From Wikipedia, the free encyclopedia
În geometrie, un 4-politop este un politop cvadridimensional.[1][2] Este o figură conexă și închisă, compusă din elemente geometrice din dimensiuni inferioare: vârfuri, laturi, fețe (poligoane) și celule (poliedre). Fiecare față aparține la exact două celule.
{3,3,3} | {3,3,4} | {4,3,3} |
---|---|---|
5-celule Pentatop 4-simplex |
16-celule Ortoplex 4-ortoplex |
8-celule Tesseract 4-cub |
{3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
24-celule Octaplex |
120-celule Dodecaplex |
600-celule Tetraplex |
Analogul bidimensional al unui 4-politop este un poligon, iar analogul tridimensional este un poliedru.
Topologic, 4-politopurile sunt strâns legate de fagurii uniformi convecși, cum ar fi fagurele cubic, care teselează spațiul tridimensional; similar cubul din 3D este legat de pavarea pătrată infinită din 2D. 4-politopurile convexe pot fi „tăiate și desfășurate” ca desfășurata corpurilor tridimensionale.
Un 4-politop este o figură închisă din spațiul cu patru dimensiuni. Elementele sale sunt vârfurile (punctele din colțuri), laturile, fețele și celulele. O celulă este analogul tridimensional al unei fețe, prin urmare este un poliedru. Fiecare față trebuie să unească exact două celule, analog modului în care fiecare muchie a unui poliedru unește doar două fețe. Ca orice politop, elementele unui 4-politop nu pot fi împărțite în două sau mai multe seturi care sunt, de asemenea, 4-politopuri, adică nu este un compus.
Cel mai familiar 4-politop este tesseractul, analogul 4D al cubului.
Secțiune | Desfășurată | |
---|---|---|
Proiecții | ||
Schlegel | 2D ortogonal | 3D ortogonal |
4-politopurile nu pot fi văzute în spațiul tridimensional datorită dimensiunii lor suplimentare. Sunt folosite mai multe tehnici pentru a le vizualiza.
Proiecțiile ortogonale pot fi folosite pentru a arăta diferite orientări ale simetriilor unui 4-politop. Acestea pot fi proiectate în 2D ca grafuri ale vârfurilor și laturilor și pot fi reprezentate în 3D cu celulele vizibile ale anvelopei convexe.
Așa cum o formă 3D poate fi proiectată în 2D pe o foaie plană, tot așa o formă 4D poate fi proiectată în 3D sau chiar în 2D pe o foaie plană. O proiecție obișnuită este diagrama Schlegel, care folosește proiecția stereografică a punctelor de pe suprafața unei sfere în 3D, conectate prin laturi drepte, fețe și celule trasate în spațiul tridimensional.
La fel cum o secțiune printr-un poliedru prezintă suprafața din dreptul secțiunii, tot așa o secțiune printr-un 4-politop este o hipersuprafață în trei dimensiuni. O secvență de astfel de secțiuni poate fi utilizată pentru a înțelege forma generală. Dimensiunea suplimentară poate fi echivalată cu timpul pentru a produce o animație lină a acestor secțiuni transversale.
Desfășurata unui 4-politop este compusă din celulele poliedrice care sunt conectate prin fețele lor și toate ocupă același spațiu tridimensional, la fel cum fețele poligonale ale unei desfășurate 2D a unui poliedru sunt conectate prin muchiile lor și toate se află în același plan.
Topologia oricărui 4-politop dat este definită de numerele Betti și coeficienții de torsiune.[3]
În dimensiuni superioare caracteristica Euler, utilizată pentru caracterizarea poliedrelor, este zero pentru toate 4-politopurile, indiferent de topologia lor de bază, ca urmare este puțin utilă. Această nefuncționalitate a caracteristicii lui Euler de a distinge între diferite topologii din dimensiuni superioare a dus la descoperirea numerelor Betti, mai sofisticate.[3]
Similar, noțiunea de orientabilitate a unui poliedru este insuficientă pentru a caracteriza răsucirile suprafețelor 4-politopurilor toroidale, fapt care a condus la utilizarea coeficienților de torsiune.[3]
La fel ca toate politopurile, 4-politopurile pot fi clasificate pe baza proprietăților de convexitate și simetrie.
În lista următoare sunt enumerate diferite categorii de 4-politopuri clasificate în conformitate cu criteriile de mai sus:
4-politopuri uniforme (tranzitive pe vârfuri):
Alte 4-politopuri convexe:
4-politopuri uniforme infinite din spațiul euclidian tridimensional (teselări uniforme cu celule uniforme convexe)
4-politopuri uniforme infinite din 3-spațiul hiperbolic (teselări uniforme cu celule uniforme convexe)
4-politopuri uniforme duale (tranzitive pe celule, izotopice):
Altele:
4-politopuri abstracte regulate:
Aceste categorii includ doar 4-politopurile care prezintă un grad ridicat de simetrie. Sunt posibile multe alte 4-politopuri, dar nu au fost studiate la fel de mult ca cele incluse în aceste categorii.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.