Делител

Делител на еден цел број ${\displaystyle n}$, наречен и фактор на ${\displaystyle n}$, е цел број кој го дели ${\displaystyle n}$ без да има остаток.

Основно сметање
Собирање (+)
собирок + собирок =	збир
Одземање (−)
намаленик − намалител =	разлика
Делење (:)
деленик : делител =	количник
Множење (⋅)
множител ⋅ множеник =	производ
Степенување (^)
основастепен =	степен
Коренување (√)
показ √поткор. гол. =	корен
Логаритам
logосн(степен) =	показател

Објаснување

Поимот „делител“ е изведен од аритметичката операција делење: ако ${\displaystyle a/b=c}$ тогаш ${\displaystyle a}$ е деленик, ${\displaystyle b}$ е делител, а ${\displaystyle c}$ е количник.

Делителите на 10 илустрирани со кујнски стапчиња : 1, 2, 5, и 10

Општо земено, за сите ненуларни цели броеви ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle m}$ го дели ${\displaystyle n}$, што се пишува:

${\displaystyle m\mid n,}$

ако постои цел број ${\displaystyle k}$ така што ${\displaystyle n=km}$. Затоа, делителот може да биде како позитивен, така и негативен, иако напати поимот се однесува само на позитивните далители (на пр. бројот четири има шест делители: 1, 2, 4, −1, −2, −4, но обично се споменуваат само позитивните).

1 и −1 го делат (се делители на) секој цел број, секој цел број (и неговиот негатив) е делител сам на себе, и секој цел број е делител на 0, освен 0 самата со себе. Броевите што се деливи со 2 се нарекуваат парни, а оние што не можат да се поделат со 2 се нарекуваат непарни.

1, −1, n и −n се нарекуваат тривијални делители на n. Делителот на n кој не е тривијален делител се нарекува нетривијален делител. Еден број што има барем еденѕ нетривијален делител се нарекува сложен број, додека единиците -1 и 1 и простите броеви немаат нетривијални делители.

Постојат правила на деливоста што ни овозможуваат да ги препознаеме делителите на еден број меѓу неговите цифри.

Примери

• 7 е делител на 42 бидејќи ${\displaystyle 42/7=6}$, па така велиме дека ${\displaystyle 7\mid 42}$. Ова значи дека бројот 42 е делив со 7, 42 е содржател на 7, 7 го дели 42, или дека 7 е фактор на 42.
• Нетривијалните делители на 6 се 2, −2, 3, −3.
• Позитивните делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Множеството од сите позитивни делители на 60, ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}}$, делумно подредено по деливост, го образуваат следниов Хасеов дијаграм:

Други поимувања и факти

Постојат извесни елементарни правила:

• Ако ${\displaystyle a\mid b}$ и ${\displaystyle b\mid c}$, тогаш ${\displaystyle a\mid c}$. Ова е транзитивна релација.
• Ако ${\displaystyle a\mid b}$ и ${\displaystyle b\mid a}$, тогаш ${\displaystyle a=b}$ или ${\displaystyle a=-b}$.
• Ако ${\displaystyle a\mid b}$ и ${\displaystyle c\mid b}$, тогаш НЕ е секогаш точно дека ${\displaystyle (a+c)\mid b}$ (на пр. ${\displaystyle 2\mid 6}$ и ${\displaystyle 3\mid 6}$ но 5 не го дели 6). Меѓутоа, кога ${\displaystyle a\mid b}$ и ${\displaystyle a\mid c}$, тогаш ${\displaystyle a\mid (b+c)}$ е точно, како и ${\displaystyle a\mid (b-c)}$.^[1]

Вертикалната црта што се користи во уникодниот знак „дели“, кодно место U+2223 во TeX се пишува како \mid: ${\displaystyle \mid }$. Неговиот негиран симбол е ∤, или во TeX \nmid: ${\displaystyle \nmid }$. Во околини каде е допуштен само ASCII, се користи стандардната вертикална црта „|“, која е малку пократка

Ако ${\displaystyle a\mid bc}$, а НЗД${\displaystyle (a,b)=1}$, тогаш ${\displaystyle a\mid c}$. Ова се нарекува Евклидова лема.

Ако ${\displaystyle p}$ е прост број и ${\displaystyle p\mid ab}$ тогаш ${\displaystyle p\mid a}$ или ${\displaystyle p\mid b}$ (или обете).

Еден позитивен делител на ${\displaystyle n}$ што е различен од ${\displaystyle n}$ се нарекува вистински делител или аликвотен дел на ${\displaystyle n}$. Бројот кој не може рамномерно да го подели ${\displaystyle n}$, туку има остаток, се нарекува аликвантен дел на ${\displaystyle n}$.

Еден цел број ${\displaystyle n>1}$ чиј единствен вистински делител е 1 се нарекува прост број. Истоветно на тоа, прост број е оној цел број што има точно два позитивни фактори: 1 и самиот тој.

Секој позитивен делител на ${\displaystyle n}$ е производ од прости делители на ${\displaystyle n}$ дигнати на некој степен. Ова е последица од фундаменталната теорема на аритметиката.

Ако еден број е еднаков на збирот на неговите вистински делители, тогаш тој се нарекува совршен број. Броевите што се помали од збирот на неговите вистински делители се нарекува обилен, а бројот поголем од збирот се нарекуваат недостаточен.

Вкупниот број на позитивни делители на ${\displaystyle n}$ е мултипликативна функција ${\displaystyle d(n)}$, што значи кога два броја ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ се односно прости, тогаш ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}$. На пример, ${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$; осумте делители на 42 се 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42). Меѓутоа, бројот на позитивни делители не е сосема мултипликативна функција: ако двата броја ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ имаат заеднички делител, тогаш ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}$ може да не е точно. Збирот на позитивните делити на ${\displaystyle n}$ е друга мултипликативна функција ${\displaystyle \sigma (n)}$ (на пр. ${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$). Обете функции се примери за делителни функции.

Ако простата факторизација на ${\displaystyle n}$ е дадена со

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

тогаш бројот на позитивни делители на ${\displaystyle n}$ изнесува

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

и секој од делителите го има обликот

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

каде ${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$ за секој ${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

Може да се види дека за секој природен број ${\displaystyle n}$ важи неравенството ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}}$.

Можеме и да покажеме ^[2] дека

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).}$

Едно толкување на овој резултат е дека еден случајно избран позитивен цел број n има очекуван околу ${\displaystyle \ln n}$ очекувани делители.

Деливост на броевите

Релацијата на деливост го претвора множеството на ненегативни цели броеви ${\displaystyle N}$ во делумно подредено множество, впрочем во целосна дистрибутивна решетка. Најголемиот елемент на оваа решетка е 0, а најмалиот е 1. Операцијата на доведување ^ е дадена со најголемиот заеднички делител а операцијата на сврзување v е дадена со најмалиот заеднички содржател. Оваа решетка е изоморфна во однос на двоецот (дуалот) на решетката од подргрупите на бесконечната циклична група ${\displaystyle Z}$.

Поврзано

• Аритметичка функција
• Евклидов алгоритам
• Дропка