Икосаэдральная симметрия

Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет порядок симметрии^[англ.] 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру.

Точечная группа в трёхмерном пространстве

Симметрии-инволюции Cs, (*) [ ] =	Циклическая симметрия Cnv, (*nn) [n] =	Диэдральная симметрия Dnh, (*n22) [n,2] =
Группы многогранников, [n,3], (*n32)
Тетраэдральная симметрия Td, (*332) [3,3] =	Октаэдральная симметрия Oh, (*432) [4,3] =	Икосаэдральная симметрия Ih, (*532) [5,3] =

Фундаментальные области икосаэдральной симметрии

Футбольный мяч, пример сферического усечённого икосаэдра, имеет полную икосаэдральную симметрию.

Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A₅ (знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A₅ ${\displaystyle \times }$ Z₂. Последняя группа известна также как группа Коксетера H₃ и представляется в нотации Коксетера^[англ.] как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .

Как точечная группа

Кроме двух бесконечных семейств призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдральная симметрия или хиральная икосаэдральная симметрия хиральных объектов и полная икосаэдральная симметрия или ахиральная икосаэдральная симметрия являются дискретными точечными симметриями (или, эквивалентно, симметриями на сфере) с наибольшей группой симметрии.

Икосаэдральная симметрия не совместима с трансляционной симметрией, так что нет ассоциированных кристаллографических точечных групп или кристаллографических групп.

Шёнфлис	Коксетер[англ.]		Орбифолд[англ.]	Абстрактная структура	Порядок[англ.]
I	[5,3]+		532	A5	60
Ih	[5,3]		*532	${\displaystyle A_{5}\times 2}$	120

Задания групп, соответствующие описанным выше:

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$

${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$

Это соответствует икосаэдральным группам (вращения и полным), которые являются (2,3,5) группами треугольника.

Первое задание группы дал Гамильтон в 1856 году в своей статье по икосианам^[1].

Заметим, что возможны другие задания, как, например, знакопеременная группа (для I).

Визуализация

Шёнфлис (Орбифолд[англ.])	Нотация Коксетера[англ.]	Элементы	Зеркальные диаграммы
			Ортогональная	Стереографическая проекция
Ih (*532)	[5,3]	Зеркальных линий: 15
I (532)	[5,3]+	Точек вращения: 125 203 302

Структура группы

Рёбра сферического соединения пяти октаэдров представляют 15 плоскостей зеркального отражения в виде больших цветных окружностей. Каждый октаэдр может представлять 3 ортогональных плоскостей зеркального отражения по его рёбрам.
Пиритоэдральная симметрия является подгруппой с индексом 5 икосаэдральной симметрии, с 3 ортогональными зелёными линиями отражений и 8 красных порядка 3 точек вращения. Поскольку подгруппа имеет индекс 5, имеется 5 других ориентаций пиритоэдральной симметрии.

Группа вращений икосаэдра I имеет порядок 60. Группа I изоморфна группе A₅, знакопеременной группе чётных перестановок из пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован путём действия I на различные соединения, в частности на соединение пяти кубов^[англ.] (которое вписано в двенадцатигранник), соединение пяти октаэдров, или одно из двух соединений пяти тетраэдров (которые энантиоморфны и вписаны в двенадцатигранник).

Группа содержит 5 версий T_h с 20 версиями D₃ (10 осей, 2 на ось), и 6 версий D₅.

Полная икосаэдральная группа I_h имеет порядок 120. I является нормальной подгруппы группы I_h индекса 2. Группа I_h изоморфна ${\displaystyle I\times Z_{2}}$, или ${\displaystyle A_{5}\times Z_{2}}$, с центральной симметрией, соответствующей (1,-1), где Z₂ записывается мультипликативно.

