Downarrow } b}$를 취한다.

dcpo

dcpo ${\displaystyle (P,\leq )}$의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in P}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:61, Proposition I-1.19(i)}

• ${\displaystyle a\ll b}$이며, ${\displaystyle a\neq b}$
• 임의의 상향 집합 ${\displaystyle D\subseteq P}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle b\lesssim \bigvee D}$라면, ${\displaystyle a\ll d}$이며 ${\displaystyle a\neq d}$인 ${\displaystyle d\in D}$가 존재한다.

따라서, 만약 ${\displaystyle P}$가 연속 dcpo라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.^{[1]:61, Proposition I-1.19(ii)}

${\displaystyle \forall a,b\in P\colon a\ll b\land a\neq b\implies (\exists c\in P\colon a\ll c\ll b\land a\neq c)}$

dcpo ${\displaystyle (P,\leq )}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:57, Theorem I-1.10}

• 연속 원순서 집합이다.
• 순서 아이디얼의 상한 함수 ${\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P}$는 (작은 얇은 범주 사이의 함자로서) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Ideal} (P)}$는 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합이다.

구체적으로, 연속 dcpo ${\displaystyle (P,\leq )}$에 대하여, ${\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P}$의 왼쪽 수반 함자는

${\displaystyle {\mathord {\Downarrow }}\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)}$

${\displaystyle {\mathord {\Downarrow }}\dashv {\mathord {\bigvee }}}$

이다.

증명:

임의의 연속 dcpo ${\displaystyle (P,\leq )}$가 주어졌다고 하자. 다음 두 명제를 보이면 족하다.

• 임의의 ${\displaystyle a\in P}$에 대하여, ${\displaystyle a\leq \bigvee \mathop {\Downarrow } a}$
• 임의의 순서 아이디얼 ${\displaystyle I\in \operatorname {Ideal} (P)}$에 대하여, ${\displaystyle \mathop {\Downarrow } \bigvee I\subseteq I}$

이 두 명제는 연속 원순서 집합의 정의에 따라 자명하다.

반대로, ${\displaystyle (P,\leq )}$가 dcpo이며, ${\displaystyle f\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)}$가 ${\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P}$의 왼쪽 수반 함자이며, ${\displaystyle a\in P}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f(a)}$는

${\displaystyle a\leq \bigvee f(a)}$

인 최소의 ${\displaystyle P}$의 순서 아이디얼이다. 근사 순서 ${\displaystyle \ll }$의 정의에 따라,

${\displaystyle f(a)=\mathop {\Downarrow } a}$

이다. 따라서, ${\displaystyle P}$는 연속 원순서 집합이다.

완비 격자

완비 격자 ${\displaystyle L}$의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in L}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a\ll b}$
• 임의의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq P}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle b\leq \bigvee A}$라면, ${\displaystyle a\leq \bigvee F}$인 유한 부분 집합 ${\displaystyle F\subseteq A}$가 존재한다.

완비 격자 ${\displaystyle L}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 연속 원순서 집합이다.
• 순서 아이디얼의 상한 함수 ${\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L}$은 임의의 부분 집합의 하한을 보존한다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {Ideal} (L)}$은 순서 아이디얼들의 완비 격자이다.^{[1]:Theorem I-1.10}
• 임의의 상향 집합들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(L)}$에 대하여, ${\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D=\bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)}$
• 두 원소 격자 ${\displaystyle \{0,1\}}$의 (유한 또는 무한 개) 직접곱 위의 스콧 연속 멱등 함수 ${\displaystyle r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }}$의 상 ${\displaystyle r(\{0,1\}^{\kappa })}$과 동형이다.^{[2]:56, Theorem 44}

증명 (두 번째 조건):

연속 완비 격자 ${\displaystyle L}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq \operatorname {Ideal} (L)}$이 임의의 순서 아이디얼들의 집합이라고 하자.

${\displaystyle \bigvee \bigwedge {\mathcal {I}}=\bigwedge _{I\in {\mathcal {I}}}\bigvee I}$

를 보이면 족하다. ${\displaystyle \leq }$은 자명하다. ${\displaystyle {\mathord {\Downarrow }}\dashv {\mathord {\bigvee }}}$이므로, 반대 방향의 부등식은

${\displaystyle \bigwedge {\mathcal {I}}\supseteq \mathop {\Downarrow } \bigwedge _{I\in {\mathcal {I}}}\bigvee I}$

를 보이면 족하다. 이는 임의의 ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$에 대하여

${\displaystyle I\supseteq \mathop {\Downarrow } \bigvee I\supseteq \mathop {\Downarrow } \bigwedge _{J\in {\mathcal {I}}}\bigvee J}$

이므로 참이다.

반대로, ${\displaystyle L}$이 완비 격자이며, ${\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L}$이 임의의 하한을 보존한다고 하자. ${\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L}$의 왼쪽 수반 함자 ${\displaystyle f\colon L\to \operatorname {Ideal} (L)}$를 찾으면 족하다. 다음과 같은 함수를 생각하자.

${\displaystyle f\colon a\mapsto \bigwedge \left\{I\in \operatorname {Ideal} (L)\colon a\leq \bigvee I\right\}}$

이는 자명하게 순서 보존 함수이다. 따라서, 다음 두 부등식을 보이면 족하다.

• 임의의 ${\displaystyle I\in \operatorname {Ideal} (L)}$에 대하여, ${\displaystyle f\left(\bigvee I\right)\subseteq I}$
  • 이는 ${\displaystyle I\in \left\{J\in \operatorname {Ideal} (L)\colon \bigvee I\leq \bigvee J\right\}}$이므로 참이다.
• 임의의 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여, ${\displaystyle a\leq \bigvee f(a)}$
  • ${\displaystyle \bigvee \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L}$이 하한을 보존하므로, ${\displaystyle \bigvee f(a)=\bigwedge _{I\in {\mathcal {I}}}^{a\leq \bigvee I}\bigvee I\geq a}$이다.

증명 (세 번째 조건):

연속 완비 격자 ${\displaystyle L}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(L)}$가 임의의 ${\displaystyle L}$의 상향 집합들의 집합이라고 하자. ${\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D\geq \bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)}$ 은 자명하다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle a\ll \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D}$에 대하여, ${\displaystyle a\leq \bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)}$임을 보이면 족하다. 임의의 ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$에 대하여, ${\displaystyle a\ll \bigvee D}$이므로, ${\displaystyle a\leq g(D)}$인 ${\displaystyle g(D)\in D}$가 존재한다. 따라서,

${\displaystyle a\leq \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}g(D)\leq \bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)}$

이다.

반대로, ${\displaystyle L}$이 완비 격자이며, 또한 임의의 상향 집합들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(L)}$에 대하여, ${\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D=\bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)}$라고 하자. 임의의 ${\displaystyle a\in L}$에 대하여, 자명하게 ${\displaystyle \bigvee \mathop {\Downarrow } a\leq a}$이다. 따라서 ${\displaystyle \bigvee \mathop {\Downarrow } a\geq a}$임을 보이면 족하다. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$를 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합 ${\displaystyle D\subseteq L}$들의 집합으로 취하자.

• ${\displaystyle D}$는 상향 집합이다.
• ${\displaystyle a\leq \bigvee D}$

그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$의 정의에 따라, 임의의 ${\displaystyle f\in \prod {\mathcal {D}}}$에 대하여,

${\displaystyle \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)\ll a}$

이다. 따라서,

${\displaystyle a\leq \bigwedge _{D\in {\mathcal {D}}}\bigvee D=\bigvee _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\bigwedge f(D)\leq \bigvee \mathop {\Downarrow } a}$

이다.

연속 완비 격자에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 분배 격자이다.
• 완비 헤이팅 대수이다.

증명:

모든 완비 헤이팅 대수는 자명하게 분배 격자이다. 반대로, ${\displaystyle L}$이 연속 완비 격자이자, 분배 격자라고 하자. 임의의 원소 ${\displaystyle a\in L}$ 및 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq L}$에 대하여,

${\displaystyle a\wedge \bigvee S=\bigvee _{s\in S}a\wedge s}$

임을 보이면 족하다. 연속 완비 격자의 세 번째 조건에서,

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\left\{\{a\},\left\{\bigvee S'\colon S'\subseteq S,\;|S'|<\aleph _{0}\right\}\right\}}$

을 취하자. (두 번째 집합이 상향 집합임은 쉽게 보일 수 있다.) 그렇다면, ${\displaystyle L}$이 연속 완비 격자이자 분배 격자이므로, 다음이 성립한다.

