Усечённый кубооктаэдр

Усечённый кубооктаэдр^[1][2], усечённый кубоктаэдр^[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром.

Усечённый кубооктаэдр
Тип	Полуправильный многогранник
Грань	квадрат, шестиугольник, восьмиугольник
Граней	${\displaystyle 26}$
Рёбер	${\displaystyle 72}$
Вершин	${\displaystyle 48}$
Граней при вершине	${\displaystyle 3}$
Телесный угол	4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44’08" 4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135° 6-8:arccos(-sqrt(3)/3)=125°15’51"
Точечная группа симметрии	Октаэдрическая, [4,3]+, (432), порядок 24
Двойственный многогранник	Гекзакисоктаэдр
Развёртка
С раскраской граней	Вершинная фигура

Другие названия

Этот многогранник имеет несколько названий:

• Усечённый кубооктаэдр (Иоганн Кеплер)
• Ромбоусечённый кубооктаэдр (Магнус Веннинджер^[4][5])
• Большой ромбокубооктаэдр (Роберт Вильямс^{[англ.] [6]})
• Большой ромбокубооктаэдр (Питер Кромвель ^[7])
• Общеусечённый куб (omnitruncated cube) или скос-усечённый куб (cantitruncated cube) (Норман Джонсон^[англ.])

Название усечённый кубооктаэдр, данное первоначально Иоганном Кеплером, несколько вводит в заблуждение. Усечение кубооктаэдра путём отсечения углов (вершин) не позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут прямоугольниками. Однако полученная фигура топологически эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.

Альтернативное название — большой ромбокубооктадр — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбододекаэдра, который двойственен кубооктаэдру. Ср. малый ромбокубооктаэдр.

Также существует невыпуклый однородный многогранник^[англ.] с тем же именем — невыпуклый большой ромбокубооктаэдр^[англ.].

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются перестановками чисел:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

Площадь и объём

Площадь A и объём V усечённого кубооктаэдра с ребром длины a равны:

${\displaystyle A=12\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 61.7551724a^{2}}$

${\displaystyle V=\left(22+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 41.7989899a^{3}.}$

Рассечение

Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный ромбокубооктаэдр с 6 квадратными куполами^[англ.] над первичными квадратными гранями, 8 треугольными куполами^[англ.] над треугольными гранями и 12 кубами над вторичными квадратными гранями.

Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать тороиды Стюарта^[англ.] рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметрию^[8][9].

Тороиды Стюарта

Род 3	Род 5	Род 7	Род 11

Однородные раскраски

Существует только одна однородная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.

Существует 2-однородная раскраска тетраэдральной симметрией с раскраской шестиугольников в два цвета.

Ортогональные проекции

Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в A₂ и B₂ плоскости Коксетера с [6] и [8] проективными симметриями, и множество [2] симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции.

Ортогональные проекции

Центрированы относительно	Вершины	Ребра 4-6	Ребра 4-8	Ребра 6-8	Нормали к грани 4-6
Изображение
Проективная симметрия	[2]+	[2]	[2]	[2]	[2]
Центрированы относительно	Нормали к квадрату	Нормали к восьмиграннику	Квадратной грани	Шестиугольной грани	Восьмиугольной грани
Изображение
Проективная симметрия	[2]	[2]	[2]	[6]	[8]

Сферические мозаики

Усечённый кубооктаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроектировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости.

	квадрат-центрированная	шестиугольник-центрированная	восьмиугольник-центрированная
Ортогональная проекция	Стереографические проекции

Связанные многогранники

Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдральные многогранники

Симметрия: [4,3], (*432)[англ.]							[4,3]+, (432)	[3+,4], (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Двойственные многогранники
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V35

Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Для p < 6 члены последовательности являются общеусечёнными^[англ.] многогранниками (зоноэдрами), показанными ниже как сферические мозаики. Для p > 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с усечённой трисемиугольной мозаики^[англ.].

*n32 мутации по симметрии полностью усечённых мозаик: 4.6.2n

Симметрия *n32[англ.] n,3[англ.]	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболическая		Паракомп.	Некомпактная гиперболическая
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Фигуры
Конфигурация	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Двойственная
Конфигурация грани	V4.6.4[англ.]	V4.6.6	V4.6.8[англ.]	V4.6.10	V4.6.12[англ.]	V4.6.14[англ.]	V4.6.16[англ.]	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

*n42 симметрии общеусечённых мозаик: 4.8.2n

Симметрия *n42 [n,4]	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Паракомп.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]…	*∞42 [∞,4]
Общеусечённая фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Общеусечённые двойственные	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Граф усечённого кубооктаэдра

Граф усечённого кубооктаэдра
Вершин	48
Рёбер	72
Автоморфизмы	48
Хроматическое число	2
Свойства	кубический гамильтонов регулярный, нуль-симметричный[англ.]
Медиафайлы на Викискладе

В теории графов граф усечённого кубооктаэдра (или граф большого ромбокубооктаэдра) — это граф вершин и рёбер^[англ.] усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, нульсимметричен^[англ.] и является кубическим архимедовым графом ^[10].