범주 (수학)

일반위상수학에서의 범주에 대해서는 제1 범주 집합 문서를 참고하십시오.

범주론에서 범주(範疇, 영어: category)는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 수학의 각 분야를 범주를 통해 연구하는 분야를 범주론(範疇論, 영어: category theory)이라고 한다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 수학의 여러 분야를 공통적인 언어로 다룰 수 있게 한다. 수학 밖에도, 범주론은 컴퓨터 과학과 수리물리학에서도 쓰인다.

정의

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 대상(對象, 영어: object)들의 모임 ${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$. 이 모임의 원소를 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 ‘대상’이라고 한다.
• 임의의 두 대상 ${\displaystyle a,b\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여, ${\displaystyle a}$를 정의역으로, ${\displaystyle b}$를 공역으로 하는 사상(寫像, 영어: morphism)들의 모임 ${\displaystyle \hom(a,b)}$. ${\displaystyle f\in \hom(a,b)}$에 대하여 ${\displaystyle f\colon a\to b}$로 쓰고, ${\displaystyle f}$를 ‘${\displaystyle a}$에서 ${\displaystyle b}$로 가는 사상’이라고 한다. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상의 모임을 ${\displaystyle \hom({\mathcal {C}})}$로 나타낸다.
• 임의의 세 대상 ${\displaystyle a,b,c\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여, 이항 연산 ${\displaystyle \hom(a,b)\times \hom(b,c)\to \hom(a,c)}$. 이를 사상의 합성(合成, 영어: composition)이라고 한다. ${\displaystyle f\colon a\to b}$와 ${\displaystyle g\colon b\to c}$의 합성은 ${\displaystyle g\circ f}$ 또는 ${\displaystyle gf}$ 등으로 나타낸다.
• 임의의 대상 ${\displaystyle a\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여, 특별한 사상 ${\displaystyle \operatorname {id} _{a}\in \hom(a,a)}$. 이를 ${\displaystyle a}$의 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity morphism)이라고 한다.

이 데이터는 다음의 조건들을 만족시켜야 한다.

• (결합 법칙) 임의의 대상 ${\displaystyle a,b,c,d\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$ 및 사상 ${\displaystyle a{\xrightarrow {f}}b{\xrightarrow {g}}c{\xrightarrow {h}}d}$에 대하여, ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$
• (항등원) 임의의 대상 ${\displaystyle a,b\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$ 및 사상 ${\displaystyle f\colon a\to b}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {id} _{b}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{a}=f}$

작은 범주

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범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에 대하여, 다음을 정의한다.

• 만약 ${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$와 ${\displaystyle \hom({\mathcal {C}})}$가 둘 다 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$를 작은 범주라고 한다.
• 만약 임의의 ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여 ${\displaystyle \hom(X,Y)}$가 집합인 경우(즉, 고유 모임이 아닌 경우), ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$를 국소적으로 작은 범주(영어: locally small category)라고 하며, 사상 모임을 사상 집합(寫像集合, 영어: hom-set)이라고 한다.

작은 범주가 아닌 범주를 큰 범주(영어: large category)라고 한다. 집합과 함수의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다.

만약 그로텐디크 전체를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

• 만약 ${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})\in {\mathcal {U}}}$이며 ${\displaystyle \hom({\mathcal {C}})\in {\mathcal {U}}}$인 경우, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$를 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-작은 범주라고 한다.
• 만약 임의의 ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여 ${\displaystyle \hom(X,Y)\in {\mathcal {U}}}$인 경우, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$를 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-국소적으로 작은 범주라고 한다.

반대 범주

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 반대 범주(反對範疇, 영어: opposite category) ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$를 정의할 수 있다.

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$의 대상은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상과 같다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$에서, 대상 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle Y}$로 가는 사상은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서, ${\displaystyle Y}$에서 ${\displaystyle X}$로 가는 사상이다. 즉, ${\displaystyle \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Y)=\hom _{\mathcal {C}}(Y,X)}$이다.

반대 범주에서는 전사 사상이 단사 사상으로, 곱이 쌍대곱으로, 극한이 쌍대극한으로 바뀐다. 만약 모노이드나 군, 환을 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 경우, 반대 범주의 개념은 반대 모노이드 · 반대군 · 반대환의 개념의 일반화이다.

