Питагорина теорема

У математици, Питагорина теорема изражава везу која постоји између три странице правоуглог троугла у еуклидској геометрији. Ако су и катете, а хипотенуза правоуглог троугла, важи једнакост

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$

Питагорина теорема: Збир површина квадрата конструисаних над катетама ( и ) једнак је површини квадрата над хипотенузом ().

односно, исказано речима:

Површина квадрата конструисаног над хипотенузом правоуглог троугла једнака је збиру површина квадрата конструисаних над катетама тог троугла.

Теорема је добила име према старогрчком математичару Питагори, за кога се, традиционално, сматра да ју је открио и доказао,^[1] иако је данас извесно да је била позната много пре Питагоре.^[2][3]

Питагорина теорема је једна од основних и најзначајнијих математичких теорема. Препознатљива слика правоуглог троугла са конструисаним квадратима над све три странице, коришћена за визуелни приказ самог тврђења, послужила је као основа за генерисање фрактала који се назива Питагорино дрво.

Историја

Визуелни доказ Питагорине теореме за троугао чије су странице Питагорина тројка (3, 4, 5) из једног од најстаријих кинеских математичких текстова, 500–200 пне.

Историјски посматрано, откриће и разумевање Питагорине теореме је прошло кроз неколико етапа:

• алгебарско истраживање постојања Питагориних тројки,
• боље упознавање односа између страница правоуглог троугла, односно односа између суседних углова троугла, које је последица стицања све већих знања о равнима и површима и
• налажење великог броја различитих доказа теореме.

Древне цивилизације

Веза која постоји између страница троугла чије су дужине 3, 4 и 5 била је позната још Вавилонцима, 2000. п. н. е.^[4] а може се наћи и у чувеној кинеској књизи Девет књига о математичкој вештини за коју се претпоставља да је написана око 1100. п. н. е.^[5]

Чувена вавилонска глинена плочица која носи број 322 у колекцији Плимптона је таблица Питагориних тројки са 15 редова настала 1800. п. н. е. Стари Египћани су знали за четири Питагорине тројке, о чему сведочи папирус датиран у време владавине династије, око 2000. п. н. е. у коме је, између осталог, могуће наћи и релацију

${\displaystyle 1^{2}+\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}=\left(1{\frac {1}{4}}\right)^{2}\,}$.^[5]

Она је еквивалентна Питагориној тројки (3, 4, 5) ако се израз прошири да би се ослободио од разломака.

Питагорине тројке могу се наћи и у Сулвасутрама, светим песмама Хиндуса, из периода 5 — 4. век п. н. е, које говоре о начину добијања правих углова помоћу ужета са 3-4-5, односно 12-16-20, 15-20-25, 5-12-13, 15-36-39, 8-15-17 и 12-35-37 чворова везаних на једнаким растојањима. Коришћење конопца за одређивање правог угла имало је у давна времена своју практичну примену у нпр. парцелисању земљишта, а људи који су се тиме бавили називани су затезачима конопца (грч. , ).^[6] Међутим, према неким ауторима, мало је вероватно да су Египћани заиста користили уже са 12 чворова за одређивање правог угла, и нема очигледних доказа да су знали да је троугао са страницама (3, 4, 5) правоугли.^[7]

Питагора

Традиционално, откриће теореме се приписује Питагори, старогрчком филозофу и научнику, о коме се данас зна посредно, преко каснијих извора. Према њима, Питагора је рођен око 570. п. н. е. на острву Самос, вероватно је био Талесов ученик, а један део свог живота провео је путујући Египтом и Персијом, да би се, по повратку на родни Самос, сусрео са тиранском владавином Поликрата, што је, сматра се, био разлог да се пресели у Кротон где је основао чувену Питагорејску школу.^[8] Питагорејци су тврдили да је теорему открио управо Питагора, и да је, у знак захвалности, жртвовао боговима стотину бикова.^[9] Проблем са прецизним утврђивањем праве истине је последица чињенице да су Питагорејци преносили усменим путем стечена знања која су сматрана светим и строго су чувана. Поред тога, често су се нова открића приписивала великом учитељу, док је прави проналазач остајао непознат. У прилог томе стоји чињеница да се у исказу теореме који се појављује у Еуклидовим Елементима нигде не спомиње Питагорино име.^[10] Данас постоји неколико хипотеза:

