Najlepsze pytania
Chronologia
Czat
Perspektywa
Funkcje eliptyczne Jacobiego
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Remove ads
Funkcje eliptyczne Jacobiego (funkcje amplitudy Jakobiego) – funkcje, których argumenty są wartościami funkcji amplitudy Jacobiego, przy czym funkcja amplitudy Jacobiego jest funkcją odwrotną do całki eliptycznej niezupełnej pierwszego rodzaju[1].
Funkcje te mają własności analogiczne do własności funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych i redukują się do funkcji trygonometrycznych lub hiperbolicznych dla szczególnych wartości tzw. modułu k.
Funkcję amplitudy Jakobiego i funkcje eliptyczne Jacobiego definiuje się w ogólności na zbiorze liczb zespolonych. Niniejszy artykuł ogranicza się zasadniczo do podania własności funkcji Jacobiego na zbiorze liczb rzeczywistych.
Funkcje eliptyczne Jacobiego zdefiniował Carl Jacobi.
Remove ads
Definicja całki eliptycznej niezupełnej pierwszego rodzaju


Df. Niezupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju nazywamy funkcję , która zmiennej przyporządkowuje zmienną za pomocą wzoru całkowego:
przy czym to tzw. moduł o ustalonej wartości, .
Całki eliptyczne pierwszego rodzaju tworzą rodzinę funkcji, mających wszystkie możliwe wartości modułu .

Remove ads
Definicja funkcji amplitudy Jacobiego
Podsumowanie
Perspektywa

Df. Funkcją amplitudy Jakobiego nazywamy funkcję , która zmiennej przyporządkowuje zmienną , taką że , tj. jest równe całce eliptycznej niezupełnej pierwszego rodzaju zmiennej o module .
Oznacza to, że funkcja amplitudy Jacobiego jest funkcją odwrotną do całki niezupełnej pierwszego rodzaju.
Funkcje amplitudy Jacobiego tworzą rodzinę funkcji o wszystkich możliwych wartościach modułu .
Remove ads
Wykresy funkcji amplitudy i całki eliptycznej
(a) Wykresy funkcji amplitudy i odpowiadającej jej funkcji całki eliptycznej są wzajemnie symetryczne względem prostej y = x, co jest charakterystyczne dla wszystkich funkcji wzajemnie odwrotnych.
(b) Z wykresów tych funkcji widać periodyczność przyrostu ich wartości. Np. funkcja amplitudy wzrasta co o wartość .
Funkcje eliptyczne Jacobiego sinus, cosinus, delta
Podsumowanie
Perspektywa
Def. Funkcjami eliptycznymi Jacobiego sinus , cosinus , delta nazywamy następujące funkcje[1]
1. Sinus amplitudy:
- 2. Cosinus amplitudy
- 3. Delta amplitudy
Remove ads
Zbiór wartości
Tw. Funkcje eliptyczne Jacobiego przyjmują wartości rzeczywiste dla rzeczywistych wartości zmiennej oraz dla [2]
Funkcje sn, cn, dn jako uogólnienie funkcji trygonometrycznych
Podsumowanie
Perspektywa
Tożsamości analogiczne jak dla funkcji trygonometrycznych
Tw. Funkcje eliptyczne Jacobiego spełniają tożsamości:
- (por. jedynka trygonometryczna)
gdzie i
Funkcje stanowią więc uogólnienie funkcji trygonometrycznych, gdyż spełniają tożsamości analogiczne jak funkcje trygonometryczne.
Wzory na sumy argumentów funkcji sn, cn, dn
Zachodzą następujące zależności[3]:
Dla dwa pierwsze z powyższych wzorów przechodzą w znane z klasycznej trygonometrii wzory na sinus i cosinus sumy kątów.
Remove ads
Twierdzenia o redukowaniu się do funkcji sinus, cosinus, hiperbolicznych
Tw. Funkcje Jacobiego dla redukują się do funkcji sinus, cosinus i stałej[2]:
zaś dla redukują się do funkcji hiperbolicznych
Dla argumentu zerowego funkcje te dla dowolnej wartości modułu przyjmują wartości:
Remove ads
Pochodne funkcji sn, cn, dn
Podsumowanie
Perspektywa
Tw. Pochodne funkcji eliptycznych Jacobiego[3]:
Remove ads
Równania różniczkowe spełniane przez funkcje sn, cn, dn
Dla argumentów rzeczywistych oraz słuszne są poniższe twierdzenia.
(a) Funkcja spełnia nieliniowe równania różniczkowe
(b) Funkcja spełnia nieliniowe równania różniczkowe
(c) Funkcja spełnia nieliniowe równania różniczkowe
Remove ads
Rozwinięcia w szereg Taylora
Podsumowanie
Perspektywa
Funkcje eliptyczne Jacobiego można rozwinąć w szereg następująco[3][4]
Remove ads
Funkcje pochodzące od funkcji eliptycznych Jakobiego
Podsumowanie
Perspektywa
Df. Definiuje się 3 funkcje utworzone z odwrotności funkcji Jakobiego:
Df. Definiuje się 6 funkcji utworzonych z ilorazów funkcji Jakobiego:
Definicje powyższe funkcji są analogiczne do definicji funkcji trygonometrycznych itd.; np.
Remove ads
Funkcje eliptyczne Jacobiego w dziedzinie zespolonej
Funkcję amplitudy Jakobiego i funkcje eliptyczne Jacobiego definiuje się w ogólności na zbiorze liczb zespolonych.
Tw. Funkcje eliptyczne Jakobiego są funkcjami analitycznymi.
Twierdzenia nt. okresowości funkcji sn, cn, dn
Podsumowanie
Perspektywa
Tw. Niech
gdzie - całka eliptyczna zupełna pierwszego rodzaju (zależy od modułu k). Okresy funkcji eliptycznych wynoszą[2]:
- dla oraz
- dla oraz
- dla oraz
przy czym pierwsza liczba dotyczy okresu funkcji wzdłuż osi liczb rzeczywistych, a druga wzdłuż osi liczb urojonych.
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads