Дробно-линейное преобразование

Эта статья об отображении комплексного пространства на себя; об отображении комплексного пространства на одномерное пространство см. Дробно-линейная функция.

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние^[1], или дробно-линейное отображе́ние, — это отображение произвольного комплексного пространства на себя, которое осуществляется дробно-линейными функциями^[2].

Это одно из обобщений дробно-линейного преобразование комплексной плоскости^[3].

Формальное определение

Дробно-линейное преобразование — это невырожденное отображение комплексного пространства любой размерности ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle n\geqslant 1,}$ на себя

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}:z\to w,}$ ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),}$

${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})=(L_{1}(z),L_{2}(z),\dots ,L_{n}(z)),}$

осуществляемое ${\displaystyle n}$ дробно-линейными функциями

${\displaystyle L_{k}(z)={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\cdots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1k}z_{1}+c_{2k}z_{2}+\cdots +c_{nk}z_{n}+d_{k}}},}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n,}$

где ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ — комплексные переменные, ${\displaystyle a_{1k},a_{2k},\dots ,a_{nk},}$ ${\displaystyle c_{1k},c_{2k},\dots ,c_{nk},}$ ${\displaystyle b_{k},d_{k}}$ — комплексные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1k}|+|c_{2k}|+\dots +|c_{nk}|+|d_{k}|>0}$^[4].

Продолжения в компактификацию

Наибольший интерес представляют те преобразования из множества всех дробно-линейных преобразований, которые можно продолжить в какую-нибудь из компактификаций комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, то есть пополнение и замыкание его бесконечными элементами^[5][6].

Обычное замыкание

При самом простом способе компактификации комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ получается пространство теории функций ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}^{n}}$^[7].

В это пространство теории функций ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}^{n}}$ продолжаются дробно-линейные преобразования двух видов^[5]:

• все переставляющие координаты линейные преобразования;
• дробно-линейные преобразования следующего вида:

${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\to w=(L_{1}(z_{1}),L_{2}(z_{2}),\dots ,L_{n}(z_{n})),}$

где

${\displaystyle L_{k}(z_{k})={\frac {a_{k}z_{k}+b_{k}}{c_{k}z_{k}+d_{k}}},\,}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n,}$

на комплексной плоскости ${\displaystyle z_{k}}$.

Группа дробно-линейных преобразований, которая порождается этими двумя видами преобразований, совпадает с группой ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\overline {\mathbb {C} }}^{n}}$ всех биголоморфных автоморфизмов пространства теории функций ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}^{n}}$^[5].

В частности, у группы ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\overline {\mathbb {C} }}^{n}}$ имеется подгруппа ${\displaystyle \operatorname {Aut} U^{n}}$ преобразований

${\displaystyle L_{k}(z_{k})=e^{i\theta _{k}}{\frac {z_{k}-\alpha _{k}}{1-{\overline {\alpha _{k}}}z_{k}}},\,}$ ${\displaystyle |\alpha _{k}|<1,\,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \theta _{k}=0,}$

которая исчерпывает все автоморфизмы единичного поликруга

${\displaystyle U^{n}=\{z\in \mathbb {C} ^{n};\,|z_{j}|<1,\,j=1,2,\dots ,n\}}$^[5].

Проективное замыкание

При проективном замыкании комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ получается комплексное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$^[8].

В это комплексное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ продолжаются дробно-линейные преобразования следующего вида^[5]:

${\displaystyle L_{k}(z_{k})={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\dots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\dots +c_{n}z_{n}+d}}={\frac {l_{k}(z)}{l(z)}}}$.

Указанное продолжение в однородных координатах имеет следующий вид^[5]:

${\displaystyle (z_{0},z_{1},\dots ,z_{n})\to \left(z_{0}l\left({\frac {z}{z_{0}}}\right),z_{1}l_{1}\left({\frac {z}{z_{0}}}\right),\dots ,z_{n}l_{n}\left({\frac {z}{z_{0}}}\right)\right)}$.

Представленными дробно-линейными преобразованиями исчерпывается группа ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {C} P^{n}}$ всех биголоморфных автоморфизмов комплексного проективного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$^[5].

В частности, рассмотрим единичный шар

${\displaystyle B^{n}=\{z\in \mathbb {C} ^{n};\,|z|<1\}}$

комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Все его автоморфизмы составляют подгруппу ${\displaystyle \operatorname {Aut} B^{n}}$ группы ${\displaystyle \operatorname {Aut} \mathbb {C} P^{n}}$, состоящую из всех дробно-линейных преобразований

${\displaystyle L_{k}(z_{k})={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\dots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\dots +c_{n}z_{n}+d}}={\frac {l_{k}(z)}{l(z)}}}$,

коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям^[5][9]:

${\displaystyle a_{k1}{\bar {a}}_{l1}+a_{k2}{\bar {a}}_{l2}+\dots +a_{kn}{\bar {a}}_{ln}=c_{k}{\bar {c}}_{l},\,}$ ${\displaystyle k\neq l,}$

${\displaystyle |a_{k1}|^{2}+|a_{k2}|^{2}+\dots +|a_{kn}|^{2}-|c_{k}|^{2}=}$

${\displaystyle =-(|b_{1}|^{2}+|b_{2}|^{2}+\dots +|b_{n}|^{2})+|d|^{2}\neq 0,}$

${\displaystyle k=1,2,\dots ,n.}$

В этих условиях указанный шар ${\displaystyle B^{n}}$ переходит в себя, когда

${\displaystyle -(|b_{1}|^{2}+|b_{2}|^{2}+\dots +|b_{n}|^{2})+|d|^{2}>0}$,

и, следовательно, ${\displaystyle d\neq 0}$. Тогда можно считать, что ${\displaystyle d=1}$, поскольку числитель и знаменатель дробно-линейного преобразования можно поделить на одно и то же число^[9].

