Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора^[1] — его использовали ещё в XIV веке в Индии^[2], а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение

1. Многочленом Тейлора функции ${\displaystyle f(x)}$ вещественной переменной ${\displaystyle x}$, дифференцируемой ${\displaystyle k}$ раз в точке ${\displaystyle a}$, называется конечная сумма

${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при ${\displaystyle x-a=h\to 0}$ верно ${\displaystyle f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)}$.

При записи суммы использованы обозначение ${\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)}$ и соглашение о произведении по пустому множеству: ${\displaystyle 0!=1}$, ${\displaystyle (x-a)^{0}=1}$.

2. Рядом Тейлора в точке ${\displaystyle a}$ функции ${\displaystyle f(x)}$ вещественной переменной ${\displaystyle x}$, бесконечно дифференцируемой в окрестности точки ${\displaystyle a}$, называется формальный степенной ряд

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)}$ с общим членом ${\displaystyle \varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\cdot (x-a)^{n}}$, зависящим от параметра ${\displaystyle a}$.

Другими словами, рядом Тейлора функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle a}$ называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена ${\displaystyle (x-a)}$:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots \,}$.^[3]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции ${\displaystyle f(x)}$ в окрестности точки ${\displaystyle a}$ не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки ${\displaystyle a}$.

3. Рядом Тейлора в точке ${\displaystyle a}$ функции ${\displaystyle f(z)}$ комплексной переменной ${\displaystyle z}$, удовлетворяющей в некоторой окрестности ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ точки ${\displaystyle a}$ условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}}$.

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса ${\displaystyle R>0}$, что в ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U} ряд сходится к функции ${\displaystyle f(z)}$.

4. В случае ${\displaystyle a=0}$ ряд

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}$

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция

1. Функция ${\displaystyle f(x)}$ вещественной переменной ${\displaystyle x}$ называется аналитической в точке ${\displaystyle x=a}$, если существуют такой радиус ${\displaystyle R>0}$ и такие коэффициенты ${\displaystyle c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,}$, ${\displaystyle k=0,1,2,\dots \,}$, что ${\displaystyle f(x)}$ может быть представлена в виде сходящегося на интервале ${\displaystyle (a-R;a+R)}$ степенного ряда: ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,}$, то есть ${\displaystyle \forall x\in (a-R;a+R)}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)}$.

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}}$ на любом компактном подмножестве ${\displaystyle K}$ области сходимости ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|<R\}} допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в ${\displaystyle k}$-ю производную функции ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}}$ подставить ${\displaystyle z=a}$, то получится ${\displaystyle {c_{k}}\cdot k!}$.

Таким образом, для аналитической в точке ${\displaystyle a}$ функции ${\displaystyle f(z)}$ для некоторого ${\displaystyle R>0}$ всюду в ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C}$ :|z-z_{0}|<R\}} является верным представление ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}}$.

Следствие. Функция ${\displaystyle f(x)}$ вещественной переменной ${\displaystyle x}$ является аналитической в точке ${\displaystyle a}$ тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром ${\displaystyle a}$ на некотором открытом интервале, содержащем точку ${\displaystyle a}$.

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке ${\displaystyle a}$ функции ${\displaystyle f(x)}$ вещественного переменного ${\displaystyle x}$ её ряд Тейлора ${\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$ сходиться к ${\displaystyle f(x)}$ всюду на каком-нибудь интервале ${\displaystyle (a-R;a+R)}$, то есть представима ли ${\displaystyle f(x)}$ этим рядом?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности ${\displaystyle a}$.

Примеры. Функции вещественной переменной ${\displaystyle f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}$, ${\displaystyle f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,}$, ${\displaystyle f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}$ являются бесконечно дифференцируемыми в точке ${\displaystyle x=0}$, причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром ${\displaystyle a=0}$ тождественно равны нулю. Однако, для любого ${\displaystyle R>0}$ в окрестности ${\displaystyle (-R;+R)}$ точки ${\displaystyle a=0}$ найдутся точки, в которых функции отличны от ${\displaystyle 0}$. Таким образом, эти функции не являются в точке ${\displaystyle a=0}$ аналитическими.

Доказательство

Доказательство проведём для функции ${\displaystyle f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}$, предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция ${\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$, является аналитической функцией комплексной переменной для всех ${\displaystyle z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}}$.

Для ${\displaystyle z\neq 0}$ очевидно, что ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)}$.

Функция ${\displaystyle f(x)}$ для ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ — это «исправленная» функция ${\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$, дополненная пределами слева ${\displaystyle \lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0}$ и справа ${\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0}$ в точке ${\displaystyle x=0}$.

Найдём производную функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x=0}$. По определению: ${\displaystyle f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}}$.

