Теорема косинусов

Эта статья — о теореме планиметрии. О теоремах для сферических треугольников см. Теоремы косинусов (сферическая геометрия).

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Формулировка

Для плоского треугольника со сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ и углом ${\displaystyle \alpha }$, противолежащим стороне ${\displaystyle a}$, справедливо соотношение:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha .}$

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.^[1]

Доказательства

Классическое доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

${\displaystyle AD=b\cos \alpha }$,

откуда

${\displaystyle DB=c-b\cos \alpha }$.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

${\displaystyle h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)}$

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

${\displaystyle b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}}$

или

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }$.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$.

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, можно составить равенство:
${\displaystyle a^{2}=(b\cos {\alpha }-c)^{2}+b^{2}\sin ^{2}{\alpha }}$
${\displaystyle a^{2}=b^{2}\cos ^{2}{\alpha }-2bc\cos {\alpha }+c^{2}+b^{2}\sin ^{2}{\alpha }}$
${\displaystyle a^{2}=b^{2}(\cos ^{2}{\alpha }+\sin ^{2}{\alpha })+c^{2}-2bc\cos {\alpha }}$
Так как
${\displaystyle \cos ^{2}{\alpha }+\sin ^{2}{\alpha }=1}$ (основное тригонометрическое тождество), то
${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\alpha }}$

Заметим, что для прямого угла ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {\pi }{2}}}$, теорема также работает (поскольку ${\displaystyle \cos {\tfrac {\pi }{2}}=0}$, получаем ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$ — теорема Пифагора). Однако в приведённом доказательстве применялась теорема Пифагора, и доказательство её через теорему косинусов приводит к «порочному кругу».

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков ${\displaystyle AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\cdot AC\cdot AB}$

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha }$
где a, b, c -- длины соответствующих векторов

Следствия

• Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

  ${\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$

В частности,

• Если ${\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}>0}$, угол α — острый
• Если ${\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}=0}$, угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора)
• Если ${\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}<0}$, угол α — тупой

• Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде^[2]:

${\displaystyle a^{2}=(b+c)^{2}-4\cdot b\cdot c\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)}$,

${\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4\cdot b\cdot c\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)}$.

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы - квадрата разности) двух членов на квадратный трёхчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо ещё воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

${\displaystyle 1+\cos \alpha =2\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)}$,

${\displaystyle 1-\cos \alpha =2\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)}$.

Вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

• Находя из двух последних формул в явном виде ${\displaystyle \cos(\alpha /2)}$ и ${\displaystyle \sin(\alpha /2)}$, получим известные формулы геометрии^[2]:

  ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-a)}{bc}}}}$, ${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}}$, ${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}}$, где p — полупериметр.

• Наконец, используя правые части формул для ${\displaystyle \cos(\alpha /2)}$ и ${\displaystyle \sin(\alpha /2)}$ и известную формулу площади треугольника: ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha }$, а также известную формулу синуса двойного угла ${\displaystyle \sin \alpha =2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)}$ после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$, где p — полупериметр.

Для других углов

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

${\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$

${\displaystyle b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }$

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}$

История

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в предложениях 12 и 13 книги II «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.^[3]:105 Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения

• Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
• Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
• Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):

  ${\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.}$

Для евклидовых нормированных пространств

Пусть в евклидовом пространстве ${\displaystyle E}$ задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть ${\displaystyle \left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ={\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}})}}}$. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема. ${\displaystyle \left\Vert {\vec {a}}-{\vec {b}}\right\Vert ^{2}=\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ^{2}+\left\Vert {\vec {b}}\right\Vert ^{2}-2({\vec {a}},{\vec {b}})}$

Для четырёхугольников

Возводя в квадрат тождество ${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}}$ можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B-2ac\cos \omega -2bc\cos \angle C}$, где ${\displaystyle \omega }$ — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos \angle C}$

Формула справедлива и для тетраэдра, под ${\displaystyle w}$ подразумевается угол между скрещивающимися рёбрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися рёбрами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle c}$ зная все рёбра тетраэдра:

${\displaystyle \cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac}$

Где ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle f}$ пары скрещивающихся рёбер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника

Четырёхугольник

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами ${\displaystyle \alpha ,\gamma }$ и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

${\displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )}$

• Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
• Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы

Основная статья: Симплекс § Свойства

${\displaystyle S_{i}S_{j}\cos \angle A={\frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\dots &d_{1(n+1)}^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\dots &d_{2(n+1)}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&\dots &d_{3(n+1)}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}}$

при этом следует зачеркнуть строку и столбец, где находится ${\displaystyle d_{ij}}$ или ${\displaystyle d_{ji}}$.

${\displaystyle \angle A}$ — угол между гранями ${\displaystyle S_{i}}$ и ${\displaystyle S_{j}}$, ${\displaystyle S_{i}}$ — грань, находящаяся против вершины i, а ${\displaystyle d_{ij}}$ — расстояние между вершинами i и j.

См. также

• Решение треугольников
• Скалярное произведение
• Соотношение Бретшнайдера
• Теорема косинусов для трёхгранного угла
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Сферическая теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции