Разложение Шура

Разложение Шура — разложение матрицы на унитарную, верхнюю треугольную и обратную унитарную матрицы, названное именем Исая Шура.

Утверждение

Если ${\displaystyle A}$ является квадратной матрицей порядка ${\displaystyle n}$ с комплексными элементами, то её можно представить в виде^[1][2]:

${\displaystyle A=QUQ^{-1}}$

где ${\displaystyle Q}$ — унитарная матрица (так что её обратная ${\displaystyle Q^{-1}}$ является эрмитово-сопряжённой ${\displaystyle Q^{*}}$ матрицы ${\displaystyle Q}$), а ${\displaystyle U}$ — верхняя треугольная матрица, которая называется формой Шура матрицы ${\displaystyle A}$. Поскольку ${\displaystyle U}$ подобна матрице ${\displaystyle A}$, она имеет то же мультимножество собственных значений, а поскольку она треугольна, эти собственные значения совпадают с диагональными элементами матрицы ${\displaystyle U}$.

Из разложения Шура следует, что существует вложенная последовательность ${\displaystyle A}$-инвариантных подпространств ${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}=\mathbb {C} ^{n}}$ и упорядоченный ортогональный базис, такие что линейная комбинация первых ${\displaystyle i}$ базисных векторов даёт ${\displaystyle V_{i}}$ для всех ${\displaystyle i}$ в последовательности. Иными словами, первая часть говорит, что линейное отображение ${\displaystyle J}$ на комплексном конечномерном векторном пространстве стабилизирует весь флаг ${\displaystyle V_{1},\dots V_{n}}$.

Доказательство

Конструктивное доказательство разложения Шура следующее: любой оператор ${\displaystyle A}$ в комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение ${\displaystyle \lambda }$, соответствующее собственному пространству ${\displaystyle V_{\lambda }}$. Пусть ${\displaystyle V_{\lambda }^{\perp }}$ — ортонормальное дополнение. При таком ортогональном разложении ${\displaystyle A}$ имеет матричное представление (можно выбрать любые ортонормальные базисы ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ для натянутых на них пространств ${\displaystyle V_{\lambda }}$ и ${\displaystyle V_{\lambda }^{\perp }}$ соответственно):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}}$,

где ${\displaystyle I_{\lambda }}$ — тождественный оператор на ${\displaystyle V_{\lambda }}$. Полученная матрица треугольна за исключением блока ${\displaystyle A_{2\,2}}$. Но точно ту же процедуру можно совершить для подматрицы ${\displaystyle A_{2\,2}}$, которая рассматривается как оператор на ${\displaystyle V_{\lambda }^{\perp }}$ и её подматрицы. Продолжив процедуру ${\displaystyle n}$ раз, пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ будет исчерпано и построение даст желаемый результат.

Особенности

Хотя любая квадратная матрица имеет разложение Шура, в общем случае такое разложение не единственно. Например, собственное пространство ${\displaystyle V_{\lambda }}$ может иметь размерность более 1, и в этом случае любой ортонормальный базис для ${\displaystyle V_{\lambda }}$ даст желаемый результат.

Треугольная матрица ${\displaystyle U}$ может быть представлена в виде суммы диагональной ${\displaystyle D}$ и строго верхней треугольной ${\displaystyle N}$: ${\displaystyle U=D+N}$. Строго верхняя треугольная матрица нильпотентна. Диагональная матрица ${\displaystyle D}$ содержит собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$ в случайном порядке. Нильпотентная часть ${\displaystyle N}$ в общем случае также не уникальна, но её норма Фробениуса единственным образом определяется матрицей ${\displaystyle A}$, так как норма Фробениуса матрицы ${\displaystyle A}$ равна норме Фробениуса матрицы ${\displaystyle U=D+N}$.

Если ${\displaystyle A}$ является нормальной, то её форма Шура ${\displaystyle U}$ диагональна, а столбцы матрицы ${\displaystyle Q}$ разложения ${\displaystyle QUQ^{-1}}$ будут собственными векторами матрицы ${\displaystyle A}$. Таким образом, разложение Шура обобщает спектральное разложение. В частности, если ${\displaystyle A}$ является положительно определённой, её разложение Шура, её спектральное разложение и её сингулярное разложение совпадают.

Коммутативное семейство матриц ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ может быть приведено к треугольному виду одновременно, то есть существует унитарная матрица ${\displaystyle Q}$, такая что для любой ${\displaystyle A_{i}}$ из данного семейства выполнено ${\displaystyle QA_{i}Q^{*}}$ является верхней треугольной. Конечное утверждение доказывается индукцией. Как следствие, любое коммутативное семейство нормальных матриц может быть приведено к диагональному виду.

В бесконечномерном случае не всякий ограниченный оператор в банаховом пространстве имеет инвариантное подпространство. Однако приведение к треугольному виду произвольной квадратной матрицы обобщается для компактных операторов. Любой компактный оператор в банаховом пространстве имеет гнездо замкнутых инвариантных подпространств.

Вычисление

Декомпозиция Шура заданной матрицы выполняется QR-алгоритмом или его вариантами. С использованием таких алгоритмов для разложения Шура нет необходимости заранее вычислять корни характеристического многочлена, соответствующего матрице. И наоборот, QR-алгоритм можно использовать для вычисления корней любого заданного характеристического многочлена путём нахождения разложения Шура его сопровождающей матрицы. Таким же образом QR-алгоритм используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхней треугольной матрицы разложения Шура. Все необходимые алгоритмы реализованы, в частности, в библиотеке Lapack^[3].

Приложения

Из разложения Шура следуют некоторые важные результаты теории Ли^[англ.], в частности:

• любой обратимый оператор содержится в подгруппе Бореля,
• любой оператор фиксирует точку в многообразии флагов^[англ.].

Обобщённое разложение Шура

Обобщённое разложение Шура двух квадратных матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — согласованная пара разложений обеих матриц ${\displaystyle A=QSZ^{*}}$ и ${\displaystyle B=QTZ^{*}}$, где ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle Z}$ — унитарны, а ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ — треугольные. Обобщённое разложение Шура иногда называется также QZ-разложением.

Обобщённые собственные значения ${\displaystyle \lambda }$, решающие задачу обобщённых значений ${\displaystyle Ax=\lambda Bx}$ (где ${\displaystyle x}$ — неизвестный ненулевой вектор), могут быть вычислены как отношение диагональных элементов ${\displaystyle S}$ к соответствующит элементам ${\displaystyle T}$. То есть, ${\displaystyle i}$-е обобщённое собственное значение ${\displaystyle \lambda _{i}}$ удовлетворяет равенству ${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii}}$.