Funkcja algebraiczna

Funkcja algebraiczna – funkcja ${\displaystyle f}$ o wartościach w pewnym pierścieniu, dla której istnieją takie wielomiany ${\displaystyle W_{n},W_{n-1},\dots ,W_{1},W_{0}}$ nie wszystkie równe tożsamościowo zeru, że spełnione jest równanie:

${\displaystyle W_{n}f^{n}+W_{n-1}f^{n-1}+\ldots +W_{1}f+W_{0}=0.}$

Funkcję, która nie jest algebraiczna, nazywa się przestępną^[1].

Do funkcji algebraicznych należą wszystkie funkcje wymierne, w tym wszystkie wielomiany^[2]. Funkcję algebraiczną, która nie jest funkcją wymierną, nazywamy funkcją niewymierną. Przykładem funkcji niewymiernej jest ${\displaystyle f(x)={\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle (n>1).}$

Przykłady i zastosowania

• Funkcja ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ jest algebraiczna, bo dla każdego ${\displaystyle x}$ z jej dziedziny ${\displaystyle (x\geqslant 0)}$ spełnione jest równanie ${\displaystyle ({\sqrt {x}})^{2}-x=0.}$ Odpowiednimi wielomianami są tu ${\displaystyle W_{2}=1,}$ ${\displaystyle W_{1}=0}$ oraz ${\displaystyle W_{0}=-x.}$
• Funkcja ${\displaystyle y=e^{x}}$ jest przestępna.
• Funkcje trygonometryczne są przestępne.
• Pochodne funkcji cyklometrycznych są funkcjami algebraicznymi, dlatego mogą służyć np. do przybliżania i szukania ekstremów tych pierwszych.
• Pierwiastki z funkcji kwadratowych służą do opisu krzywych stożkowych: elipsy (w tym koła), paraboli i hiperboli, uzupełniając w ten sposób funkcje kwadratowe i homograficzne.
• W szczególnej teorii względności Einsteina (oraz starszej teorii eteru Lorentza) czynnik Lorentza jest algebraiczną funkcją prędkości.
• Logarytmiczny dekrement tłumienia jest algebraiczną funkcją współczynnika tłumienia oraz częstości drgań własnych.

Zobacz też

• liczba algebraiczna