• Питагора је преузео теорему од Вавилонаца, односно само је био посредник између знања која су долазила са Истока и Грка. Иако је, према античким изворима, Питагора посетио Египат и Вавилон, те информације нису поуздане.
• Питагора је формулисао и по први пут доказао теорему независно од вавилонских извора. Овај приступ је био широко прихваћен у древна времена.
• Питагора је за теорему чуо на својим путовањима, али је био први човек који је и доказао. Сасвим је јасно да ни Египћани ни Вавилонци нису ишли даље од свакодневне примене теореме у практичне сврхе. На пример, у Каирском папирусу, откривеном 1938. године, и дешифрованом 1962. године, налази се 40 математичких задатака од којих је девет решено употребом Питагорине теореме. Један од тих задатака гласи:

„Мердевине дугачке 10 лаката наслоњене су на зид тако да је њихово подножје удаљено 6 лаката од ивице зида. До које висине се пружају те мердевине?「

Међутим, иако се при решавању проблема користи теорема, нема покушаја да се она уопшти, нити да се докаже.^[11]

• Питагора није учествовао у открићу теореме, већ су први доказ нашли његови ученици.^[12]

Прво сачувано дело у коме се Питагора повезује са исказом теореме је Плутархов Етички зборник - Моралија, написан крајем првог или почетком другог века н. е. У њему се цитирају стихови из једног несачуваног Аполодоровог дела из другог века п. н. е. Према Плутарху,

када је Питагора открио тај чувени став,
због тога је понудио сјајну жртву волова.

Исте стихове наводи и Атенај из Неукратиса, у свом делу Гозба учених, почетком трећег века н. е.^[13]

Следбеници

Први писани доказ Питагорине теореме појављује се тек 150 година касније, у првој и шестој књизи Еуклидових Елемената, при чему је, према Проклу, доказ из шесте књиге једини оригинални Еуклидов доказ у Елементима, док је доказ из прве књиге приписан Еудоксу.^[10]

Око 250. п. н. е. Архимед апроксимира вредност броја пи користећи Питагорину теорему и уписане и описане полигоне у круг. У 2. веку п. н. е, Клаудије Птолемеј у свом Алмагесту доказује теорему:

„Производ дијагонала тетивног четвороугла једнак је збиру производа његових наспрамних ивица.「^[14]

Одавде се, у специјалном случају када је тетивни четвороугао у ствари правоугаоник, добија Питагорина теорема.

Херон из Александрије је касније^[15] доказао формулу којом се може израчунати површина произвољног троугла преко његових страница коришћењем пропорција. Данас се та формула доказује коришћењем Питагорине теореме.

У 3. веку н. е. Папос доказује проширену верзију Питагорине теореме која важи за произвољан троугао, а шест векова касније, Ал Харани даје доказ још једне генерализације која је примењива на произвољан троугао.

Формулација теореме

Визуелни доказ Питагорине теореме

Према теореми:

У било ком правоуглом троуглу, површина квадрата конструисаног над хипотенузом (страницом која се налази насупрот правог угла) је једнака збиру површина квадрата конструисаних над катетама (страницама које се сустичу у правом углу троугла).

Овај исказ се обично наводи у следећем облику:

Квадрат над хипотенузом једнак је збиру квадрата над катетама.

Уколико је са означена дужина хипотенузе, а са и дужине преостале две странице, теорема се може записати помоћу следеће једнакости:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$

или, ако се одатле изрази :

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.\,}$

Ако је хипотенуза позната, а треба одредити једну од катета, могуће је користити неку од следеће две једнакости (које се добијају из полазне једнакости, решавањем по одговарајућој непознатој):

${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}\,}$

или

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=a^{2}\,}$

Из наведених једнакости може се приметити да је веза између страница правоуглог троугла таква да, у случају да је једна од њих непознате дужине, може се одредити помоћу преостале две познате странице. Генерализација ове теореме, позната као косинусна теорема, омогућава израчунавање дужине треће странице произвољног троугла, уколико су познате дужине преостале две странице и величина угла које оне захватају, што је једна од поставки задатка који се назива решавање троугла. Уколико познате странице одређују прав угао, косинусна теорема се своди на Питагорину теорему.

