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curva simples da geometria euclidiana Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Na geometria, uma circunferência, por vezes chamada de círculo,[nota 1] é o conjunto dos pontos num plano numa dada distância de um dado ponto, o centro.
A circunferência é conhecido desde antes do início da história registrada. As circunferência naturais são comuns, como a lua cheia ou uma fatia de fruta redonda. A circunferência é a base da roda, que, com invenções relacionadas, como as engrenagens, torna possível grande parte do maquinário moderno. Na matemática, o estudo da circunferência ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, da astronomia e do cálculo.
Todas as regiões especificadas podem ser consideradas como abertas, ou seja, não contendo seus limites, ou como fechadas, incluindo seus respectivos limites.
Os povos pré-históricos fizeram círculos de pedra e círculos de madeira, e elementos circulares são comuns em petróglifos e pinturas rupestres.[8] Os artefatos pré-históricos em forma de disco incluem o Disco de Nebra e os discos de jade chamados Bi.
O papiro egípcio de Rhind, datado de 1700 a.C., apresenta um método para encontrar a área de um círculo. O resultado corresponde a 25681 (3,16049...) como um valor aproximado de .[9]
O Livro 3 de Os Elementos de Euclides trata das propriedades das circunferência. A definição de circunferência de Euclides é a seguinte:
Uma circunferência é uma figura plana delimitada por uma linha curva e tal que todas as linhas retas traçadas de um certo ponto dentro dela até a linha de delimitação são iguais. A linha de delimitação é chamada de circunferência e o ponto, de centro.— Euclides, Os Elementos, Livro I
Na Sétima Carta de Platão, há uma definição e explicação detalhadas da circunferência. Platão explica a circunferência perfeita e como ele é diferente de qualquer desenho, palavra, definição ou explicação. A ciência primitiva, particularmente a geometria, a astrologia e a astronomia, estava ligada ao divino para a maioria dos estudiosos medievais, e muitos acreditavam que havia algo intrinsecamente "divino" ou "perfeito" que poderia ser encontrado nas circunferências.[10][11]
Em 1880 d.C., Ferdinand von Lindemann provou que π é transcendente, demonstrando que o problema milenar da quadratura do círculo não pode ser realizado com régua e compasso.[12]
Com o advento da arte abstrata no início do século XX, os objetos geométricos se tornaram um tema artístico por si só. Wassily Kandinsky, em particular, usava circunferência com frequência como um elemento de suas composições.[13][14]
Desde os tempos das primeiras civilizações conhecidas - como os assírios e os egípcios antigos, os do Vale do Indo e ao longo do Rio Amarelo na China, e as civilizações ocidentais da Grécia e Roma antigas durante a Antiguidade Clássica - a circunferência tem sido usado direta ou indiretamente na arte visual para transmitir a mensagem do artista e expressar determinadas ideias. No entanto, as diferenças de visão de mundo (crenças e cultura) tiveram um grande impacto sobre as percepções dos artistas. Enquanto alguns enfatizaram o perímetro da circunferência para demonstrar sua manifestação democrática, outros se concentraram em seu centro para simbolizar o conceito de unidade cósmica. Nas doutrinas místicas, a circunferência simboliza principalmente a natureza infinita e cíclica da existência, mas nas tradições religiosas ele representa corpos celestes e espíritos divinos.
A circunferência significa muitos conceitos sagrados e espirituais, incluindo unidade, infinidade, totalidade, universo, divindade, equilíbrio, estabilidade e perfeição, entre outros. Tais conceitos foram transmitidos em culturas do mundo todo por meio do uso de símbolos, por exemplo, uma bússola, um halo, a vesica piscis e seus derivados (peixe, olho, aureola, mandorla etc.), o ouroboros, a roda do darma, um arco-íris, mandalas, rosáceas etc.[15] Os círculos mágicos fazem parte de algumas tradições do esoterismo ocidental.
Considere-se uma sucessão de polígonos regulares inscritos na circunferência. A área de cada um desses polígonos é dada por , onde é o semiperímetro do polígono e é o seu apótema. À medida que o número de lados do polígono aumenta, converge para a metade do comprimento da circunferência () e converge para o raio (). Assim converge para. Por outro lado, à medida que o número de lados do polígono cresce, a sua área converge para a área do círculo. Conclui-se assim que a área do círculo é .[16]
Seja f uma semicircunferência tal que:
Para calcular a área de um círculo, basta que calculemos a área abaixo do gráfico de uma semicircunferência e dobremo-la. Portanto, basta calcular a integral definida:
uma circunferência em
Em geometria analítica é possível descrever a circunferência como o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma distância menor ou igual a um valor (chamado de raio) de um ponto fixo (chamado de centro ou origem).[17]
Numericamente pode-se descrever a circunferência pela seguinte equação:
Onde e são as coordenadas do centro e o raio do circulo.[18][carece de fonte melhor]
A razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é π, uma constante irracional aproximadamente igual a 3,141592654. Assim, o comprimento C está relacionada ao raio r e ao diâmetro d por:
Conforme demonstrado por Arquimedes, em sua obra A Medida do Círculo [en], a área delimitada por um círculo é igual à de um triângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo,[19] o que resulta em π multiplicado pelo raio ao quadrado: De forma equivalente, denotando o diâmetro por d, ou seja, aproximadamente 79% do quadrado circunscrito (cujo lado é de comprimento d).
