Homomorfizm pierścieni

Homomorfizm pierścieni – przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ oraz ${\displaystyle (S,\oplus ,\odot )}$ będą dowolnymi pierścieniami.

Homomorfizmem pierścieni ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle S}$ nazywamy dowolne odwzorowanie ${\displaystyle h\colon R\to S}$ takie, że

• ${\displaystyle h(a+b)=h(a)\oplus h(b)}$ – zachowane jest dodawanie,
• ${\displaystyle h(a\cdot b)=h(a)\odot h(b)}$ – zachowane jest mnożenie.

Jeżeli ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle S}$ są pierścieniami z jedynką, to dodatkowo przyjmuje się

• ${\displaystyle h(1_{R})=1_{S}}$ – element neutralny mnożenia w ${\displaystyle R}$ jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w ${\displaystyle S}$^{[uwaga 1]}.

Własności

• ${\displaystyle h(0_{R})=0_{S}}$ tzn. element neutralny dodawania w ${\displaystyle R}$ jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w ${\displaystyle S,}$
• element przeciwny przechodzi w element przeciwny ${\displaystyle -h(a)=h(-a).}$ Wynika to z rozumowania: ${\displaystyle h(a)\oplus h(-a)=h(a+(-a))=h(0_{R})=0_{S}.}$

Obraz

Obrazem homomorfizmu ${\displaystyle h}$ nazywamy zbiór

${\displaystyle \operatorname {Im} (h)=\{a\in S:\exists _{b\in R}\;a=h(b)\},}$

czyli zbiór takich elementów ${\displaystyle S,}$ które są wartościami odwzorowania ${\displaystyle h}$ na co najmniej jednym elemencie zbioru ${\displaystyle R.}$

Obraz homomorfizmu ${\displaystyle h}$ jest podpierścieniem pierścienia ${\displaystyle S.}$

Jądro

Jądrem homomorfizmu ${\displaystyle h}$ nazywamy zbiór

${\displaystyle \ker h=\{a\in R:h(a)=0_{S}\},}$

gdzie ${\displaystyle 0_{S}}$ oznacza zero pierścienia ${\displaystyle S.}$

Jądro homomorfizmu ${\displaystyle h}$ jest ideałem pierścienia ${\displaystyle R.}$

Morfizmy pierścieni

Monomorfizm

Osobny artykuł: monomorfizm.

Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.

Homomorfizm ${\displaystyle h\colon R\to S}$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \ker h=\{0_{R}\},}$ gdzie ${\displaystyle 0_{R}}$ oznacza zero pierścienia ${\displaystyle R.}$

Epimorfizm

Osobny artykuł: epimorfizm.

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm ${\displaystyle h\colon R\to S,}$ który jest funkcją typu „na”, tzn. ${\displaystyle \operatorname {Im} (h)=S.}$

Izomorfizm

Osobny artykuł: izomorfizm.

Homomorfizm ${\displaystyle h\colon R\to S}$ nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle h}$ jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie ${\displaystyle h^{-1}}$ istnieje (ponieważ ${\displaystyle h}$ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że pierścienie ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle S}$ są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm ${\displaystyle h\colon R\to S}$ (równoważnie: izomorfizm ${\displaystyle g\colon S\to R}$) i oznaczamy ${\displaystyle R\simeq S.}$ W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności ${\displaystyle \simeq }$ jest relacją równoważności.

Homomorfizm kanoniczny

Niech ${\displaystyle R}$ będzie dowolnym pierścieniem, zaś ${\displaystyle I\subseteq R}$ dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie ${\displaystyle h\colon R\to R/I}$ określone ${\displaystyle h(a)=[a]}$ jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie ${\displaystyle h}$ nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia ${\displaystyle R}$ na pierścień ilorazowy ${\displaystyle R/I.}$

Twierdzenie o homomorfizmie

Jeśli ${\displaystyle h\colon R\to S}$ jest epimorfizmem pierścieni ${\displaystyle R,S,}$ to ${\displaystyle S}$ jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym ${\displaystyle R/\ker h}$ (izomorfizmem jest odwzorowanie ${\displaystyle g\colon R/\ker h\to S}$ określone ${\displaystyle g\left([a]\right)=h(a)}$) oraz ${\displaystyle h=g\circ f,}$ gdzie ${\displaystyle f\colon R\to R/\ker h}$ jest homomorfizmem kanonicznym.

Zobacz też

• morfizm
• morfizmy grup
• automorfizm
• endomorfizm
• epimorfizm
• homomorfizm
• izomorfizm
• monomorfizm

Uwagi

1. W ten sposób eliminuje się przypadek zdegenerowany, w którym wszystkie elementy pierścienia ${\displaystyle R}$ przechodzą na zero pierścienia ${\displaystyle S.}$