Однородный звёздчатый многогранник

Однородный звёздчатый многогранник — самопересекающийся однородный многогранник. Эти многогранники называются также невыпуклыми многогранниками, подчёркивая самопересечение. Каждый многогранник может содержать грани в виде звёздчатых многоугольников или иметь звёздчатые вершинные фигуры, но может содержать и то, и другое.

Витрина с однородными многогранниками в Музее науки в Лондоне

Малый плосконосый икосоикосододекаэдр^[англ.] является однородным звёздчатым многогранником с вершинной фигурой 3⁵.⁵/₂

Полный набор 57 непризматических однородных звёздчатых многогранников включает 4 правильных, называемых телами Кеплера — Пуансо, 5 квазиправильных, и 48 полуправильных.

Существует также два бесконечных множества однородных звёздчатых призм и антипризм.

Так же, как (невырожденные) звёздчатые многоугольники (которые имеют плотность^[англ.] большую 1) соответствуют круговым многоугольникам с перекрывающимися частями, звёздчатые многогранники, которые не проходят через центр, имеют плотность^[англ.], большую 1, и соответствуют сферическим многогранникам с перекрывающимися частями. Существует 48 таких непризматических однородных звёздчатых многогранников. Оставшиеся 9 непризматических однородных звёздчатых многогранников имеют грани, проходящие через центр, являются полумногогранниками^[англ.] и не соответствуют сферическим многогранникам, поскольку центр не может быть однозначно спроецирован на сферу.

Невыпуклые формы конструируются из треугольников Шварца.

Все треугольники, перечисленные ниже, сгруппированы по их группам симметрии, а внутри сгруппированы по расположению вершин.

Правильные многогранники помечены их символами Шлефли. Другие, неправильные однородные многогранники снабжены их вершинной конфигурацией или их номером однородного многогранника (Uniform polyhedron index, U(1-80)).

Примечание: Для невыпуклых форм ниже приводится дополнительное описание Неоднородный, когда выпуклая оболочка набора вершин^[англ.] имеет ту же топологию, но имеет неправильные грани. Например, неоднородное скашивание (удаление рёбер) может дать прямоугольники на местах удалённых рёбер, а не квадраты.

Диэдральная симметрия

См. Призматический однородный многогранник.

Тетраэдральная симметрия

Треугольники (3 3 2) на сфере

Существует один невыпуклый вид, тетрагемигексаэдр, который имеет тетраэдральную симметрию (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (3 3 2)).

Существует два треугольника Шварца, из которых образуются уникальные невыпуклые однородные многогранники — прямоугольный треугольник (3/2 3 2) и один треугольник общего вида (3/2 3 3). Треугольник (3/2 3 3) генерирует октагемиоктаэдр^[англ.], который приведён ниже в разделе октаэдральной симметрии^[англ.].

Расположение вершин[англ.] (Выпуклая оболочка)	Невыпуклые виды
Тетраэдр
Спрямлённый тетраэдр Октаэдр	(4.3/2.4.3) 3/2 3 | 2
Усечённый тетраэдр
Скошенный тетраэдр (Кубооктаэдр)
Всеусечённый тетраэдр (Усечённый октаэдр)
Плосконосый тетраэдр (Икосаэдр)

Октаэдральная симметрия

Треугольники (4 3 2) на сфере

Существует 8 выпуклых форм и 10 невыпуклых с октаэдральной симметрией^[англ.] (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (4 3 2)).

Существует четыре треугольника Шварца, которые образуют невыпуклые формы, два прямоугольных, (3/2 4 2) и (4/3 3 2), и два общего вида, (4/3 4 3) и (3/2 4 4).