Одномерное комплексное пространство

Основная статья: Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя^{[2][10][11][12]}:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$,

${\displaystyle a,b,c,d}$ — постоянные, ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$.

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразований^{[13][14][15][16][17]}.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:

• одномерное комплексное дробно-линейное преобразование^[3];
• дробно-линейная функция одной комплексной переменной^[18];
• рациональная функция первого порядка^[19];
• одномерное комплексное преобразование Мёбиуса^[20].

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного^[19][12].

По словам британского профессора Тристана Нидхема, обладая «обманчивой простотой», дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых «захватывающих» современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде «магическом» взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером Пенроузом^[12][21].

Двумерное комплексное пространство

Обзорная статья: Биголоморфное отображение

Рассмотрим в двумерном комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ дробно-линейное преобразование следующего вида^[22]:

${\displaystyle w_{1}={\frac {a_{11}z_{1}+a_{21}z_{2}+b_{1}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+d}}}$, ${\displaystyle w_{2}={\frac {a_{12}z_{1}+a_{22}z_{2}+b_{2}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+d}}}$,

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&b_{1}\\a_{12}&a_{22}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}&d\end{vmatrix}}\neq 0}$.

Для дальнейшего изложения удобнее вложить комплексное аффинное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}=\{(z_{1},\,z_{2})\}}$ в комплексное проективное пространство

${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}=\{(\zeta _{0}:\zeta _{1}:\zeta _{2})\}}$, ${\displaystyle \quad \zeta _{0},\zeta _{1},\zeta _{2}\in \mathbb {C} }$,

${\displaystyle |\zeta _{0}|+|\zeta _{1}|+|\zeta _{2}|\neq 0}$,

${\displaystyle (\zeta _{0}:\zeta _{1}:\zeta _{2})\sim (\lambda \zeta _{0}:\lambda \zeta _{1}:\lambda \zeta _{2})}$, ${\displaystyle \quad \lambda \neq 0}$^[23].

Пусть теперь ${\displaystyle z_{1}={\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}}$, ${\displaystyle z_{2}={\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}}$ — некоторое вложение ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{2}}$. Такое вложение отождествляет подмножество ${\displaystyle (1:\zeta _{1}:\zeta _{2})\subset \mathbb {C} P^{2}}$ с множеством ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. В алгебраической терминологии это означает, что

${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}=(\mathbb {C} ^{3}\setminus \{0\})/{\sim }}$

и, кроме того,

${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}=\mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {C} P^{1}=\mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {C} ^{1}\cup \{\infty \}}$^[24].

Перепишем указанной дробно-линейное преобразование в однородных координатах:

${\displaystyle {\frac {\omega _{1}}{\omega _{0}}}={\frac {a_{11}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+a_{21}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+b_{1}}{c_{1}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+c_{2}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+d}}}$, ${\displaystyle {\frac {\omega _{2}}{\omega _{0}}}={\frac {a_{12}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+a_{22}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+b_{2}}{c_{1}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+c_{2}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+d}}}$,

в матричной форме получим:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega _{0}\\\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&c_{1}&c_{2}\\b_{1}&a_{11}&a_{21}\\b_{2}&a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta _{0}\\\zeta _{1}\\\zeta _{2}\end{pmatrix}}}$,

что означает, что эти дробно-линейные преобразования образуют проективную группу ${\displaystyle PGL_{3}(\mathbb {C} )}$ комплексной размерности 8 комплексного проективного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$. Обобщая, можно сказать, что произвольное преобразование из ${\displaystyle PGL_{n}}$ определяется ${\displaystyle (n+1)}$ точкой. Индекс ${\displaystyle n}$ у группы ${\displaystyle PGL}$ — это размерность объемлющего комплексного пространства, а соответствующее проективное пространство размерности на единицу меньше^[25].

В качестве примера построим дробно-линейное преобразование ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\setminus \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{2}\setminus \mathbb {C} }$. Возьмём преобразование

${\displaystyle w_{1}={\frac {2z_{1}}{z_{2}+i}}}$, ${\displaystyle \quad w_{2}={\frac {z_{2}-i}{z_{2}+i}}}$,

обратное ему будет

${\displaystyle z_{1}=-i{\frac {w_{1}}{w_{2}-1}}}$, ${\displaystyle \quad z_{2}=-i{\frac {w_{2}+1}{w_{2}-1}}}$,

причём непосредственно выясняются следующие равнозначности:

${\displaystyle |w_{2}|<1\Leftrightarrow \operatorname {Im} z_{2}>0}$,

${\displaystyle |w_{1}|^{2}+|w_{2}|^{2}<1\Leftrightarrow \operatorname {Im} z_{2}>|z|^{2}}$,

что означает, что построено следующее преобразование^[26]:

${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\setminus \{z_{2}+i=0\}\leftrightarrow \mathbb {C} ^{2}\setminus \{z_{2}-1=0\}}$.