Поскольку для ${\displaystyle x\in (0;1)}$ выполняется ${\displaystyle 0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}}$, то докажем, что для произвольного ${\displaystyle \alpha >0}$ верно ${\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0}$.

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

${\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0}$ не приводит к результату.

Выполним замену переменной: ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=t}$:

${\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t}}}}$.

Пусть ${\displaystyle k=\lceil \alpha \rceil }$. Применяя правило Лопиталя ${\displaystyle k}$ раз, в числителе получим либо (при ${\displaystyle \alpha =k}$) константу ${\displaystyle k!}$, либо (при ${\displaystyle \alpha <k}$) бесконечно малую ${\displaystyle \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}$:

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}{e^{t}}}=0}$.

Таким образом,

${\displaystyle f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0}$.

Найдём (для ${\displaystyle x\neq 0}$) несколько начальных производных функции ${\displaystyle f(x)}$:

${\displaystyle f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3}}}}$

${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f(x)}{x^{3}}}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}$

${\displaystyle f'''(x)=\left({2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+{\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)}$

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение ${\displaystyle f(x)}$ на сумму целых отрицательных степеней ${\displaystyle x}$. Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом, ${\displaystyle \lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0}$.

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x=0}$, обнаруживаем, что все производные в точке ${\displaystyle x=0}$ равны нулю.

Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса.

Область сходимости ряда Тейлора

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке ${\displaystyle a}$) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке ${\displaystyle a}$) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}}$ может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}}$ (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}$ определена для всех действительных чисел, кроме точки ${\displaystyle x=1}$, то ряд ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}}$ сходится только при условии ${\displaystyle |x|<1}$.

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

${\displaystyle R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|}$.

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию ${\displaystyle e^{x}}$. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен ${\displaystyle R=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _{k\to \infty }(k+1)=\infty }$. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси ${\displaystyle x}$ для любого параметра ${\displaystyle a}$.

4. От параметра — точки разложения ${\displaystyle a}$ ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного ${\displaystyle a}$) в ряд Тейлора функцию ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}}$: ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}}$.

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента ${\displaystyle x}$, при любых значениях ${\displaystyle a}$ (кроме ${\displaystyle a=1}$) имеет один и тот же вид.

Действительно,

${\displaystyle {\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {x-a}{1-a}}\right)}}={\frac {1}{1-x}}}$.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством ${\displaystyle \left|{\frac {x-a}{1-a}}\right|<1}$. И теперь эта область зависит от ${\displaystyle a}$. Например, для ${\displaystyle a=0}$ ряд сходится при ${\displaystyle x\in (-1;1)}$. Для ${\displaystyle a=0{,}5}$ ряд сходится при ${\displaystyle x\in (0;1)}$.

Формула Тейлора

Предположим, что функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет все производные до ${\displaystyle n+1}$-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку ${\displaystyle x=a}$. Найдем многочлен ${\displaystyle {P_{n}}(x)}$ степени не выше ${\displaystyle n}$, значение которого в точке ${\displaystyle x=a}$ равняется значению функции ${\displaystyle f(x)}$ в этой точке, а значения его производных до ${\displaystyle n}$-го порядка включительно в точке ${\displaystyle x=a}$ равняются значениям соответствующих производных от функции ${\displaystyle f(x)}$ в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид ${\displaystyle {P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}}$, то есть это ${\displaystyle n}$-я частичная сумма ряда Тейлора функции ${\displaystyle f(x)}$. Разница между функцией ${\displaystyle f(x)}$ и многочленом ${\displaystyle {P_{n}}(x)}$ называется остаточным членом и обозначается ${\displaystyle {R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)}$. Формула ${\displaystyle f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)}$ называется формулой Тейлора^[4]. Остаточный член дифференцируем ${\displaystyle n+1}$ раз в рассматриваемой окрестности точки ${\displaystyle a}$. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет ${\displaystyle n+1}$ производную на отрезке с концами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle x}$, то для произвольного положительного числа ${\displaystyle p}$ найдётся точка ${\displaystyle \xi }$, лежащая между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle x}$, такая, что ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).}$

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

${\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1}$

В форме Коши:

${\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1}$

В интегральной форме:

${\displaystyle R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt}$

Вывод

Методом интегрирования по частям получим ${\displaystyle {\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(x-t)}^{n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(x-t)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(x-a)}^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d}t-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}=f(x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}\end{array}}}$

откуда

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}+{R_{n}}(x)}$

Ослабим предположения:

• Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет ${\displaystyle n-1}$ производную в некоторой окрестности точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle n}$-ю производную в самой точке ${\displaystyle a}$, тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

${\displaystyle R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]}$

Вывод

Поскольку ${\displaystyle {R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0}$, то предел отношения ${\displaystyle {\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}}$ при ${\displaystyle x}$, стремящемся к ${\displaystyle a}$, может быть найден по правилу Лопиталя: ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)''}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(x-a)}^{n}}\right)}^{(n)}}}={\frac {{R_{n}}{{(a)}^{(n)}}}{n!}}=0}$

Поскольку исходный предел равен нулю, это значит, что остаточный член ${\displaystyle R_{n}(x)}$ является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем ${\displaystyle (x-a)^{n}}$, при ${\displaystyle x\to a}$. А это и есть определение о-малого.