Расположение вершин[англ.] (Выпуклая оболочка)	Невыпуклые виды
Куб
Октаэдр
Кубооктаэдр	(6.4/3.6.4)[англ.] 4/3 4 | 3	(6.3/2.6.3)[англ.] 3/2 3 | 3
Усечённый куб	4.8/3.4/3.8/5)  2 4/3 (3/2 4/2)  |	(8/3.3.8/3.4)[англ.] 3 4 | 4/3	(4.3/2.4.4)[англ.] 3/2 4 | 2
Усечённый октаэдр
Ромбокубооктаэдр	(4.8.4/3.8)[англ.] 2 4 (3/2 4/2) |	(8.3/2.8.4)[англ.] 3/2 4 | 4	(8/3.8/3.3)[англ.] 2 3 | 4/3
Неоднородный Усечённый кубооктаэдр	(4.6.8/3)[англ.] 2 3 4/3 |
Неоднородный Усечённый кубооктаэдр	(8/3.6.8)[англ.] 3 4 4/3 |
Плосконосый куб

Икосаэдральная симметрия

Треугольники (5 3 2) на сфере

Имеется 8 выпуклых форми и 46 невыпуклых с икосаэдральной симметрией (с фундаментальной областью треугольник Мёбиуса (5 3 2)). (или 47 невыпуклых форм, если включать фигуру Скиллинга). Некоторые невыпуклые плосконосые виды имеют зеркальную вершинную симметрию.

Расположение вершин[англ.] (Выпуклая оболочка)	Невыпуклые виды
Икосаэдр	{5,5/2}	{5/2,5}	{3,5/2}
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 |3	U37[англ.] 2 5/2 | 5	U61[англ.] 5/2 3 | 5/3	U67[англ.] 5/3 3 | 2	U73[англ.] 2 5/3 (3/2 5/4) |
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 |3	U38[англ.] 5/2 5 | 2	U44[англ.] 5/3 5 | 3	U56[англ.] 2 3 (5/4 5/2) |
Неоднородный Усечённый икосаэдр 2 5 |3	U32[англ.] | 5/2 3 3
Икосододекаэдр 2 | 3 5	U49[англ.] 3/2 3 | 5	U51[англ.] 5/4 5 | 5	U54 2 | 3 5/2	U70[англ.] 5/3 5/2 | 5/3	U71[англ.] 3 3 | 5/3	U36 2 | 5 5/2	U62[англ.] 5/3 5/2 | 3	U65[англ.] 5/4 5 | 3
Усечённый додекаэдр 2 3 | 5	U42[англ.]	U48[англ.]	U63[англ.]
Неоднородный усечённый додекаэдр	U72[англ.]
Додекаэдр	{5/2,3}	U30[англ.]	U41[англ.]	U47[англ.]
Ромбоикосододекаэдр	U33[англ.]	U39[англ.]	U58[англ.]
Додекаэдр со снятыми кромками	U55[англ.]
Неоднородный Ромбоикосододекаэдр	U31[англ.]	U43[англ.]	U50[англ.]	U66[англ.]
Неоднородный ромбоикосододекаэдр	U75[англ.]	U64[англ.]	Тело Скиллинга[англ.] (см. ниже)
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр	U45[англ.]
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр	U59[англ.]
Неоднородный Ромбоусечённый икосододекаэдр	U68[англ.]
Неоднородный Плосконосый додекаэдр	U40[англ.]	U46[англ.]	U57[англ.]	U69	U60[англ.]	U74

Тело Скиллинга

Ещё одним невыпуклым многогранником является большой биплосконосый биромбододекаэдр^[англ.], известный также как тело Скиллинга, которое вершинно однородно, но имеет разделяемые общие для граней пары рёбер, так что четыре грани имеют одно общее ребро. Иногда его причисляют к однородным многогранникам, но не всегда. Тело имеет симметрию I_h.

Вырожденные случаи

Коксетер с помощью построения Витхоффа определил некоторое число вырожденных звёздчатых многогранников, которые имеют перекрывающиеся рёбра или вершины. Эти вырожденные формы включают:

• Малый составной икосододекаэдр^[англ.]
• Большой составной икосододекаэдр^[англ.]
• Малый составной ромбоикосододекаэдр^[англ.]
• Составной ромбододекододекаэдр^[англ.]
• Большой составной ромбоикосододекаэдр^[англ.]

См. также

• Звёздчатый многоугольник
• Список однородных многогранников
• Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца