Zbiór nieprzeliczalny

Zbiór nieprzeliczalny – zbiór, który nie jest przeliczalny. Inaczej: zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (zatem ma większą moc). Pojęcie zbioru nieprzeliczalnego pochodzi od Georga Cantora.

Definicja intuicyjna

Zbiór nieprzeliczalny w matematyce to zbiór, którego elementów jest zbyt dużo, by dało się je ponumerować (nawet nieskończonym) ciągiem liczb naturalnych.

Podstawowe własności

• Suma dwóch (i dowolnej ilości) zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiorem nieprzeliczalnym.
• Różnica zbioru nieprzeliczalnego i przeliczalnego jest zbiorem nieprzeliczalnym.
• Iloczyn kartezjański dowolnej ilości zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Przykłady

• zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny (patrz: rozumowanie przekątniowe)
• zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny
• zbiór liczb przestępnych jest nieprzeliczalny
• zbiór Cantora jest nieprzeliczalny
• zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest nieprzeliczalny.

Wszystkie wyszczególnione zbiory są mocy continuum. Negacja hipotezy continuum, która mówi że istnieje nieprzeliczalna liczba kardynalna mniejsza od continuum, jest niesprzeczna z teorią mnogości ZFC.

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: PWN, 1968. Brak numerów stron w książce ISBN 83-01-13949-8
• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 84-86. ISBN 978-83-01-15232-1.