Критерий аналитичности функции

Основной источник: ^[5]

Предположим, что некоторую функцию ${\displaystyle f(x)}$ нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке ${\displaystyle x=a}$. Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке ${\displaystyle a}$, и её ряд Тейлора с параметром ${\displaystyle a}$ может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка ${\displaystyle x=a}$, потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции ${\displaystyle f(x)}$ только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку ${\displaystyle a}$. Пусть ряд Тейлора с параметром ${\displaystyle a}$ такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех ${\displaystyle x}$ из окрестности ${\displaystyle a}$ по формуле Тейлора можно записать ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)}$, где ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}(x)}$ — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция ${\displaystyle f(x)}$ является аналитической в точке ${\displaystyle a}$ тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки ${\displaystyle a}$ существует непрерывная область ${\displaystyle X}$ такая, что для всех ${\displaystyle x\in X}$ остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0}$.

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию ${\displaystyle e^{x}}$. Её ряд Тейлора сходится на всей оси ${\displaystyle x}$ для любых параметров ${\displaystyle a}$. Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках ${\displaystyle a}$.

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид ${\displaystyle {R_{n}}(x)={\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}}$, где ${\displaystyle \xi _{n}}$ — некоторое число, заключенное между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle a}$ (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}=0}$

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом ${\displaystyle M}$

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle a}$.

Ряды Маклорена некоторых функций

• Экспонента: ${\displaystyle \displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} .}$
• Натуральный логарифм («ряд Меркатора»): ${\displaystyle \displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}}$ для всех ${\displaystyle -1<x\leq 1.}$
• Биномиальное разложение: ${\displaystyle \displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ и всех комплексных ${\displaystyle \alpha ,}$ где ${\displaystyle \displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}$ — обобщённые биномиальные коэффициенты.
  • Квадратный корень^[6]: ${\displaystyle \displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1\cdot 1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}(2n-1)(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)(2n-1)}}x^{n}}$ для всех ${\displaystyle |x|\leq 1.}$
  • Обратный квадратный корень^[6]: ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}x^{n}}$ для всех ${\displaystyle -1<x\leq 1.}$
  • Геометрические ряды^[англ.]*:
    • ${\displaystyle {\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }x^{n}}$ для всех ${\displaystyle |x|<1.}$
    • ${\displaystyle {\dfrac {1}{(1-x)^{2}}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}}$ для всех ${\displaystyle |x|<1.}$
    • ${\displaystyle {\dfrac {1}{(1-x)^{3}}}=1+3x+6x^{2}+10x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}}$ для всех ${\displaystyle |x|<1.}$
    • Конечный геометрический ряд: ${\displaystyle \displaystyle {\dfrac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{m}x^{n}}$ для всех ${\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}.}$
• Тригонометрические функции^[6][7]:
  • Синус: ${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .}$
  • Косинус: ${\displaystyle \displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .}$
  • Тангенс: ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {17}{315}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},}$ где ${\displaystyle B_{2n}}$ — числа Бернулли.
  • Котангенс: ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {ctg} \ x=x^{-1}-{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}-{\tfrac {2}{945}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}$ для всех ${\displaystyle 0<|x|<\pi ,}$ где ${\displaystyle B_{2n}}$ — числа Бернулли.
  • Секанс: ${\displaystyle \displaystyle \sec x=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},}$ где ${\displaystyle E_{2n}}$ — числа Эйлера.
  • Косеканс: ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {cosec} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}$ для всех ${\displaystyle 0<|x|<\pi ,}$ где ${\displaystyle B_{2n}}$ — числа Бернулли.
• Обратные тригонометрические функции^[6][8]:
  • Арксинус: ${\displaystyle \arcsin x=x+{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|\leq 1}$^[9].
  • Арккосинус: ${\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|\leq 1.}$
  • Арктангенс: ${\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|\leq 1.}$
  • Арккотангенс: ${\displaystyle \operatorname {arcctg} x={\pi \over 2}-\operatorname {arctg} x={\pi \over 2}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|\leq 1.}$
• Гиперболические функции^[6][10]:
  • Гиперболический синус: ${\displaystyle \operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .}$
  • Гиперболический косинус: ${\displaystyle \operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .}$
  • Гиперболический тангенс: ${\displaystyle \operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.}$
  • Гиперболический котангенс: ${\displaystyle \operatorname {cth} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}$ для всех ${\displaystyle 0<|x|<\pi .}$
  • Гиперболический секанс: ${\displaystyle \operatorname {sech} x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}-{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.}$
  • Гиперболический косеканс: ${\displaystyle \operatorname {cosech} x=x^{-1}-{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}-{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}$ для всех ${\displaystyle 0<|x|<\pi .}$
• Обратные гиперболические функции^[6][11]:
  • Гиперболический арксинус: ${\displaystyle \operatorname {arsh} x=x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|\leq 1.}$
  • Гиперболический арктангенс: ${\displaystyle \operatorname {arth} x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{5}}x^{5}+{\tfrac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|<1.}$
• W-функция Ламберта: ${\displaystyle W_{0}(x)=x-x^{2}+{\dfrac {3x^{3}}{2}}-{\dfrac {8x^{4}}{3}}+{\dfrac {125x^{5}}{24}}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n},|x|\leq 1/e.}$
• Другие функции:
  • ${\displaystyle {\frac {e^{x}}{1-x}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lfloor en!\rfloor }{n!}}x^{n}}$^[12]

