Делење

Делење — основна аритметичка операција со чија помош од познат производ и еден множител се определува другиот множител.^[1] Поконкретно, ако c по b е еднакво на a:

${\displaystyle c\cdot b=a\,}$

Основно сметање
Собирање (+)
собирок + собирок =	збир
Одземање (−)
намаленик − намалител =	разлика
Делење (:)
деленик : делител =	количник
Множење (⋅)
множител ⋅ множеник =	производ
Степенување (^)
основастепен =	степен
Коренување (√)
показ √поткор. гол. =	корен
Логаритам
logосн(степен) =	показател

Делење на јаболки:
${\displaystyle 20:\ 4=5}$

каде b не е нула, тогаш a поделено со b е еднакво на c, што се запишува:

${\displaystyle a:\ b=c}$

На пример,

${\displaystyle 6:\ 3=2}$

бидејќи

${\displaystyle 2\cdot 3=6\,}$.

Во овој израз, a се нарекува деленик, b се нарекува делител, а c се нарекува количник.

Делењето е тесноповрзано со дропките. За разлика од другите аритметички операции, множеството на сите цели броеви не е затворено при делење и може да даде остаток. Потоа делењето се довршува со проширување на бројниот систем со рационални броеви.

Означување

Односот на броевите при делење

Делењето се означува со две точки: ${\displaystyle a:\ b}$ или со дробна црта меѓу деленикот и делителот: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Во тој случај се вели „a врз b“ наместо „a поделено со b“.

Во англосферата и некои други земји најзастапен е знакот за делење ${\displaystyle a\div b}$, а се среќава и косата црта ${\displaystyle a/b\,}$.

Начини на делење

Делењето како поим означува раздвојување на една целина на повеќе делови и може да се претстави како повторливо одземање.

Количникот може да се добие со проверка на таблица множење каде деленикот или делителот можат да се пронајдат во колоната или редот што води до производот. Друг начин на добивање на количникот е со „рачно“ делење, и тоа скратено делење за прости делители или столбно делење за поголеми броеви.

Два броја можат да се поделат и со помош на логаритамска таблици: се одземаат логаритмите на двата броја, а потоа се наоѓа антилогаритамот на резултатот.

Делењето може да се изврши и со логаритмар (логаритамски линијар) со тоа што ќе го порамниме делителот на скалата C со деленикот на скалата D. Количникот го добиваме на скалата D каде ќе бидеп порамнет со левиот индекс на скалата C. Корисникот треба самиот да внимава на децималната запирка.

Делење на цели броеви

Делењето на цели броеви не е затворено. Освен делењето со нула, кое е неопредлено, количникот нема да биде цел број доколку деленикот не е целоброен множител на делителот; на пример 26 не може да се подели со 10 без остаток. Во тој случај постојат четири можни приоди.

1. ако 26 не може да се подели со 10, делењето станува делумна функција.
2. резултатот се изразува како децимална дропка или мешан број, што значи ${\displaystyle {\tfrac {26}{10}}=2{,}6}$ или ${\displaystyle {\tfrac {26}{10}}=2{\tfrac {3}{5}}.}$ Ова е вообичаениот приод.
3. резулатот го изразуваме како целоброен количник со остаток, што значи ${\displaystyle {\tfrac {26}{10}}=2{\mbox{ CO OCTATOK }}6.}$
4. резултатот го изразуваме како целоброен количник, занемарувајќи го остатокот, што значи ${\displaystyle {\tfrac {26}{10}}=2.}$ („делење без остаток“).

Делење на рационални броеви

Ако поделиме два рационални броја добиваме рационален број, доколку не делиме со 0. Двата рационални броја p/q и r/s се делат вака:

${\displaystyle {p/q \over r/s}={p \over q}\cdot {s \over r}={ps \over qr}.}$

Сите четири величини се вели броеви, а само p може да биде 0. По оваа дефиниција делењето е обратна операција на мнможењето.

Делење на реални броеви

Ако поделиме два реални броја добиваме реален број, под услов делителот да не е 0: a:b = c ако и само ако a = cb, а b ≠ 0.

Делење со нула

Делењето на било кој број со нула дава неопределен резултат. Бидејќи секој конечен број помножен со нула дава производ нула. Така, операцијата секогаш завршува со број истоветен на деленикот.

Делење на комплексни броеви

Ако поделиме два комплексни броја добиваме комплексен број, доколку делителот не е 0, и тоа вака:

${\displaystyle {p+iq \over r+is}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.}$

Сите четири величини се реални броеви. r и s не може да бидат 0.

Делењето на комплексни броеви изразено во поларен облик е поедноставно од горенаведената дефиниција:

${\displaystyle {pe^{iq} \over re^{is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.}$

Сите четири величини повторно се реални броеви. r не може да биде 0.

Делење на матрици

Можеме да определиме операција за делење на матрици. Ова обично се врши со задавање на A / B = AB⁻¹, каде B⁻¹ означува обратно од B, но многупочесто се запишува како AB⁻¹ за да се избегне забуна.

Лево и десно делење

Бидејќи множењето на матрици не е комутативно, можеме да определиме лево делење со A \ B = A⁻¹B. За ова ќе биде добро определено, треба B⁻¹ да не постои, но треба да постои A⁻¹. За да се избегне забуна, делењето определено како A / B = AB⁻¹ во овој контекст се нарекува „десно делење“.

Вака определеното лево и есно делење, A/(BC) општо земено не е исто што и (A/B)/C, ниту пак (AB)\C е исто што и A\(B\C), туку A/(BC) = (A/C)/B и (AB)\C = B\(A\C).

Делење на матрици и псевдообратност

За да се избегне проблемот кога не постои A⁻¹ и/или B⁻¹, делењето може да се определи и како множење со псевдообратноста, т.е. A / B = AB⁺ и A \ B = A⁺B, каде A⁺ и B⁺ ги означуваат псевдообратностите на A и B.

Делење во апстрактната алгебра

Во апстрактните алгебри како матричните и кватернионските, дропките како ${\displaystyle {a \over b}}$ се дефинираат како ${\displaystyle a\cdot {1 \over b}}$ или ${\displaystyle a\cdot b^{-1}}$ каде ${\displaystyle b}$ се зема за обратен елемент (т.е. постои реципрочна вредност ${\displaystyle b^{-1}}$ така што ${\displaystyle bb^{-1}=b^{-1}b=1}$ каде ${\displaystyle 1}$ е реципрочниот идентитет). Во еден интегрален домен, каде таков елемент може да не постои, сепак можеме да извршиме делење на равенките од обликот ${\displaystyle ab=ac}$ или ${\displaystyle ba=ca}$ со лево или десно поништување. Поопшто земено, „делењето“ во смисла на „поништување“ може да се изврши кај секој прстен со споменатите својства на поништување. Ако таквиот прстен е конечен, тогаш применувајќи го Дирихлеовиот принцип, секој ненуларен елемент на прстенот е обратлив, па затоа во раков прстен ќе биде можно „делењето“ на секој ненуларен елемент.

Поврзано

• Поле
• Група
• Редослед на операции
• Квазигрупа (лево делење)