예

각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다.

기호	대상	사상	사상 합성	항등 사상
${\displaystyle {\text{Set}}}$	집합	함수	함수의 합성	항등 함수
${\displaystyle {\text{Ord}}}$	원순서 집합	단조함수	함수의 합성	항등 함수
${\displaystyle {\text{Mag}}}$	마그마	마그마 준동형	함수의 합성	항등 준동형
${\displaystyle {\text{Grp}}}$	군	군 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
${\displaystyle {\text{Ab}}}$	아벨 군	군 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
${\displaystyle {\text{Ring}}}$	환	환 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
${\displaystyle {\text{CRing}}}$	가환환	환 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
${\displaystyle {\text{Rng}}}$	유사환	유사환 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$ (${\displaystyle R}$은 환)	${\displaystyle R}$ 위의 (왼쪽) 가군	(왼쪽) 가군 준동형 사상	함수의 합성	항등 준동형
${\displaystyle {\text{Vect}}_{K}}$ (${\displaystyle K}$는 체)	${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간	선형 변환	함수의 합성	항등 선형 변환
${\displaystyle {\text{Top}}}$	위상 공간	연속 함수	함수의 합성	항등 함수
${\displaystyle {\text{Man}}^{\infty }}$	매끄러운 다양체	매끄러운 함수	함수의 합성	항등 함수
${\displaystyle {\text{Cat}}}$	작은 범주	함자	함자의 합성	항등 함자
${\displaystyle {\text{Rel}}}$	집합	관계	${\displaystyle a\operatorname {({\sim }_{2}\circ {\sim }_{1})} b\iff \exists c\colon a\sim _{1}c\sim _{2}b}$	등호 ${\displaystyle =}$
부분 순서 집합 ${\displaystyle (P,\leq )}$	${\displaystyle P}$의 원소	${\displaystyle x\leq y}$이면 ${\displaystyle \hom(x,y)=\{(x,y)\}}$, 아니면 ${\displaystyle \hom(x,y)=\varnothing }$	${\displaystyle (y,z)\circ (x,y)=(x,z)}$	${\displaystyle \operatorname {Id} _{x}=(x,x)}$
모노이드 ${\displaystyle (M,\cdot ,1_{M})}$	${\displaystyle \operatorname {ob} (M)=\{\bullet \}}$ (임의의 유일한 대상)	${\displaystyle M}$의 원소	모노이드 이항 연산 ${\displaystyle m\circ n=m\cdot n}$	모노이드 항등원 ${\displaystyle 1_{M}}$
${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$ (${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 임의의 범주)	${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상	${\displaystyle \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Y)=\hom _{\mathcal {C}}(Y,X)}$	${\displaystyle f\circ _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}g=g\circ _{\mathcal {C}}f}$	${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 항등 사상
${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathcal {C}}}$ (${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$는 임의의 범주)	${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$로 가는 함자	함자들 사이의 자연 변환	자연 변환의 합성	항등 자연 변환
${\displaystyle \mathbb {0} }$	없음 (공집합)	없음 (공집합)
${\displaystyle \mathbb {1} }$	${\displaystyle \bullet }$ (하나의 대상)	${\displaystyle \operatorname {id} _{\bullet }}$ (하나의 사상)	­	${\displaystyle \operatorname {id} _{\bullet }}$
${\displaystyle \mathbb {2} }$	${\displaystyle \{0,1\}}$ (두 개의 대상)	${\displaystyle a\colon 0\to 1}$, ${\displaystyle \operatorname {id} _{0}}$, ${\displaystyle \operatorname {id} _{1}}$ (세 개의 사상)		${\displaystyle \operatorname {id} _{0}}$, ${\displaystyle \operatorname {id} _{1}}$

역사

범주의 개념은 사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1942~1945년 사이에 대수적 위상수학에서 영감을 얻어 도입하였다.^[1] 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.

“	범주를 정의한 이유는 함자를 정의하기 위해서이고, 함자를 정의한 이유는 자연 변환을 정의하기 위해서이다. […] “category” has been defined in order to be able to define “functor” and “functor” has been defined in order to be able to define “natural transformation”.	”
	— [2]:18

같이 보기

• 함자 (수학)
• 자연 변환