Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Ромбическая мозаика
Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Ромбическая мозаика[1], кантующиеся блоки[2], обратимые кубы или кубическая решётка — мозаика одинаковых ромбов с углом 60° на евклидовой плоскости. Каждый ромб имеет два угла 60° и два 120°. Такие ромбы иногда называют диамондами. Множества из трёх ромбов соприкасаются вершинами с углом 120°, а множества из шести — вершинами с углом 60°.
Remove ads
Свойства
Суммиров вкратце
Перспектива
Ромбическую мозаику можно рассматривать как разделённую шестиугольную мозаику, в которой каждый шестиугольник разделён на три ромба, имеющих общую вершину в центре шестиугольника. Такое деление представляет правильную соединённую мозаику. Её можно рассматривать также как разделение четырёх шестиугольных мозаик, в которых шестиугольники разделены на 12 ромбов.
Диагонали ромба относятся как 1:√3. Ромбическая мозаика является двойственной тригексагональной мозаике или решётке кагоме. Как двойственная мозаика однородной мозаики она является одной из одиннадцати возможных мозаик Лавеса[англ.]*, и её вершинная конфигурация обозначается как [3.6.3.6][4].
Мозаика является также одним из 56 возможных изоэдральных замощений четырёхугольниками[5] и одной из восьми замощений плоскости, в которой любое ребро лежит на оси симметрии мозаики[6].
Можно вложить ромбическую мозаику в подмножество трёхмерной целочисленной решётки таким образом, что две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие точки решётки находятся на единичном расстоянии друг от друга. Более строго, когда число рёбер в кратчайшем пути между двумя вершинами мозаики равно расстоянию городских кварталов между соответствующих точек решётки. Таким образом, ромбическую мозаику можно рассматривать как пример бесконечного графа единичных расстояний и частичного куба[7].
Remove ads
Применение в искусстве
Суммиров вкратце
Перспектива
Ромбическую мозаику можно интерпретировать как изометрическую проекцию множества кубов двумя различными путями, которые представляют обратимые фигуры[англ.], связанные с кубом Некера[англ.]. Это явление известно как иллюзия «обратимых кубов»[8].
В ксилографиях Метаморфозы I[англ.], Метаморфозы II[англ.] и Метаморфозы III[англ.] Эшер использует эту интерпретацию мозаики как путь преобразования из двумерных в трёхмерные формы[9]. В другой его работе, Цикл (1938) , Эшер играет со внутренним противоречием между двухмерностью и трёхмерностью этой мозаики — на рисунке нарисованы здания, которые имеют большие кубические блоки в качестве архитектурных элементов и внутренний дворик наверху, замощённый ромбической мозаикой. Человеческие фигурки, спускающиеся из дворика вниз по кубам, становятся стилизованными и плоскими[10]. Эти работы используют только одну трёхмерную интерпретацию мозаики, но в картине Выпуклый и вогнутый[англ.] Эшер экспериментирует с обратимыми фигурами и включает изображение обратимых кубов на флаге[11].
Ромбическая мозаика используется также для паркета[12] и как плитка для пола или стен, иногда с изменением формы ромбов[13] Ромбический рисунок обнаруживается на древнем мозаичном полу в греческом Дилосе[14] и на итальянском полу 11-го столетия[15], хотя плитка в мозаике Сиенского собора более позднего производства[16]. Стёганый материал[англ.], известен с 1850-х годов как узор «кувыркающихся блоков», что выражает визуальный диссонанс, вызванный двоякой трёхмерной интерпретацией[2][15][17]. Этот узор имеет много других названий, например, небесная лестница и ящик Пандоры[17]. Считается, что этот узор использовался в качестве сигнала на подпольной железной дороге — когда рабы видели его повешенным на ограде, они собирали свои пожитки и скрывались[18]. В этих декоративных узорах могут использоваться ромбы различных цветов, но обычно используются три оттенка, более светлые ромбы с горизонтальными длинными диагоналями и более тёмные в других двух направлениях, что усиливает их эффект трёхмерности. Существует одно известное присутствие ромбической и тришестиугольной мозаик в английской геральдике[англ.] — на гербе армии Geal/e[19].
Remove ads
Топологически эквивалентные мозаики
Ромбическая мозаика иногда осуществляется с меньшей степенью симметрии. Например, следующие два варианта. Иногда эти варианты называются кубической мозаикой за иллюзию трёхмерных сложенных кубиков, видимых под углом.
 |
 |
Другие приложения
Ромбическую мозаику можно рассматривать как результат наложения двух различных шестиугольных мозаик, сдвинутых так, что вершины одной мозаики оказываются в центре шестиугольников другой мозаики. В таком виде ромбическая мозаика может быть использована для создания блочного клеточного автомата, в котором ячейками автомата являются ромбы мозаики, а блоками в чередующихся шагах автомата служат шестиугольники двух мозаик. В этом контексте автомат называется «полем Q*bert», по названию видеоигры Q*bert, в которой игровое поле выглядит как пирамида из кубов. Поле Q*bert можно использовать для поддержки универсальной системы путём имитации бильярдного компьютера[20].
В физике конденсированного состояния ромбическая мозаика известна как кубическая решётка или двойственная решётка кагоме. Она является одной из нескольких повторяющихся структур, использовавшихся для изучения модели Изинга и связанных систем взаимодействия спинов в двухатомных кристаллах[21], а также изучалась в теории перколяции[22].
Remove ads
Симметрия
Ромбическая мозаика имеет *632 симметрий, но вершины можно выкрасить в чередующиеся цвета, что приводит к *333 симметриям.
Связанные многогранники и мозаики
Суммиров вкратце
Перспектива
Ромбическая мозаика является двойственной тригексагональной мозаике, а потому принадлежит множеству мозаик, однородных двойственным. Она является также частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с группой симметрий Коксетера [n,3], которая начинается с куба, который можно рассматривать как ромбический шестигранник, а ромбами в нём служат квадраты. n-ый элемент этой последовательности имеет конфигурацию граней[англ.] V3.n.3.n.
Ромбическая мозаика является одним из многих способов замощения плоскости ромбами. Другие включают
- плоскую версию квадратного паркета (с параллельным переносом)
- мозаику, использованную в схеме жёсткого складывания Миура-ори (чередующиеся параллельные переносы и отражения)
- мозаику Пенроуза, которая использует два вида ромбов с острыми углами 36° и 72° апериодично, а также другие апериодичные мозаики
К ним примыкает и мозаика «Сфинкс», которая подобно ромбической мозаике базируется на шестиугольной мозаике.
Remove ads
См. также
Примечания
Литература
Литература для дополнительного чтения
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads