야코비의 네 제곱수 정리

For other theorems of Jacobi see Jacobi's theorem (disambiguation).

수론에서 야코비의 네 제곱수 정리는 주어진 자연수 n을 네 개의 제곱(정수)의 합으로 표현하는 방법의 수를 계산하는 공식이다.

역사

이 정리는 1834년에 카를 구스타프 야코프 야코비에 의해 증명되었다.

정리

항의 순서가 다르거나 제곱되는 정수(제곱 자체가 아님)가 다른 경우 서로 다른 것으로 간주된다. 예를 들어 1을 표현하는 8가지 방법 중 3가지는 다음과 같다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}1^{2}&+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\0^{2}&+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\(-1)^{2}&+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}}$$

n을 네 개의 제곱수 합으로 표현하는 방법의 개수는 다음과 같다 (약수 함수 참조):

• n이 홀수이면 n의 모든 약수 합의 8배

• n이 짝수이면 n의 홀수 약수 합의 24배

$${\displaystyle r_{4}(n)={\begin{cases}\displaystyle 8\sum _{m|n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}},\\[12pt]\displaystyle 24\sum _{{m|n} \atop {m{\text{ odd}}}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

즉, 4로 나누어 떨어지지 않는 모든 약수의 합의 8배이다.

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{{m\mid n,} \atop {4\nmid m}}m.}$$

여기서 바로 도출되는 결과는 ${\displaystyle r_{4}(2n)=r_{4}(8n)}$이다; ${\displaystyle n}$이 홀수인 경우 ${\displaystyle r_{4}(2\cdot 4^{a}n)=r_{4}(2n)}$ .^[1]

따라서 식을 아래처럼 다시 쓸 수 있다.

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\,\sigma (n)-32\,\sigma (n/4)}$$

여기서 n이 4로 나누어지지 않을 때 두 번째 항은 0으로 간주한다.

특별하게 소수 p 에 대해선 간단한 공식을 얻을 수 있다: r₄(p) = 8(p + 1), 이는 소수의 약수가 1과 자기 자신뿐이므로, 약수의 합이 p + 1이 되기 때문이다.^[2]

r₄(n)의 어떤 값들은 무한히 자주 반복된다. 왜냐하면 n이 짝수일 경우, r₄(n) = r₄(2^mn) 이기 때문이다.

(2의 거듭제곱을 곱해도 r₄의 값이 변하지 않음. 즉, r₄(n) = r₄(2n) = r₄(4n) = r₄(8n) = ... ).

한편, r₄(n)의 값은 제한 없이 커질 수 있다. 구체적으로, n이 커질 때 r₄(n)이 ${\displaystyle 8{\sqrt {\log n}}.}$보다 큰 경우가 무한히 많다는 것이 증명되었다.^[2]

증명

이 정리는 야코비 삼중곱으로 시작하여 간단하게 증명할 수 있다.^[3]

증명에 따르면 4차원 정수 격자 Z ⁴ 의 세타 급수는 특정 레벨의 모듈러 형태가 되며, 이는 결국 아이젠슈타인 급수들의 선형 조합으로 표현될 수 있다.

계산 결과

수식의 일부 값은 다음과 같다.

${\displaystyle n}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle r_{4}(n)}$	1	8	24	32	24	48	96	64	24	104	144

다른 값들은 Online Encyclopedia of Integer Sequences(OEIS)의 시퀀스 A000118 에서 확인할 수 있다.

참고

• 라그랑주의 4제곱 정리
• 램버트 급수
• 제곱합 함수