Iloczyn kartezjański

Iloczyn kartezjański, produkt zbiorów^[1] – dla danych zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ zbiór wszystkich takich par uporządkowanych ${\displaystyle (a,b),}$ że ${\displaystyle a}$ należy do zbioru ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle b}$ należy do zbioru ${\displaystyle B}$^[2][3]. Iloczyn kartezjański zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ oznacza się symbolem ${\displaystyle A\times B}$^[3][4].

×

Nazwa iloczyn kartezjański odwołuje się do pojęcia kartezjańskiego układu współrzędnych na płaszczyźnie ze względu na następującą analogię: punkty w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie opisane są za pomocą uporządkowanych par liczb (pierwsza liczba nazywana jest odciętą, druga rzędną) – elementy iloczynu kartezjańskiego ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ można zatem utożsamiać z punktami na płaszczyźnie^[5]. Jednak w ogólności elementy zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ nie muszą być liczbami, mogą być dowolnymi obiektami matematycznymi.

Iloczyn kartezjański trójelementowych zbiorów A i B

Definicje

Iloczynem kartezjańskim zbiorów ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ nazywamy zbiór

${\displaystyle X\times Y:=\left\{(x,y)\colon x\in X\;\wedge \;y\in Y\right\}}$^{[uwaga 1]}

W analogiczny sposób można zdefiniować iloczyn kartezjański więcej niż dwóch zbiorów. Mianowicie ${\displaystyle A\times B\times C}$ to zbiór wszystkich trójek uporządkowanych ${\displaystyle (a,b,c)}$ takich, że ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle c\in C.}$ Definicja ta wymaga uściślenia, co się rozumie przez owe trójki. Można tego dokonać w rozmaity sposób. Jeden z nich^[6][7], to traktowanie tych trójek jako ciągów trójwyrazowych, czyli funkcji na zbiorze ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ w zbiór ${\displaystyle A\cup B\cup C.}$ Przy drugim^[8] jako ${\displaystyle A\times B\times C}$ bierze się ${\displaystyle A\times (B\times C),}$ a zatem trójka to para par: ${\displaystyle (a,(b,c)).}$ Formalnie zbiór ${\displaystyle A\times B\times C}$ zdefiniowany jako zbiór trójek i zbiór ${\displaystyle A\times (B\times C)}$ nie są równe, ale w praktyce to rozróżnienie nie ma znaczenia^{[uwaga 2][9][10]}.

Podobnie ${\displaystyle A\times B\times C\times D}$ można określić jako zbiór czwórek uporządkowanych ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ takich, że ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle d\in D.}$ Czwórki te można interpretować dwojako:

• jako funkcje z ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ w zbiór ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D,}$
• jako pary par ${\displaystyle \{a,\{b,\{c,d\}\}\},}$ wówczas iloczyn ${\displaystyle A\times B\times C\times D}$ określa się jako ${\displaystyle A\times (B\times (C\times D)).}$

Iloczyny kartezjańskie większej liczby zbiorów definiuje się analogicznie.

Przykłady

Niech dane będą zbiory ${\displaystyle A=\{x,y\}}$ oraz ${\displaystyle B=\{1,2,3\}.}$ Iloczyn kartezjański zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ zgodnie z definicją jest równy:

${\displaystyle A\times B=\{(x,1),(y,1),(x,2),(y,2),(x,3),(y,3)\}.}$

Zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R} }$ służy do konstruowania n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Uogólniony produkt kartezjański

Dla rodziny zbiorów ${\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}}$ można wprowadzić pojęcie uogólnionego iloczynu kartezjańskiego (często nazywanego produktem kartezjańskim (rodziny) zbiorów). Dokładniej, zbiór złożony ze wszystkich tych funkcji^[11]

${\displaystyle f\colon I\to \bigcup _{i\in I}A_{i},}$

takich że ${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$ dla każdego ${\displaystyle i\in I}$ nazywa się produktem kartezjańskim rodziny zbiorów ${\displaystyle \{A_{i}\colon i\in I\}}$ i oznacza takimi symbolami jak

${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i},}$ ${\displaystyle {\underset {i\in I}{\times }}A_{i}}$ lub ${\displaystyle {\underset {i\in I}{\operatorname {P} }}\;A_{i}.}$

Zobacz też

• m-produkt
• produkt (teoria kategorii)
• suma prosta
• topologia produktowa
• twierdzenie o mnożeniu
• zbiór potęgowy

Uwagi

1. Istnieje kilka nierównoważnych definicji par uporządkowanych. Najczęściej przyjmowana jest definicja Kuratowskiego, przy której ${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}.}$ Ponieważ ${\displaystyle \{x\}\subseteq X\cup Y}$ i ${\displaystyle \{x,y\}\subseteq X\cup Y}$ dla ${\displaystyle x\in X,y\in Y,}$ więc ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)}$ i ${\displaystyle \{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y),}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ oznacza zbiór potęgowy zbioru ${\displaystyle X,}$ a stąd wynika, że ${\displaystyle (x,y)\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}$
2. Zbiory ${\displaystyle A\times B\times C,}$ ${\displaystyle A\times (B\times C)}$ i ${\displaystyle (A\times B)\times C}$ nie są równe, bowiem mają różne elementy, ale są między nimi oczywiste, kanoniczne bijekcje. S. Eilenberg i S. Mac Lane (General Theory of Natural Equivalences, Transactions of the American Mathematical Society, 58 (1945), s. 231–294; pdf) pokazali, że te bijekcje są transformacjami naturalnymi odpowiednich funktorów.

Przypisy

1. iloczyn kartezjański zbiorów, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02].
2. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 52.
3. Rasiowa 1975 ↓, s. 60.
4. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 53.
5. Waliszewski (red.) 1988 ↓, s. 42.
6. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 56.
7. Rasiowa 1975 ↓, s. 71.
8. K. Kuratowski i A. Mostowski, Teoria mnogości, wyd. trzecie zmienione, PWN, Warszawa 1978, s. 84.
9. Kuratowski i Mostowski 1952 ↓, s. 73.
10. Rasiowa 1975 ↓, s. 72.
11. Rasiowa 1975 ↓, s. 70.

Bibliografia

• Rozdział II (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa; Wrocław: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, s. 51–53, 73, seria: Monografie matematyczne, t. 27. [dostęp 2016-10-24].
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975. OCLC 749626864.
• Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.

Encyklopedie internetowe (działanie dwuargumentowe):

• Britannica: topic/Cartesian-product