Loading AI tools
множество нулей многочлена второй степени в трёхмерном пространстве (аффинная или проективная, необязательно вещественная) Из Википедии, свободной энциклопедии
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля. Является частным случаем квадрики.
Поверхность называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности .
Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность имеет уравнение , то — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси .
Кривая, задаваемая уравнением в плоскости , называется направляющей цилиндрической поверхности.
Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.
Поверхность называется конической поверхностью с вершиной в точке , если для любой точки этой поверхности прямая, проходящая через и , целиком принадлежит этой поверхности.
Функция называется однородной порядка , если выполняется следующее:
Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , где — однородная функция, то — коническая поверхность с вершиной в начале координат.
Если поверхность задана функцией , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то называется конической поверхностью второго порядка.
Поверхность называется поверхностью вращения вокруг оси , если для любой точки этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости с центром в и радиусом , целиком принадлежит этой поверхности.
Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением , то — поверхность вращения вокруг оси .
Эллипсоид: | Однополостной гиперболоид: | Двуполостной гиперболоид: | Эллиптический параболоид: | Гиперболический параболоид: |
---|---|---|---|---|
В случае, если , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.
Уравнение эллиптического параболоида имеет вид
Если , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину и фокус данной параболы.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью является эллипсом.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью или является параболой.
Уравнение гиперболического параболоида имеет вид
Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью является гиперболой.
Пересечение гиперболического параболоида с плоскостью или является параболой.
Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».
Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты можно найти, решив систему уравнений:
Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:
Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:
Если обозначить , то уравнение приобретает следующий вид:
Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:
Такие инварианты также иногда называют полуинвариантами или семи-инвариантами.
При параллельном переносе системы координат величины остаются неизменными. При этом:
Поверхность | Уравнение | Инварианты | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
Эллипсоид | ||||||
Мнимый эллипсоид | ||||||
Точка | ||||||
Однополостный гиперболоид | или | |||||
Двуполостный гиперболоид | ||||||
Конус | ||||||
Эллиптический параболоид | ||||||
Гиперболический параболоид | ||||||
Эллиптический цилиндр | ||||||
Мнимый эллиптический цилиндр | ||||||
Прямая (пара мнимых пересекающихся плоскостей) | ||||||
Гиперболический цилиндр | ||||||
Пара пересекающихся плоскостей | ||||||
Параболический цилиндр | ||||||
Пара параллельных плоскостей | ||||||
Пара мнимых параллельных плоскостей | ||||||
Плоскость |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.