Galoistheorie
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
De galoistheorie is een tak van de wiskunde, meer bepaald van de abstracte algebra. Ze is genoemd naar de Franse wiskundige Évariste Galois.
Galois ontwikkelde zijn theorie om nulpunten van polynomen te bestuderen. In haar oorspronkelijke vorm bestudeert de galoistheorie groepen van permutaties op de nulpunten van een polynoom, die de polynoom zelf invariant laten.
De moderne vorm van de galoistheorie is afkomstig van Richard Dedekind. In die vorm behandelt ze uitbreidingen van (commutatieve) lichamen door met ieder paar lichamen een (niet noodzakelijk commutatieve) groep
te associëren, galoisgroep van
over
genaamd. De elementen van
zijn de automorfismen van
die de elementen van
stuk voor stuk invariant laten. De hoofdstelling van de galoistheorie brengt stijgende ketens van lichamen in verband met dalende ketens van normaaldelers in een groep.
De galoistheorie wordt vaak gebruikt om aan te tonen dat sommige wiskundige problemen geen oplossing kunnen hebben, bijvoorbeeld de driedeling van de hoek met passer en liniaal, de kwadratuur van de cirkel en de algemene vijfdegraadsvergelijking.