U teoriji verovatnoće i statistici, binomna raspodela sa parametrima i je diskretna raspodela verovatnoće broja uspeha u sekvenci od nezavisniheksperimenata, svaki od kojih daje odgovor na da-ne pitanje, i svaki ima svoj bulovrezultat - uspeh/da/tačno/jedan (sa verovatnoćoḿ ) ili neuspeh/ne/lažno/nula (sa verovatnoćom q = 1 − ). Pojedinačni uspeh/neuspeh eksperimenta se takođe naziva Bernulijev pokušaj ili Bernulijev eksperiment, a sekvenca ishoda se naziva Bernulijev proces; za pojedinačni pokušaj, i.e., = 1, binomna distribucija je Bernulijeva raspodela. Binomna distribucija je osnova za popularni binomni teststatističkog značaja.
Кратке чињенице Notacija, Parametri ...
Binomna raspodela
Funkcija verovatnoće
Funkcija kumulativne raspodele
Notacija
Parametri
– broj pokušaja – verovatnoća uspeha za svaki pokušaj
Binomna distribucija se često koristi za modelovanje broja uspeha u uzorku veličine koji je izvučen sa zamenom iz populacije veličine . Ako se uzorkovanje vrši bez zamene, izvlačenja nisu nezavisna, pa je rezultirajuća raspodela hipergeometrijska, a ne binomna. Međutim, za mnogo veće od , binomna distribucija ostaje dobra aproksimacija i široko se koristi.
Funkcija verovatnoće
Generalno, ako randomna promenljiva X sledi binomnu distribuciju sa parametrima ∈ i ∈ [0,1], piše se X~. Verovatnoća da se dobije tačno uspeha u pokušaja je data funkcijom verovatnoće:
za =0,1,2,...,n, gde je
binomni koeficijent,[1] po kome je raspodela dobila ime. Formula se može razumeti na sledeći način. uspeha se javlja sa verovatnoćom i neuspeha se javlja sa verovatnoćom . Međutim, uspeha se može javiti bilo gde među pokušaja, i postoji različitih načina raspodeljivanja uspeha u nizu od pokušaja.
Pri stvaranju referentnih tabela za verovatnoću binomne distribucije, obično se tabela popunjava do /2 vrednosti. To je zato što se za , verovatnoća može izračunati njenim komplementom kao
Gledajući izraz kao funkciju od , postoji vrednosti koje je maksimiziraju. Stoga se vrednost može naći izračunavajući
i upoređujući tu vrednost sa 1. Uvek postoji ceo broj M koji zadovoljava
je monotono rastući za i monotono opadajući za , uz izuzetak slučaja gde je ceo broj. U tom slučaju, postoje dve vrednosti za koje je maksimalno: i . je najverovatniji ishod (mada još uvek može da bude sveukupno malo verovatan) Bernulijevih pokušaja i naziva se modus.[2][3][4][5]
Neki granični slučajevi zatvorenog oblika za funkciju kumulativne distribucije dati su u nastavku.
Pretpostavka je da se pristranim bacanjem novčića dobija glava sa verovatnoćom 0,3. Pitanje je: koja je verovatnoća postizanja 0, 1, ..., 6 glava posle šest bacanja?
Ako je , drugim rečima, X je binomno distribuirana randomna promenljiva, pri čemu je ukupan broj eksperimenata, a je verovatnoća svakog eksperimenta da proizvede uspešan rezultat, onda je očekivana vrednostX:[11]
Na primer, ako je = 100, i =1/4, onda je prosečan broj uspešnih rezultata 25.
Proof: Srednja vrednost, μ, se direktno izračunava po definiciji
Srednja vrednost se može izvesti iz jednačine gde su sve randomne promenljive obuhvaćene Bernulijevom raspodelom sa ( ako -ti eksperiment uspe, dok je inače ). Dobija se:
Zelen, M.; Severo, N. C. (1972), „26. Probability functions”, Ур.: Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, стр.925—995, ISBN978-0-486-61272-0
Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Dolciani Mathematical Expositions. 27. Mathematical Association of America. ISBN978-0-88385-333-7.
Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2014). Table of Integrals, Series, and Products (8th изд.). Academic Press. ISBN978-0-12-384933-5.
Grinshpan, A. Z. (2010), „Weighted inequalities and negative binomials”, Advances in Applied Mathematics, 45 (4): 564—606, doi:10.1016/j.aam.2010.04.004
Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (Third изд.). Addison-Wesley. стр.52—74. ISBN0-201-89683-4.
Singmaster, David (1974). „Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients”. Journal of the London Mathematical Society. 8 (3): 555—560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555.