A circunferência é a curva plana que abrange a área máxima para um determinado comprimento de arco. Isso relaciona o círculo a um problema no cálculo de variações, a saber, a desigualdade isoperimétrica.
Em um Sistema de coordenadas cartesiano , a circunferência com coordenadas de centro () e raio é o conjunto de todos os pontos () de modo queEssa equação, conhecida como equação da circunferência, decorre do teorema de Pitágoras aplicado a qualquer ponto da circunferência: conforme mostrado no diagrama ao lado, o raio é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos outros lados têm comprimento e . Se a circunferência estiver centrado na origem (), então a equação se simplifica paraForma paramétrica A equação pode ser escrita na forma paramétrica usando as funções trigonométricas seno e cosseno comoem que t é uma variável paramétrica no intervalo de a , interpretada geometricamente como o ângulo que o raio de () a () faz com o eixo positivo.
Uma parametrização alternativa da circunferência éNessa parametrização, a proporção de para pode ser interpretada geometricamente como a projeção estereográfica da linha que passa pelo centro paralelamente ao eixo (consulte substituição de meio-ângulo tangente). No entanto, essa parametrização funciona somente se for feito para abranger não somente todos os reais, mas também um ponto no infinito; caso contrário, o ponto mais à esquerda da circunferência seria omitido.
A equação da circunferência determinada por três pontos não em uma linha é obtida por uma conversão da forma de 3 pontos de uma equação de circunferência:Forma homogênea Em coordenadas homogêneas, cada seção cônica com a equação de uma circunferência tem a formaPode-se provar que uma seção cônica é uma circunferência exatamente quando ela contém (quando estendida ao plano projetivo complexo) os pontos e . Esses pontos são chamados de pontos circulares no infinito.
Em coordenadas polares, a equação de uma circunferência éonde é o raio da circunferência, são as coordenadas polares de um ponto genérico na circunferência, e as coordenadas polares do centro da circunferência (ou seja, é a distância da origem até o centro da circunferência e é o ângulo anti-horário do eixo positivo até a linha que liga a origem ao centro da circunferência). Para uma circunferência centrada na origem, ou seja, , isso se reduz a . Quando , ou quando a origem está na circunferência, a equação se tornaNo caso geral, a equação pode ser resolvida para , dandoSem o sinal , a equação descreveria, em alguns casos, apenas metade de uma circunferência.
No plano complexo, uma circunferência com centro em e raio tem a equação
Na forma paramétrica, isso pode ser escrito como
A equação ligeiramente generalizada para p, q reais e g complexo, às vezes é chamado de circunferência generalizada. Isso se torna a equação acima para um círculo com já que . Nem todos as circunferência generalizadas são de fato circunferência: um circunferência generalizada ou é uma circunferência (verdadeira), ou é uma linha.
A linha tangente que passa por um ponto na circunferência é perpendicular ao diâmetro que passa por . Se e a circunferência tem centro () e raio , então a linha tangente é perpendicular à linha de () a (), de modo que tem a forma . A avaliação em () determina o valor de , e o resultado é que a equação da tangente é
ou
Se , então a inclinação dessa linha é
Isso também pode ser encontrado usando a diferenciação implícita.
Quando o centro do circunferência está na origem, a equação da reta tangente se torna
e sua inclinação é
Em coordenadas cartesianas, é possível fornecer fórmulas explícitas para as coordenadas do centro da circunferência e do raio em termos das coordenadas dos três pontos dados. Consulte circunferência circunscrita.
Um ângulo inscrito (exemplos são os ângulos azul e verde na figura) é exatamente a metade do ângulo central correspondente (vermelho). Portanto, todos os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco (rosa) são iguais. Os ângulos inscritos no arco (marrom) são suplementares. Em particular, todo ângulo inscrito que subtende um diâmetro é um ângulo reto (já que o ângulo central é 180°).
Há muitas construções de compasso e régua que resultam em circunferência.
A mais simples e mais básica é a construção em que se dá o centro da circunferência e um ponto na circunferência. Coloque a perna fixa do compasso no ponto central, a perna móvel no ponto da circunferência e gire o compasso.
Apolônio de Perga mostrou que uma circunferência também pode ser definido como o conjunto de pontos em um plano com uma razão constante (diferente de 1) de distâncias para dois focos fixos, e .[23][24] O conjunto de pontos em que as distâncias são iguais é a bissetriz perpendicular do segmento , uma linha. Às vezes, diz-se que essa circunferência é desenhado em torno de dois pontos.
