Aksjomaty i konstrukcje liczb

Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.

Diagram Hassego przedstawiający zawieranie się zbiorów i ogólniej – klas liczbowych w sobie. Symbol ${\displaystyle \mathbb {X} \subset \mathbb {Y} }$ oznacza tu, że można skonstruować klasę liczb ${\displaystyle \mathbb {X} }$ tak, aby była podklasą klasy ${\displaystyle \mathbb {Y} .}$ Zbiory umieszczone na rysunku powyżej liczb zespolonych noszą wspólną nazwę liczb hiperzespolonych. Na niebiesko oznaczone są rodzaje liczb które nie tworzą zbiorów, lecz klasy właściwe. Liczby algebraiczne całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb algebraicznych rzeczywistych – to nie jest pomyłka. Zobacz sekcję Liczby algebraiczne

Nie ma jednej uniwersalnej cechy odróżniającej wszystkie liczby od elementów algebr^[a], które tak nie są nazywane. Matematycy nie definiują „liczb”, definiują „liczby naturalne”, „liczby całkowite”, „liczby rzeczywiste” itp.^[b]

O ile jednak nazwanie danego obiektu liczbą jest podyktowane bardziej tradycją niż ogólną definicją, to poszczególne rodzaje liczb są już ściśle określane. Definicje liczb stanowią pewną sekwencję (bardziej złożone algebry opierają się na prostszych), którą prezentuje niniejszy artykuł.

Liczby mogą być definiowane na trzy sposoby:

• przez podanie aksjomatów, czyli właściwości, jakie muszą spełniać działania w pewnym zbiorze (klasie), aby struktura złożona z tego zbioru oraz działań mogła zostać uznana za algebrę liczbową.
• przez stworzenie konstrukcji, czyli bezpośrednie utworzenie jakichś obiektów i nazwanie ich liczbami (jeśli dany rodzaj liczb posiada własną aksjomatykę, taka konstrukcja musi być modelem tej aksjomatyki, czyli wszystkie aksjomaty muszą być dla niej spełnione).
• przez wydzielenie podzbioru spełniającego dany warunek z osobno zdefiniowanego szerszego zbioru liczb – jest to w zasadzie szczególny przypadek zarówno aksjomatyki, jak i konstrukcji.

Wśród mnogości pojęć mających w nazwie słowo „liczba” można wyróżnić:

• zbiory liczb tworzące nietrywialną algebrę – dodawanie i mnożenie dowolnych dwóch liczb z takiego zbioru jest działaniem wewnętrznym, czyli zawsze daje wyniki z tego zbioru. Należą do tej grupy wszystkie (z wyjątkiem liczb przestępnych, przestępnych rzeczywistych i niewymiernych) rodzaje liczb pokazane na ilustracji z początku artykułu. Liczby te są definiowane za pomocą aksjomatów opisujących własności działań na nich, lub za pomocą konstrukcji. Jeśli jakieś zbiory liczbowe tworzą algebrę i zawierają podzbiór również tworzący algebrę, to działania na liczbach z tego podzbioru muszą dawać w obydwu algebrach identyczne wyniki. W ten sposób każda kolejna algebra liczbowa rozszerza poprzednią.
• podzbiory zbiorów liczbowych nietworzące niezależnych algebr – są to zbiory liczb, wyróżnione ze względu na jakąś szczególną własność, np. liczby pierwsze, będące liczbami naturalnymi dzielącymi się tylko przez 1 i przez siebie. Są one definiowane przez podanie warunku, jaki muszą spełniać liczby z pewnej algebry.
• liczby nie tworzące zbiorów, lecz klasy. Do tej grupy wchodzą liczby kardynalne, liczby porządkowe i liczby nadrzeczywiste. Okazuje się, że próba stworzenia zbioru tych liczb prowadzi do sprzeczności, można jedynie grupować je w tzw. klasy. Można dla nich również zdefiniować działania arytmetyczne i w pewnym sensie one także stanowią rozszerzenie algebry liczb naturalnych. Liczby kardynalne i porządkowe są definiowane wyłącznie przez konstrukcję.

Zbiory liczbowe tworzące algebrę są zawsze definiowane razem z podstawowymi działaniami na nich – dodawaniem i mnożeniem^[c]. Dopiero określenie zbioru wraz z działaniami, czyli tzw. struktury algebraicznej, stanowi dostateczną definicję. Nie wystarcza tu skonstruowanie samego zbioru, gdyż określając odpowiednio działania, można sprawić, że np. zbiór liczb wymiernych będzie nieodróżnialny (izomorficzny) od zbioru liczb naturalnych^[d].

Izomorfizm konstrukcji

Dowolny zbiór, w którym zdefiniowane działania spełniają aksjomaty właściwe dla danej algebry liczbowej, czyli tzw. model jej aksjomatyki, można nazwać zbiorem liczb. Posiada on bowiem wówczas wszystkie właściwości, jakich oczekujemy po danym zbiorze liczbowym. Model aksjomatyki liczb nazywamy konstrukcją liczb.