${\displaystyle a\wedge \bigvee S=a\wedge \bigvee _{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph _{0}}\bigvee S'=\bigvee _{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph _{0}}a\wedge \bigvee S'=\bigvee _{S'\subseteq S}^{|S'|<\aleph _{0}}\bigvee _{s\in S'}a\wedge s=\bigvee _{s\in S}a\wedge s}$

모든 연속 완비 분배 격자는 국소 콤팩트 공간의 열린집합 격자와 순서 동형이다.

연산에 대한 닫힘

유한 개의 연속 dcpo들의 직접곱은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 성분별 근사 관계와 동치이다. 유한 또는 무한 개의 최소 원소를 갖는 연속 dcpo ${\displaystyle (P_{i},\leq )_{i\in I}}$들의 직접곱 ${\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}P_{i}}$ 는 연속 dcpo이며, 직접곱의 두 원소 ${\displaystyle \textstyle a,b\in \prod _{i\in I}P_{i}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a\ll b}$
• 임의의 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여 ${\displaystyle a_{i}\ll b_{i}}$이며, ${\displaystyle \{i\in I\colon a_{i}\neq \bot \}}$는 유한 집합이다.

연속 dcpo의 스콧 닫힌집합은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 원래 근사 관계를 제한한 것이다.

범주론적 성질

연속 완비 격자와 스콧 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.^{[2]:56, Theorem 45}

예

모든 유한 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다. 보다 일반적으로, 오름 사슬 조건을 만족시키는 모든 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다.

폐구간

실수 폐구간 ${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }$은 표준적인 순서에 의하여 완비 격자를 이룬다. 또한, 임의의 ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle x\ll y}$
• ${\displaystyle x=0}$이거나, ${\displaystyle x<y}$

따라서, 항상

${\displaystyle \bigvee \mathop {\Downarrow } x=\bigvee ([0,x)\cup \{0\})=x}$

이며, ${\displaystyle [0,1]}$은 연속 완비 격자를 이룬다.

보다 일반적으로, 전순서 완비 격자 ${\displaystyle L}$의 임의의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in L}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a\ll b}$
• 다음 세 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
  • ${\displaystyle a=b=\bot }$
  • ${\displaystyle a<b}$
  • ${\displaystyle a=b>\bot }$이며, ${\displaystyle a=b}$는 ${\displaystyle L}$의 어떤 도약 ${\displaystyle (c,a)}$의 두 번째 성분이다.

따라서, 모든 전순서 완비 격자는 연속 완비 격자이다.

멱집합

임의의 집합 ${\displaystyle X}$에 대하여, 멱집합 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$는 완비 격자를 이룬다. 이 경우 ${\displaystyle A\ll B}$는 ${\displaystyle A}$가 ${\displaystyle B}$의 유한 부분 집합인 것과 동치이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로, ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$는 연속 완비 격자를 이룬다.

열린집합 격자

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 열린집합들은 포함 관계에 의하여 완비 헤이팅 대수 ${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$를 이룬다. 임의의 두 열린집합 ${\displaystyle U,V\in \operatorname {Open} (X)}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle U\ll V}$
• 임의의 열린 ${\displaystyle V}$-덮개는 유한 부분 ${\displaystyle U}$-덮개를 갖는다.
• ${\displaystyle U\subseteq V}$이며, ${\displaystyle U}$를 원소로 갖는 ${\displaystyle X}$ 위의 임의의 극대 필터는 ${\displaystyle V}$ 속의 점으로 수렴한다.

증명:

${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$가 완비 격자이므로 첫째 조건과 둘째 조건은 서로 동치이다. 이제, ${\displaystyle U\ll V}$이며, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 ${\displaystyle X}$위의 극대 필터이며, ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}}$라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 ${\displaystyle x\in V}$가 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 극한이 아니라고 가정하자. 즉, ${\displaystyle W_{x}\not \in {\mathcal {F}}}$인 ${\displaystyle x}$의 근방 ${\displaystyle W_{x}}$가 존재한다. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 극대 필터이므로, ${\displaystyle W_{x}\cap F_{x}=\varnothing }$인 ${\displaystyle F_{x}\in {\mathcal {F}}}$가 존재한다. 그렇다면, ${\displaystyle \{W_{x}\colon x\in V\}}$는 ${\displaystyle V}$-덮개이므로, 유한 부분 ${\displaystyle U}$-덮개 ${\displaystyle \{W_{x}\colon x\in S\}}$을 갖는다. 따라서,

${\displaystyle \varnothing =\bigcup _{x\in S}W_{x}\cap \bigcap _{x\in S}F_{x}\in {\mathcal {F}}}$

이며, 이는 모순이다.

이제, ${\displaystyle U\subseteq V}$이며, ${\displaystyle U}$를 원소로 갖는 ${\displaystyle X}$ 위의 임의의 극대 필터는 ${\displaystyle V}$ 속의 점으로 수렴한다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}$가 열린집합들의 상향 집합이며, ${\displaystyle V\subseteq \bigcup {\mathcal {D}}}$라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$에 대하여, ${\displaystyle U\not \subseteq D}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \{U\setminus D\colon D\in {\mathcal {D}}\}}$는 하향 집합을 이룬다. 이를 포함하는 최소의 필터

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=\mathop {\uparrow } \{U\setminus D\colon D\in {\mathcal {D}}\}}$

를 생각하자. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}}$인 ${\displaystyle X}$ 위의 극대 필터 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$를 취하자. ${\displaystyle D_{0}\in {\mathcal {D}}}$를 고정하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$에 대하여,

${\displaystyle F\cap U\supseteq F\cap U\setminus D_{0}\neq \varnothing }$

이다. 따라서 ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}}$이며, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 어떤 ${\displaystyle x\in V}$로 수렴한다. ${\displaystyle x\in D}$인 ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$를 취하자. 그렇다면, ${\displaystyle D\in {\mathcal {F}}}$이므로,

${\displaystyle \varnothing =D\cap U\setminus D\in {\mathcal {F}}}$

이다. 이는 모순이다.

만약 ${\displaystyle X}$가 국소 콤팩트 공간(즉, 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 위상 공간)이라면, 추가로 다음 조건이 동치이다.

• ${\displaystyle U\subseteq C\subseteq V}$인 콤팩트 집합 ${\displaystyle C}$가 존재한다.

따라서, 임의의 국소 콤팩트 공간 ${\displaystyle X}$의 열린집합 격자 ${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$는 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로, 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle X}$를 핵콤팩트 공간(영어: core-compact space)이라고 한다.

• ${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$는 연속 완비 격자이다.
• ${\displaystyle X}$의 차분화는 국소 콤팩트 공간이다.
• 위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$에서, 임의의 위상 공간 ${\displaystyle Y}$에 대하여, 지수 대상 ${\displaystyle Y^{X}}$가 존재한다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

국소 콤팩트 공간 (모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 공간) ⇒ 핵콤팩트 공간 ⇒ 쇼케 공간 ⇒ 베르 공간

반례

다음과 같은 부분 순서 집합 ${\displaystyle \{\bot ,\top ,a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc ,b\}}$을 생각하자.

${\displaystyle \bot <a_{1}<a_{2}<a_{3}<\dotsb <\top }$

${\displaystyle \bot <b<\top }$

이는 완비 격자를 이룬다.

${\displaystyle \{\bot ,a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc \}}$

가 상향 집합이므로, ${\displaystyle b\not \ll b}$임을 알 수 있다. 따라서

${\displaystyle \bigvee \mathop {\Downarrow } b=\bigvee \{\bot \}=\bot \neq b}$

이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다.

모든 원자 없는 완비 불 대수는 연속 완비 격자가 아니다. 원자 없는 완비 불 대수 ${\displaystyle B}$의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in B}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle a\ll b}$
• ${\displaystyle a=\bot }$

합동 관계 격자

환 ${\displaystyle R}$의 아이디얼들은 포함 관계에 의하여 완비 격자 ${\displaystyle \operatorname {Ideal} (R)}$를 이룬다. 임의의 두 아이디얼 ${\displaystyle I,J\in \operatorname {Ideal} (R)}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle I\ll J}$
• ${\displaystyle I\subseteq K\subseteq J}$인 유한 생성 아이디얼 ${\displaystyle K\subseteq R}$가 존재한다.

모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로, ${\displaystyle \operatorname {Ideal} (R)}$는 연속 완비 격자를 이룬다.