Сферическая оболочка

Обзорные статьи: Выпуклый слой и Шар

Не следует путать с шаровым слоем и полноторием.

Сфери́ческий слой^[1] — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия кольца; область, заключённая между двумя концентрическими сферами (в двумерном пространстве — окружностями, получаем кольцо) различных радиусов^[2][3][4].

Сферический слой в трёхмерном пространстве с внутренним радиусом ${\displaystyle r}$ и внешним радиусом ${\displaystyle R}$. Справа: две половины слоя

Устаревшие синонимы: сферическая оболочка^[5]; шаровой слой^[6]; шаровое кольцо^[7].

Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферой^[8].

Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слоя^[4].

Определение сферического слоя

Сферический слой — точечное множество ${\displaystyle S}$ евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}(w)}$ размерности ${\displaystyle n}$, которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров (в двумерном пространстве — кругов, получаем кольцо) с центром в точке ${\displaystyle a}$, где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шар^[4]:

${\displaystyle S=B(a,\,R)\setminus {\bar {B}}(a,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R}$,

или сразу как следующее обобщённое кольцо (в двумерном пространстве просто кольцо) с центром в начале координат^[9][10]:

${\displaystyle S=\{z\in \mathbb {E} ^{n}\colon \,r<|w|<R,\,0<r<R\}}$.

Пространство может быть комплексным, вещественным или их комбинацией.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}(w)=\mathbb {C} \times \mathbb {R} (z,\,u)}$ сферический слой ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить следующей формулой^[9]:

${\displaystyle S=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} \colon \,r^{2}<|z|^{2}+u^{2}<R^{2}\}.}$

В случае трёхмерного вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}(x,\,y,\,z)}$ сферический слой ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить формулой

${\displaystyle S=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,r^{2}<x^{2}+y^{2}+z^{2}<R^{2}\},}$

причём граница этого сферического слоя состоит из двух следующих сфер^[7]:

${\displaystyle S_{r}=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\},}$

${\displaystyle S_{R}=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\}.}$

Объём трёхмерного сферического слоя

Объём сферического слоя представляет собой разность объёмов областей евклидова пространства, заключённых внутри внешней и внутри внутренней сферы. В случае трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ объём сферического слоя

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}-{\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi (R^{3}-r^{3})}$,

где ${\displaystyle R}$ — радиус внешней сферы, ${\displaystyle r}$ — радиус внутренней сферы^[8].

Случай тонкостенной сферы («Арбузная корка»). Имеется трёхмерная тонкостенная сфера с внутренним радиусом ${\displaystyle r}$, внешним радиусом ${\displaystyle R}$ и толщиной слоя ${\displaystyle \Delta r=R-r}$. Если ${\displaystyle \Delta r}$ очень мало, то есть ${\displaystyle \Delta r\ll r}$, то объём такой тонкостенной сферы приближённо равен ${\displaystyle 4\pi r^{2}\Delta r}$ или ${\displaystyle 4\pi R^{2}\Delta r}$. Другими словами, объём тонкостенной сферы приближённо равен произведению площади её внутренней или внешней сферы на толщину слоя^[3][8].

Доказательство. Пусть ${\displaystyle R=r+\Delta r}$ (случай ${\displaystyle r=R-\Delta r}$ аналогичен) и выпишем с этой заменой величину объёма тонкостенной сферы, получим^[8]:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi ((r+\Delta r)^{3}-r^{3})={\frac {4}{3}}\pi (r^{3}+3r^{2}\Delta r+3r(\Delta r)^{2}+(\Delta r)^{3}-r^{3})=}$

${\displaystyle ={\frac {4}{3}}\pi (3r^{2}\Delta r+3r(\Delta r)^{2}+(\Delta r)^{3})\approx 4\pi r^{2}\Delta r}$.

Примеры использования тонкостенной сферы

Пример 1. Толщина стенки ${\displaystyle h}$ резинового детского мяча радиуса ${\displaystyle R=25}$ см, плавающего на поверхности воды, причём под водой находится ${\displaystyle 5}$ % его объёма, плотность резины ${\displaystyle \rho =1{,}1}$ г/см${\displaystyle ^{3}}$, а плотность воды ${\displaystyle \rho _{0}=1}$ г/см${\displaystyle ^{3}}$, равна ${\displaystyle {\frac {\rho _{0}R}{60\rho }}\approx 4}$ мм^[3].

Вывод формулы

Действительно, по закону Архимеда, на тело, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила, численно равная весу объёма жидкости, вытесненного телом. Эта выталкивающая сила уравновешивает вес мяча, приравняем их. Выталкивающая сила равна

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {1}{20}}{\frac {4}{3}}\pi R^{3}g}$,

вес мяча равен

${\displaystyle \rho 4\pi R^{2}hg}$,

где ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения, поэтому толщина стенки мяча равна

${\displaystyle h={\frac {\rho _{0}4\pi R^{3}g}{20\cdot 3\rho 4\pi R^{2}g}}={\frac {\rho _{0}R}{60\rho }}\approx 4}$ мм^[3].

Пример 2 (МФТИ, 1991). Масса ${\displaystyle \,m_{\text{Г}}}$ гелия в лопнувшем при давлении ${\displaystyle p=1{,}1}$ атм резиновом шарике массой ${\displaystyle m=2}$ г, который надувался при температуре ${\displaystyle t=17}$ °C, причём резиновая плёнка рвётся при толщине ${\displaystyle \Delta =2\cdot 10^{-3}}$ см, плотность резины ${\displaystyle \rho =1{,}1}$ г/см${\displaystyle ^{3}}$, молярная масса гелия ${\displaystyle \mu =4}$ г/моль, универсальная газовая постоянная ${\displaystyle R=8{,}31}$ Дж/(моль·K), равна ${\displaystyle {\frac {1}{6{\sqrt {\pi }}}}{\frac {\mu p}{RT}}\left({\sqrt {\frac {m}{\rho \Delta }}}\right)^{3}\approx 0{,}47}$ г^[3].

Вывод формулы

Действительно, рассмотрим уравнение состояния идеального газа для данного примера

${\displaystyle pV={\frac {m_{\text{Г}}}{\mu }}RT}$,

где ${\displaystyle V}$ — объём газа, ${\displaystyle T=t+273{,}15}$ К — термодинамическая температура. Сразу получаем выражение для искомой величины

${\displaystyle m_{\text{Г}}={\frac {\mu pV}{RT}}}$,

где ${\displaystyle V}$ — пока неизвестная величина. Объём газа

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$,

где ${\displaystyle r}$ — радиус шарика, который найдём из выражения для массы шарика ${\displaystyle m=\rho \Delta 4\pi r^{2}}$, имеем: ${\displaystyle r={\sqrt {\frac {m}{\rho \Delta 4\pi }}}}$. Собирая всё вместе, окончательно получаем и проводим расчёты в системе СИ^[3]:

${\displaystyle m_{\text{Г}}={\frac {1}{6{\sqrt {\pi }}}}{\frac {\mu p}{RT}}\left({\sqrt {\frac {m}{\rho \Delta }}}\right)^{3}\approx 0{,}47}$ г.

Пример 3 (МФТИ, 1997). Толщина ${\displaystyle h}$ слоя озона (O₃), если бы он собрался у поверхности Венеры, имея температуру и давление, равные температуре и давлению атмосферы у поверхности Венеры, причём его масса в атмосфере составляет ${\displaystyle \alpha =10^{-5}}$ % от массы всей атмосферы, у поверхности Венеры ускорение свободного падения ${\displaystyle g=8,2}$ м/с², а температура ${\displaystyle T=800}$ K, молярная масса озона ${\displaystyle \mu =48}$ г/моль, универсальная газовая постоянная ${\displaystyle R=8{,}31}$ Дж/(моль·K), равна ${\displaystyle {\frac {\alpha RT}{\mu g}}\approx 1{,}7}$ мм^[3].

Вывод формулы

Действительно, рассмотрим уравнение состояния идеального газа для данного примера

${\displaystyle pV={\frac {\alpha M}{\mu }}RT}$,

где ${\displaystyle p}$ — давление на поверхности Венеры, ${\displaystyle V}$ — объём слоя озона, ${\displaystyle M}$ — масса атмосферы Венеры, ${\displaystyle \mu =48}$ г/моль — молярная масса озона. Пусть ${\displaystyle S}$ — площадь поверхности Венеры, тогда

${\displaystyle p\cdot V={\frac {Mg}{S}}\cdot Sh=Mgh}$,

и окончательно получаем и проводим расчёты в системе СИ^[3]:

${\displaystyle h={\frac {\alpha RT}{\mu g}}\approx 1{,}7}$ мм.

Пример 4. Момент инерции тонкостенной сферы. Для оси, проходящей через центр тонкостенной сферы массой ${\displaystyle m}$ и радиусом ${\displaystyle r}$, момент равен ${\displaystyle {\frac {2}{3}}mr^{2}}$^[11].

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

${\displaystyle J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.}$

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

${\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^{2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}}$

Примеры использования сферического слоя любой толщины

Пример 5. Потенциал однородного сферического слоя

В силу радиальности и сферической симметрии из закона Гаусса следует, что поле вне сферического слоя во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сферического слоя — нуль^[12].