I_h действует на соединение пяти кубов^[англ.] и соединение пяти октаэдров, но −1 действует как тождественный элемент (так как кубы и октаэдры центрально симметричны). Группа действует на соединение десяти тетраэдров — I действует на две хиральные половинки (соединения пяти тетраэдров), а −1 обменивает местами две половинки. В частности, она не действует как S₅ и эти группы не изоморфны, смотрите ниже.

Группа содержит 10 версий D_3d и 6 версий D_5d (симметрии аналогичные антирпизимам).

I изоморфна также группе PSL₂(5), но I_h не изоморфна SL₂(5).

Группы, которые часто путают с группой симметрий икосаэдра

Следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны друг другу:

• S₅, симметрическая группа 5 элементов
• I_h, полная икосаэдральная группа (предмет данной статьи, известная также как H₃)
• 2I, бинарная группа икосаэдра

Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не разбивается) и произведению

${\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}$

${\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$

${\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}$

Иными словами,

• ${\displaystyle A_{5}}$ является нормальной подгруппой группы ${\displaystyle S_{5}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$ является факторгруппой группы ${\displaystyle I_{h}}$, которая является прямым произведением
• ${\displaystyle A_{5}}$ является факторгруппой группы ${\displaystyle 2I}$

Заметим, что ${\displaystyle A_{5}}$ имеет исключительное^[англ.] неприводимое 3-мерное представление (как икосаэдральная группа вращений), но ${\displaystyle S_{5}}$ не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной икосаэдральной группе, не являющейся симметрической группой.

Их можно соотнести с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые представляют собой подгруппы накрывающих групп прямо. Ни одна из них не является полной икосаэдральной группой:

• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$ проективная специальная линейная группа;
• ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$ проективная полная линейная группа;
• ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$ специальная линейная группа.

Классы сопряжённости

Классы сопряжённости

I	Ih
Тождество ${\displaystyle 12\times }$ вращение на 72°, порядок 5 ${\displaystyle 12\times }$ вращение на 144°, порядок 5 ${\displaystyle 20\times }$ вращение на 120°, порядок 3 ${\displaystyle 15\times }$ вращение на 180°, порядок 2	Отражение ${\displaystyle 12\times }$ зеркальное отражение с вращением на 108°, порядок 10 ${\displaystyle 12\times }$ зеркальное отражение с вращением на 36°, порядок 10 ${\displaystyle 20\times }$ r зеркальное отражение с вращением на 60°, порядок 6 ${\displaystyle 15\times }$ зеркальное отражение, порядок 2

Явное представление матрицами вращений

В контексте вычислений, группа икосаэдральных вращений ${\displaystyle I}$, описанная выше, может быть представлена следующими 60 матрицами поворота. Оси вращений соответствуют всем циклическим перестановкам ${\displaystyle (\pm 1,0,\pm \phi )}$, где ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ является золотым сечением. Отражение относительно любой плоскости, проходящей через начало координат, дают полную икосаэдральную группу ${\displaystyle I_{h}}$. Все эти матрицы могут быть получены, начав с единичной матрицы, последовательным умножением каждой матрицы в наборе на любые из двух произвольных невырожденных матриц, таких как ${\displaystyle R_{6}}$ и ${\displaystyle R_{58}}$, пока размер множества не перестанет расти.

${\displaystyle R_{1}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{2}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{5}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{7}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{8}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{11}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{12}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{13}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{18}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{20}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{21}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{22}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{23}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{26}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{27}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{28}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{29}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{30}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle R_{31}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{32}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{33}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{34}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{35}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{38}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{39}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{40}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{41}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{43}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{48}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{49}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{50}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{53}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{54}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{56}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{59}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{60}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Подгруппы с полной икосаэдральной симметрией

