Funkcja

Funkcja (łac. functio, -onis „odbywanie, wykonywanie, czynność”[uwaga 1]) – dla danych dwóch zbiorów ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ przyporządkowanie[uwaga 2] każdemu elementowi zbioru ${\displaystyle X}$ dokładnie jednego elementu zbioru ${\displaystyle Y}$[1][2]. Oznacza się ją na ogół ${\displaystyle f,g,h}$ itd.

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia słowa „funkcja”.

Jeśli funkcja ${\displaystyle f}$ przyporządkowuje elementom zbioru ${\displaystyle X}$ elementy zbioru ${\displaystyle Y,}$ to zapisujemy to następująco:

${\displaystyle f\colon X\to Y.}$

Zbiór ${\displaystyle X}$ nazywa się dziedziną, a zbiór ${\displaystyle Y}$ – przeciwdziedziną funkcji ${\displaystyle f.}$ Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru ${\displaystyle X}$ do zbioru ${\displaystyle Y}$ oznacza się często ${\displaystyle Y^{X}}$[3]. Ponadto:

• dziedzinę czasami nazywa się zbiorem argumentów funkcji f[3],
• przeciwdziedzinę nazywa się czasem zbiorem wartości funkcji[3], chociaż właściwszym stwierdzeniem jest: przeciwdziedzina zawiera w sobie zbiór wartości funkcji,
• każdy element ${\displaystyle x}$ zbioru ${\displaystyle X}$ nazywa się argumentem funkcji[3],
• każdy element ${\displaystyle y=f(x)}$ nazywa się wartością funkcji[3],
• mówi się także, że ${\displaystyle f}$ jest przekształceniem lub odwzorowaniem zbioru ${\displaystyle X}$ w zbiór ${\displaystyle Y}$[3],
• zbiór ${\displaystyle f(A)=\{y=f(x)\colon x\in A\}}$ jest obrazem podzbioru ${\displaystyle A}$ zbioru ${\displaystyle X}$ w przekształceniu ${\displaystyle f}$[1],
• dla każdego elementu ${\displaystyle b\in f(X)}$ przeciwobrazem elementu ${\displaystyle b}$ (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór ${\displaystyle f^{-1}(b)=\{a\in X\colon f(a)=b\};}$ jeśli ${\displaystyle b\notin f(X),}$ to ${\displaystyle f^{-1}(b)=\varnothing }$[1],
• przeciwobrazem podzbioru ${\displaystyle B\subset Y}$ nazywamy zbiór ${\displaystyle f^{-1}(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\};}$ jeżeli ${\displaystyle B\cap f(X)=\varnothing ,}$ to ${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing }$[4].