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция ${\displaystyle f(x,y)}$ имеет непрерывные производные до ${\displaystyle (n+1)}$-го порядка включительно в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. Введём дифференциальный оператор

${\displaystyle \mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {\partial }{\partial x}}+(y-y_{0}){\dfrac {\partial }{\partial y}}}$.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции ${\displaystyle f(x,y)}$ по степеням ${\displaystyle (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}}$ для ${\displaystyle p+q\leq n}$ в окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ будет иметь вид

${\displaystyle f(x,y)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(x_{0},y_{0})}{k!}}+R_{n}(x,y),}$

где ${\displaystyle R_{n}(x,y)}$ — остаточный член в форме Лагранжа:

${\displaystyle R_{n}(x,y)={\dfrac {\mathrm {T} ^{(n+1)}f(\xi ,\zeta )}{(n+1)!}},\ \xi \in [x_{0},x],\ \zeta \in [y_{0},y]}$

Следует иметь в виду, что операторы ${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial x}}}$ и ${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial y}}}$ в ${\displaystyle \mathrm {T} ^{k}}$ действуют только на функцию ${\displaystyle f(x,y)}$, но не на ${\displaystyle (x-x_{0})}$ и/или ${\displaystyle (y-y_{0})}$.

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе ${\displaystyle \mathrm {T} }$.

В случае функции одной переменной ${\displaystyle \mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,}$.

Формула Тейлора многих переменных

Для получения формулы Тейлора функции ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})}$, которая в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ имеет непрерывные производные до ${\displaystyle (m+1)}$-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

${\displaystyle \mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1}}}+(x_{2}-a_{2}){\dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.}$

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням ${\displaystyle (x_{i}-a_{i})^{k_{i}}}$ в окрестности точки ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$ имеет вид

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n}),}$

где ${\displaystyle R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n})}$ — остаточный член порядка ${\displaystyle (m+1)}$.

Для функции ${\displaystyle n}$ переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$, ряд Тейлора имеет вид:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i_{1}=1}^{n}\sum \limits _{i_{2}=1}^{n}...\sum \limits _{i_{k}=1}^{n}{\frac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{i_{1}}\partial x_{i_{2}}...\partial x_{i_{k}}}}(x_{i_{1}}-a_{1})(x_{i_{2}}-a_{2})...(x_{i_{n}}-a_{n})}$.

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\overbrace {\sum \limits _{k_{1}=0}\sum \limits _{k_{2}=0}...\sum \limits _{k_{n}=0}} ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=k}{\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{\dfrac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{1}^{k_{1}}\partial x_{2}^{k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}}$.

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ в окрестности точки ${\displaystyle (0,0,0)}$ до второго порядка малости. Оператор ${\displaystyle \mathrm {T} }$ будет иметь вид

${\displaystyle \mathrm {T} =x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+y{\dfrac {\partial }{\partial y}}+z{\dfrac {\partial }{\partial z}}.}$

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

${\displaystyle f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!}}+R_{2}(x,y,z)=}$

${\displaystyle =\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);}$

Учитывая, что

${\displaystyle T^{2}=x^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+y^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+2xy{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}+2xz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial z}}+2yz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y\partial z}},}$

получим

${\displaystyle f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial y}}+z{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial z}}+{\frac {x^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2}}}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+}$

${\displaystyle +xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).}$

Например, при ${\displaystyle f(x,y,z)=e^{x+y+z}}$,

${\displaystyle f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).}$