교환자 부분군

군론에서, 주어진 군의 교환자 부분군(交換子部分群, 영어: commutator subgroup)은 교환자들로 생성되는 부분군이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$의 교환자 부분군 ${\displaystyle G^{(1)}}$은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성되는 부분군이다.

${\displaystyle [g_{1},h_{1}][g_{2},h_{2}][g_{3},h_{3}]\dots [g_{n},h_{n}]\in G^{(1)}\subset G}$

${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\in G}$

여기서

${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$

는 군의 교환자이다. 교환자 부분군은 항상 정규 부분군이다.

유도열

군 ${\displaystyle G}$의 n차 유도 부분군(n次誘導部分群, 영어: nth derived subgroup) ${\displaystyle G^{(n)}}$은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle G^{(n+1)}=(G^{(n)})^{(1)}}$

즉, 교환자 부분군을 n번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 정규 부분군들의 열이 존재한다.

${\displaystyle G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots }$

이를 유도열(誘導列, 영어: derived series)이라고 한다.

유도열을 임의의 순서수에 대하여 다음과 같이 확장할 수 있다.

• ${\displaystyle G^{(0)}=G}$
• 따름 순서수 ${\displaystyle \alpha +1}$에 대하여,

  ${\displaystyle G^{(\alpha +1)}=(G^{(\alpha )})^{(1)}}$

• 극한 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여,

  ${\displaystyle G^{(\alpha )}=\bigcap _{\beta <\alpha }G^{(\beta )}}$

이를 초한 유도열(超限誘導列, 영어: transfinite derived series)이라고 한다.

유도열을 사용하여, 다양한 종류의 군들의 모임을 정의할 수 있다.

• 교환자 부분군이 자명군인 군을 아벨 군이라 한다.
• 교환자 부분군이 스스로인 군을 완전군이라고 한다.
• 어떤 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여 ${\displaystyle G^{(n)}=1}$인 군 ${\displaystyle G}$를 가해군이라고 한다.
• 어떤 순서수 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} }$에 대하여 ${\displaystyle G^{(\alpha )}=1}$인 군 ${\displaystyle G}$를 준 아벨 군(영어: hypo-Abelian group)이라고 한다.

정의에 따라

아벨 군 ⊊ 가해군 ⊊ 준 아벨 군

임을 알 수 있다.

아벨화

군 ${\displaystyle G}$가 주어졌을 때, 교환자 부분군 ${\displaystyle G^{(1)}}$은 그 정규 부분군이며, 이에 대한 몫군

${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }=G/G^{(1)}}$

은 아벨 군을 이룬다. 이를 아벨화(Abel化, 영어: abelianization)라고 한다. 범주론적으로 이는 군과 군 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$에서 아벨 군과 군 준동형의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$로 가는 함자를 이룬다.

${\displaystyle (-)^{\operatorname {ab} }\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Ab} }$

아벨 군은 군의 일종이므로, 포함 함자

${\displaystyle I\colon \operatorname {Ab} \to \operatorname {Grp} }$

가 존재한다. 아벨화 함자는 포함 함자의 왼쪽 수반 함자이다.

${\displaystyle (-)^{\operatorname {ab} }\dashv I}$

호몰로지 대수학에서, 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 군 호몰로지

${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }=\operatorname {H} _{1}(G;\mathbb {Z} )}$

와 같다.

예

일부 군들의 교환자 부분군들은 다음과 같다.

G	G(1)
대칭군 ${\displaystyle S_{n}}$	교대군 ${\displaystyle A_{n}\subset S_{n}}$
교대군 ${\displaystyle A_{4}}$	클라인 4원군 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2)^{2}}$
사원수군 ${\displaystyle Q}$	${\displaystyle \operatorname {Z} (Q)=\{\pm 1\}\cong \mathbb {Z} /2}$
크기 8의 정이면체군 ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{4}}$	${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Dih} _{4})\cong \mathbb {Z} /2}$

대수적 위상수학에서, 경로 연결 공간 ${\displaystyle X}$의 기본군 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$의 아벨화는 정수 계수 1차 특이 호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(X;\mathbb {Z} )}$이다. 이는 후레비치 준동형의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 후레비치 준동형의 핵이다.

같이 보기

• 멱영군

참고 문헌

• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》 3판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. OCLC 248917264. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

외부 링크

• “Commutator subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Lie group, derived”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.