Funkcja Dirichleta

Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ tzn. funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość ${\displaystyle 1,}$ gdy argument jest liczbą wymierną i wartość ${\displaystyle 0,}$ gdy argument jest liczbą niewymierną^[1].

Ten artykuł dotyczy funkcji charakterystycznej zbioru liczb wymiernych. Zobacz też: funkcja η Dirichleta.

Formalnie funkcję Dirichleta można zapisać wzorem^[2]

${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&{\mbox{dla }}x\in \mathbb {Q} ,\\0&{\mbox{dla }}x\notin \mathbb {Q} .\end{cases}}}$

Ponadto^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}\left(m!\pi x\right).}$

Własności

Funkcja Dirichleta ma własności:

• jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny); stąd wynika, że jest wszędzie nieróżniczkowalna,
• jest okresowa, przy czym ma ona nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego,
• zbiór jej ekstremów jest mocy continuum,
• nie jest całkowalna w sensie Riemanna^[3] – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje,
• jest całkowalna w sensie Lebesgue’a, przy czym jej całka Lebesgue’a na dowolnym przedziale jest równa zeru^[3], ponieważ zbiór liczb wymiernych jest miary Lebesgue’a zero.

Zobacz też

• funkcja Riemanna