Связь подгрупп

Связь хиральных подгрупп

Шёнфлис	Коксетер[англ.]		Орбифолд[англ.]	Г-М	Структура	Циклы	Порядок	Индекс
Ih	[5,3]		*532	532/m	A5${\displaystyle \times Z_{2}}$		120	1
D2h	[2,2]		*222	mmm	Dih2${\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Dih} _{1}^{3}}$		8	15
C5v	[5]		*55	5m	Dih5		10	12
C3v	[3]		*33	3m	Dih3=S3		6	20
C2v	[2]		*22	2mm	Dih2=Dih12		4	30
Cs	[ ]		*	2 or m	Dih1		2	60
Th	[3+,4]		3*2	m3	${\displaystyle A_{4}\times Z_{2}}$		24	5
D5d	[2+,10]		2*5	10m2	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{10}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{5}}$		20	6
D3d	[2+,6]		2*3	3m	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{3}}$		12	10
${\displaystyle D_{1d}=C_{2h}}$	[2+,2]		2*	2/m	Dih2=Z2${\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}}$		4	30
S10	[2+,10+]		${\displaystyle 5\times }$	5	${\displaystyle Z_{10}=Z_{2}\times Z_{5}}$		10	12
S6	[2+,6+]		${\displaystyle 3\times }$	3	${\displaystyle Z_{6}=Z_{2}\times Z_{3}}$		6	20
S2	[2+,2+]		${\displaystyle \times }$	1	${\displaystyle Z_{2}}$		2	60
I	[5,3]+		532	532	A5		60	2
T	[3,3]+		332	332	A4		12	10
D5	[2,5]+		522	522	Dih5		10	12
D3	[2,3]+		322	322	Dih3=S3		6	20
D2	[2,2]+		222	222	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}=Z_{2}^{2}}$		4	30
C5	[5]+		55	5	${\displaystyle Z_{5}}$		5	24
C3	[3]+		33	3	${\displaystyle Z_{3}=A_{3}}$		3	40
C2	[2]+		22	2	${\displaystyle Z_{2}}$		2	60
C1	[ ]+		11	1	${\displaystyle Z_{1}}$		1	120

Все эти классы подгрупп сопряжены (то есть все стабилизаторы вершин сопряжены) и допускают геометрическую интерпретацию.

Заметим, что стабилизатор вершины/ребра/грани/многогранника и его противоположный равны.

Стабилизаторы вершин

Стабилизаторы противоположных пар вершин можно интерпретировать как стабилизаторы осей, которые они образуют.

• стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C₃
• стабилизаторы вершин в I_h дают диэдральные группы^?! D₃
• стабилизаторы противоположных пар вершин в I дают диэдральные группы D₃
• стабилизаторы противоположных пар вершин в I_h дают ${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$

Стабилизаторы рёбер

Стабилизаторы противоположных пар рёбер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они образуют.

• Стабилизаторы рёбер в I дают циклические группы Z₂
• Стабилизаторы рёбер в I_h дают четверные группы Клейна ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• стабилизаторы пар рёбер в I дают четверные группы Клейна ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$. Существует 5 из них, задаваемых вращением на 180° в 3 перпендикулярных осях.
• стабилизаторы пар рёбер в I_h дают ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$. Существует 5 таких, и они задаются отражениями относительно 3 перпендикулярных осей.

Стабилизаторы граней

Стабилизаторы противоположных пар граней можно интерпретировать как стабилизаторы антипризмы, которую они порождают.

• стабилизаторы граней в I дают циклические группы C₅
• стабилизаторы граней в I_h дают диэдральные группы D₅
• стабилизаторы противоположных пар граней в I дают диэдральные группы D₅
• стабилизаторы противоположных пар граней в I_h дают ${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$

Стабилизаторы многогранников

Для каждого из них есть 5 сопряжённых копий и операция сопряжения образует отображение, фактически, изоморфизм ${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}$.