A prova está dividida em duas partes. Primeiro, é preciso provar que, dados dois focos e e uma razão de distâncias, qualquer ponto que satisfaça a razão de distâncias deve cair em uma circunferência específica. Seja outro ponto, também satisfazendo a razão e situado no segmento . Pelo teorema da bissetriz do ângulo, o segmento de reta dividirá o ângulo interno , já que os segmentos são semelhantes:
Da mesma forma, um segmento de reta que passa por algum ponto em estendido divide o ângulo externo correspondente BPQ, onde Q está em AP estendido. Como os ângulos interno e externo somam 180 graus, o ângulo é exatamente 90 graus, ou seja, um ângulo reto. O conjunto de pontos em que o ângulo é um ângulo reto forma uma circunferência, do qual é o diâmetro.
Em segundo lugar, consulte[25]:15 para uma prova de que todos os pontos da circunferênciaindicado satisfazem a proporção dada.
Uma propriedade das circunferências intimamente relacionada envolve a geometria da razão cruzada de pontos no plano complexo. Se , e forem como acima, então a circunferência de Apolônio para esses três pontos é o conjunto de pontos para os quais o valor absoluto da razão cruzada é igual a um:
Em outras palavras, é um ponto na circunferência de Apolônio se e somente se a relação cruzada estiver na circunferência unitário no plano complexo.
Se for o ponto médio do segmento , então o conjunto de pontos que satisfazem a condição de Apolônionão é uma circunferência, mas sim uma reta.
Assim, se , e são pontos distintos no plano, então o local dos pontos que satisfazem a equação acima é chamado de "circunferência generalizada". Ele pode ser uma circunferência verdadeiro ou uma linha. Nesse sentido, uma linha é uma circunferência generalizada de raio infinito.
Em todo triângulo, um único círculo, chamado de círculo inscrito, pode ser inscrito de modo que seja tangente a cada um dos três lados do triângulo.[26]
Em todo triângulo, um único círculo, chamado de circunferência circunscrita, pode ser circunscrito de modo que passe por cada um dos três vértices do triângulo.[27]
Um polígono tangencial, como um quadrilátero tangencial, é qualquer polígono convexo no qual pode ser inscrita uma circunferência tangente a cada lado do polígono.[28] Todo polígono regular e todo triângulo é um polígono tangencial.
Um polígono cíclico é qualquer polígono convexo em torno do qual um círculo pode ser circunscrito, passando por cada vértice. Um exemplo bem estudado é o quadrilátero cíclico. Todo polígono regular e todo triângulo é um polígono cíclico. Um polígono que é cíclico e tangencial é chamado de polígono bicêntrico.
Uma hipocicloide é uma curva que é inscrita em um determinado círculo, traçando um ponto fixo em um círculo menor que rola dentro do círculo dado e é tangente a ele.
O círculo pode ser visto como um caso limite de várias outras figuras:
Considere um conjunto finito de pontos no plano. O local dos pontos em que a soma dos quadrados das distâncias aos pontos dados é constante é um círculo, cujo centro está no centroide dos pontos dados.[29] Uma generalização para potências maiores de distâncias é obtida se sob aponta os vértices do polígono regular forem tomados.[30] O local dos pontos em que a soma da -ésima potência das distâncias aos vértices de um determinado polígono regular com circunferência de raio é constante é um círculo, se
cujo centro é o centroide do
No caso do triângulo equilátero, os loci das somas constantes da segunda e quarta potências são círculos, enquanto no caso do quadrado, os loci são círculos para as somas constantes da segunda, quarta e sexta potências. Para o pentágono regular, a soma constante das oitavas potências das distâncias será adicionada e assim por diante.
A quadratura do círculo é o problema, proposto por geômetras antigos, de construir um quadrado com a mesma área de um determinado círculo usando apenas um número finito de passos com compasso e régua.
Em 1882, foi provado que a tarefa era impossível, como consequência do teorema de Lindemann-Weierstrass, que prova que pi () é um número transcendental, e não um número algébrico irracional; ou seja, não é a raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais. Apesar da impossibilidade, esse tópico continua a ser de interesse para os entusiastas da pseudomatemática.
Seja A um ponto do plano e r um numero real positivo. O circulo de centro A e raio r é o conjunto constituído por todos os pontos B do plano tais que AB = r.
Um exemplo disso é a aplicação f : [0, 2π) → S1, do intervalo semi-aberto [0, 2π) sobre o círculo unitário S1 = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1}, definida por f(t) = (cos t, sen t).
Circunferência é a região geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano.
[...] a circunferência é uma linha formada por todos os pontos do plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixo que é o centro da circunferência.
Circunferência é a figura geométrica plana formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixo, chamado centro.
Circunferência é a linha é formada por todos os pontos de um plano que estão na mesma distância de um ponto fixo desse plano.
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