Нееуклидске геометрије

Сферни троугао

Види још: Нееуклидске геометрије

У сферној геометрији, на јединичној сфери, за правоугли сферни троугао коме су дужине страница редом , и , Питагорина теорема има облик

${\displaystyle \cos a=\cos b\cdot \cos c.}$^[16]

Уколико је полупречник сфере дужине ${\displaystyle \scriptstyle R}$, једнакост постаје

${\displaystyle \cos {\frac {a}{R}}=\cos {\frac {b}{R}}\cdot \cos {\frac {c}{R}}.}$^[17]

У хиперболичкој равни представљеној Поенкареовим моделом диска, уколико је троугао правоугли са катетама , и хипотенузом , Питагорина теорема има облик

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cdot \cosh b,}$^[18]

при чему је хиперболички косинус дефинисан са

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}.}$

Хилбертови простори

Види још: Хилбертов простор

Уобичајена норма на реалном еуклидском простору ${\displaystyle \scriptstyle R^{k}}$ се уводи помоћу скаларног производа. Векторски простор са нормом уведеном помоћу скаларног производа се назива пред-Хилбертовим простором. Ако је пред-Хилбертов простор комплетан у односу на своју метрику, назива се Хилбертовим простором. Ово је увек случај у коначнодимензионим просторима какав је ${\displaystyle \scriptstyle R^{k}}$, али бесконачнодимензиони пред-Хилбертови простори не морају бити Хилбертови.

Уколико је у реалном простору ${\displaystyle \scriptstyle X}$ са скаларним производом (пред-Хилбертовом простору) уведена норма вектора са

${\displaystyle \left\|x\right\|={\sqrt {x\cdot x}}}$,

уз одговарајуће особине^[19], онда за ортогоналне векторе ${\displaystyle \scriptstyle x}$ и ${\displaystyle \scriptstyle y}$ Питагорина теорема добија облик

${\displaystyle \left\|x+y\right\|^{2}=\left\|x\right\|^{2}+\left\|y\right\|^{2}}$.^[20]

Докази

Питагорина теорема је вековима служила као инспирација за нове математичке доказе, које су проналазили и људи који нису били професионални математичари. У књизи Питагорино тврђење (енгл. ) Илише Скота Лумиса (енгл. ), изворно објављеној 1927. године, која је допуњена новим доказима 1940. године, могуће је наћи све познате доказе до њеног објављивања, укупно њих 371. Између осталих ту су наведени Питагорин и Еуклидов доказ, затим најкраћи и најдужи доказ који се приписују Лежандру, Птолемејев, Леонардов, Хајгенсов и Лајбницов доказ као и доказ Џејмса Гарфилда, из времена пре него што је постао председник САД.^[21]

Питагорин доказ

Иако постоје материјални докази да је веза између катета и хипотенузе правоуглог троугла била позната још древним цивилизацијама, оно што је одлучило да теорема понесе Питагорино име је чињеница да ју је он први доказао. Међутим, како у његово време није било адекватног материјала за записивање, стечена знања су се код питагорејаца преносила усменим путем, те не постоји поуздан извор на основу кога би са сигурношћу могло да се тврди како је изгледао оригинални Питагорин доказ. Еуклид је у својим Елементима дао два доказа теореме, најпре у првој књизи,^[22] доказ који се у потпуности заснива на односима површина, а затим и у шестој књизи,^[23] доказ који користи сличност и знатно је једноставнији. С обзиром да геометрија у време Питагоре није била довољно развијена, мало је вероватно да је он користио први доказ, а ако је користио други, онда он није био комплетан, пошто је потпуну теорију сразмерности дао тек Еудокс, који је живео два века после Питагоре. Са друге стране, врло је вероватно да је Питагора најпре доказао теорему у случају једнакокраког правоуглог троугла, пошто је тај доказ био познат још Хиндусима, те га је могао чути на својим путовањима по Медитерану. Да ли је доказао и општи случај није познато, али се претпоставља да га је разматрао. Традиционално му се приписује доказ општег случаја који је био познат још у древној Кини.^[21]