Ponieważ dany zestaw aksjomatów może mieć wiele różnych modeli, liczby można skonstruować na wiele sposobów. Metody te są równoważne w tym sensie, że wszelkie twierdzenia udowodnione na liczbach skonstruowanych według jednej metody dają się bez zmian przenosić na inne konstrukcje (zachodzi tzw. izomorfizm). W praktyce więc nie ma, poza domeną teorii mnogości i logiki, potrzeby ich odróżniania.

Na ogół zaczyna się konstrukcję od liczb naturalnych, następnie buduje się na ich podstawie liczby całkowite, na bazie których z kolei konstruuje się liczby wymierne, potem rzeczywiste i zespolone^[e]. W każdym z tych zbiorów są podzbiory, które przy tej samej definicji działań spełniają aksjomaty liczb zdefiniowanych wcześniej.

Przykładowo liczby wymierne mogą być skonstruowane jako zbiory par liczb całkowitych z odpowiednio zdefiniowanym dodawaniem i mnożeniem. Wydawałoby się, że liczba całkowita zbiorem par liczb całkowitych być nie może, a więc liczby całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych. Ponieważ jednak podzbiór liczb wymiernych odpowiadający ułamkom a/1 ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem także spełnia aksjomaty liczb całkowitych, ostatecznie możemy więc stwierdzić, że liczby całkowite są jednak szczególnym przypadkiem wymiernych, a ich zbiór zawiera się w zbiorze liczb wymiernych. Podobnie jest przy konstruowaniu kolejnych zbiorów liczbowych.

Można też wykonać konstrukcję od drugiej strony i najpierw skonstruować jakąś dostatecznie szeroką strukturę, np. liczby zespolone, a następnie zdefiniować pozostałe zbiory jako jej podzbiory z tymi samymi działaniami dodawania i mnożenia.

Osobny artykuł: liczby naturalne.

Aksjomatyka Peana

Na początek załóżmy, że istnieje liczba 1 (cokolwiek by ten symbol miał oznaczać). Chcielibyśmy także dla każdej liczby ${\displaystyle a}$ móc pokazać jej tzw. następnik (oznaczymy go ${\displaystyle S(a)}$). Musimy zatem zagwarantować istnienie następnika liczby 1 (który oznaczymy 2), a także następników kolejnych następników. Następnik liczby 2 oznaczymy 3 itd. Jeśli dodatkowo założymy, że 1 nie jest następnikiem żadnej liczby i odpowiednio zdefiniujemy dodawanie i mnożenie, to tak skonstruowany zbiór możemy nazwać zbiorem liczb naturalnych.

Proces konstrukcji kolejnych elementów zbioru wygląda następująco:

${\displaystyle 1\mapsto S(1)\mapsto S(S(1))\mapsto S(S(S(1)))\mapsto \ldots }$

Ściślej rzecz biorąc, zbiór liczb naturalnych jest definiowany przez aksjomaty Peana^[f].

	Aksjomatyka Peana[g]
1.	J jest liczbą naturalną.
2.	Dla każdej liczby naturalnej istnieje dokładnie jedna liczba naturalna, zwana jej następnikiem.
3.	J nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej.
4.	Jeśli dwie liczby naturalne mają równe następniki, to są sobie równe.
5.	Aksjomat indukcji: Niech dany będzie zbiór, którego elementami są liczby naturalne o następujących własnościach: a. J jest elementem tego zbioru b. Wraz z każdą liczbą naturalną należącą do tego zbioru należy do niego także jej następnik. Wówczas zbiór ten zawiera wszystkie liczby naturalne.

Niektórzy matematycy zaliczają zero do liczb naturalnych, inni nie. Jest to wyłącznie kwestia nazewnictwa. Zarówno zbiór liczb naturalnych z zerem, jak i bez niego ma powyższe własności. W tym pierwszym przypadku J oznacza 0, w tym drugim 1.

Do pełnego określenia liczb naturalnych brakuje definicji działań i porządku. Definicje te zależą już od tego, czy liczby naturalne zaczniemy od zera, czy nie.

Dla liczb z zerem dodawanie, mnożenie i relację porządku wprowadzamy przez aksjomaty:

Pojęcie	Aksjomaty
Dodawanie	6. ${\displaystyle a+0=a}$ 7. ${\displaystyle a+S(b)=S(a+b)}$
Mnożenie	8. ${\displaystyle a\cdot 0=0}$ 9. ${\displaystyle a\cdot S(b)=a\cdot b+a}$
Porządek liniowy	10. ${\displaystyle a\leqslant b}$ istnieje takie naturalne ${\displaystyle k,}$ że ${\displaystyle a+k=b}$

Podstawiając do równania 9 wartość: ${\displaystyle b=0,}$ uzysku