• стабилизаторы вписанного тетраэдра в I являются копией T
• стабилизаторы вписанного тетраэдра в I_h являются копией T
• стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I являются копиями T
• стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I_h являются копиями T_h

Фундаментальная область

Фундаментальные области для икосаэдральной группы вращений и полная икосаэдральная группа задаются как:

икосаэдральная группа вращений I

Полная икосаэдральная группа Ih

Грани гекзакисикосаэдра являются фундаментальными областями

В гекзакисикосаэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией могут быть получены путём настройкой ориентации граней, например, выравниванием выбранного подмножества граней с последующим объединением каждого подмножества в грань, или путём замены каждой грани на несколько граней, или путём создания неплоской поверхности.

Многогранники с икосаэдральной симметрией

Подробнее см. Многогранники с икосаэдральной симметрией

Хиральные многогранники

Класс	Символы	Рисунок
Архимедовы	sr{5,3}
Каталановы	V3.3.3.3.5

Полная икосаэдральная симметрия

Правильный многогранник	Тела Кеплера — Пуансо		Архимедовы тела
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
Правильный многогранник	Тела Кеплера — Пуансо		Каталановы тела
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Другие объекты с икосаэдральной симметрией

Примеры икосоэдральной симметрии

Феодария, радиолярия

Капсид аденовируса

Ион додекабората^[англ.] [B₁₂H₁₂]²⁻

• Поверхности Барта^[англ.]
• Структура вируса и Капсиды
• В химии ион додекабората^[англ.] ([B₁₂H₁₂]²⁻) и молекула додекаэдрана (C₂₀H₂₀)

Жидкие кристаллы с икосаэдральной симметрией

Для промежуточного стояния вещества, называемого жидкими кристаллами, существование икосаэдральной симметрии предположили Х. Кляйнерт и К. Маки^[2] и впервые детально проанализировали структуру этих кристаллов. См. обзор статьи здесь. В алюминии икосаэдральную структуру обнаружил тремя годами позже Дан Шехтман, что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.

Связанные геометрии

Группа симметрий икосаэдра эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5). Помимо этого, группа PSL(2,p) является группой симметрии модулярной кривой X(p). Модулярная кривая X(5) геометрически является двенадцатигранником с каспом в центре каждой грани и имеет соответствующую группу симметрии.

Эту геометрию и ассоциированную группу симметрии изучал Феликс Кляйн как группы монодромии поверхности Белого — римановы поверхности с голоморфным отображением в риманову сферу, разветвлённым в 0, 1 и бесконечности — каспы являются точками на бесконечности, в то время как вершины и центры каждого ребра лежат на 0 и 1. Степень накрытия (число листов) равно 5.

Это возникает из его попыток дать геометрическое обоснование, почему икосаэдральная симметрия появляется в решении уравнения пятой степени в теории из знаменитой статьи Кляйна^[3]. Современное описание дано в статье Тота^[4].

Исследования Кляйна продолжились с его открытием симметрий 7 и 11 порядков в статьях 1878-1879 годов^[5][6] (и ассоциированных накрытий степени 7 и 11) и dessins d'enfants^[англ.] (так называемых «детских рисунков»), давших первые появления квартик Кляйна^[англ.], ассоциированная геометрия которых имеет мозаику из 24 семиугольников (с каспом в центре каждого семиугольника).

Подобные геометрии случаются для групп PSL(2,n) и более общих групп для других модулярных кривых.

Более экзотичное проявление, существует особая связь между группами PSL(2,5) (порядка 60), PSL(2,7) (порядка 168) и PSL(2,11) (порядка 660), которые также допускают геометрические интерпретации — PSL(2,5) является симметриями икосаэдра (род 0), PSL(2,7) — квартики Клейна^[англ.] (род 3), а PSL(2,11) — поверхности фуллерона (род 70). Эти группы образуют «троицу» в терминологии В. И. Арнольда, что даёт основу для различных связей. См. подробнее в статье «Троицы».

Также группа симметрий икосаэдра тесно связана с другими группами симметрий правильных многогранников.

См. также

• Тетраэдральная симметрия
• Октаэдральная симметрия^[англ.]
• Бинарная группа икосаэдра
• Икосианы