Funkcja jednorodna

Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia ${\displaystyle n}$ używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami, w tym grupy abelowe (czyli moduły nad pierścieniem liczb całkowitych).

Definicja

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem ${\displaystyle K.}$ Funkcja ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych ${\displaystyle a\in K}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {x} \in X}$ zachodzi

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

Jeżeli dla ${\displaystyle a>0}$ oraz ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ zachodzi wzór

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{n}f(\mathbf {x} ),}$

to funkcję ${\displaystyle f}$ nazywa się jednorodną stopnia ${\displaystyle n}$^[1].

Jeśli funkcja ${\displaystyle f}$ spełnia dla każdego ${\displaystyle \mathbf {x} \in X}$ oraz ${\displaystyle a\in K,}$ gdzie ${\displaystyle K}$ jest ciałem uporządkowanym, warunek

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=|a|f(\mathbf {x} ),}$

to nazywa się ją dodatnio jednorodną.

Przykłady

• Przykładem funkcji jednorodnej jest dowolne przekształcenie liniowe (wprost z definicji), np. ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=3\mathbf {x} ,}$ ponieważ ${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=3(a\mathbf {x} )=a(3\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$
• Traktując wyznacznik ${\displaystyle \det \nolimits _{n}}$ jako funkcję macierzy kwadratowych ustalonego stopnia ${\displaystyle n}$ otrzymuje się ${\displaystyle \det \nolimits _{n}(a\mathbf {A} )=a^{n}\det \nolimits _{n}(\mathbf {A} ),}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest dowolną macierzą kwadratową stopnia ${\displaystyle n}$^[a].
• Dla dowolnej normy ${\displaystyle \|{\cdot }\|,}$ (a nawet półnormy) wprost z definicji zachodzi tożsamość ${\displaystyle \|a\mathbf {x} \|=|a|\,\|\mathbf {x} \|.}$

Zobacz też

• równanie różniczkowe

Uwagi

1. Również dla ${\displaystyle a\leqslant 0,}$ co wynika z ${\displaystyle n}$-liniowości wyznacznika ${\displaystyle \det \nolimits _{n}(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})}$ traktowanego jako funkcja ${\displaystyle n}$ wektorów ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}}$ należących do przestrzeni liniowej wymiaru ${\displaystyle n.}$