Еуклидови докази

У својим Елементима Еуклид доказује Питагорину теорему на два места, најпре у првој, а затим и у шестој књизи. Први доказ је прилично захтеван за праћење, и према Проклу, припада Еуклидовом претходнику Еудоксу, као и теорија пропорционалности изложена у петој књизи Елемената.^[21] Постоје различита тумачења зашто је Еуклид изабрао да у првој књизи теорему докаже на тежи начин, иако су у његово време били познати једноставнији докази. Са једне стране, већина тих доказа је подразумевала поделу правоуглог троугла на мање, сличне троуглове и коришћење особина пропорционалности за извођење одговарајуће једнакости, али оне су изложене тек у петој књизи, док је сличност обухваћена шестом књигом. Са друге стране, како су стари Грци све аритметичке операције интерпретирали кроз геометрију, врло је вероватно да се Еуклиду први доказ природно наметнуо – јер је посматрао Питагорину теорему као однос између површина. Према Проклу, други доказ је у потпуности Еуклидов, штавише, то је једини оригинални Еуклидов доказ у Елементима.^[21]

Доказ из прве књиге Еуклидових Елемената

Суштина првог доказа је да, ако су са , и означена темена правоуглог троугла са правим углом код темена , и ако се из тог темена спусти висина на хипотенузу која се продужи до наспрамне странице квадрата над хипотенузом, она ће поделити тај квадрат на два правоугаоника, чије ће површине бити једнаке површинама квадрата над ближом катетом.

За формалан доказ, најпре је потребно показати да важе следеће елементарне леме:

1. (СУС став према подударности троуглова) Ако су две странице једног троугла једнаке са две странице другог троугла, и ако су углови које захватају ти парови једнаких страница такође једнаки, онда су троуглови подударни.^[24]
2. Површина троугла је једнака половини површине било ког паралелограма конструисаног над двема страницама тог троугла.^[25]
3. Површина било ког правоугаоника једнака је производу две суседне странице.
4. Површина било ког квадрата једнака је производу две његове странице (следи из претходне леме).

Интуитивна идеја доказа је да се квадрати над катетама трансформишу у паралелограме исте површине, који се затим новом трансформацијом уклапају у правоугаонике на које је подељен квадрат над хипотенузом.^[26]

Слика са уцртаним новим дужима

1. Нека је правоугли троугао са правим углом код темена .
2. На свакој од страница , и нацртани су квадрати , и респективно.
3. Из тачке спуштена је нормала на страницу која је продужена до пресека са страницом и уједно је паралелна са и . Њени пресеци са страницама и су редом означени са и .
4. Спајањем тачака и , односно и , добијају се троуглови и .
5. Углови и су прави, па су тачке , , и колинеарне. Слично се закључује за тачке , и .
6. Углови и су прави, што значи да је угао једнак углу , пошто су оба једнака збиру правог угла и угла .
7. Како је страница једнака страници , а једнака , троугао је подударан са троуглом .
8. Како су тачке , и колинеарне, правоугаоник има двоструко већу површину од троугла .
9. Како су тачке , и колинеарне, квадрат има двоструко већу површину од троугла .
10. Из претходног следи да правоугаоник има исту површину као квадрат , која је једнака ².
11. Слично, могуће је показати да правоугаоник мора да има исту површину као квадрат која износи ².
12. Сабирањем добијених једнакости биће ² + ² =
13. Како је , важи
14. Одатле је ² + ² = ², пошто је квадрат.

Пример генерализације Питагорине теореме

Доказ из шесте књиге Еуклидових Елемената

Могуће је да је Еуклид био свестан тежине овог доказа, и да је због тога у шестој књизи доказао мало општији случај Питагорине теореме користећи сличност. Према том тврђењу, код правоуглог троугла, геометријски лик (без ограничења да то мора бити квадрат) конструисан над хипотенузом једнак је по површини збиру површина сличних и слично конструисаних геометријских ликова над катетама.^[23]

1. Нека је правоугли троугао са правим углом код темена .
2. Аналогно претходном доказу, потребно је спустити нормалу из темена правог угла на хипотенузу. Подножје нормале означено је са .
3. Како је нормално на и нормално на , углови и су једнаки као углови са нормалним крацима.
4. Последица је да су троуглови и међусобно слични, и слични полазном троуглу , па су њихове одговарајуће странице пропорционалне.
5. Из једнакости и , унакрсним множењем добија се да важи ²= и ²=.
6. Сабирањем добијених једнакости биће ²+²=
7. Како је , важи ²+²=².

Поред наведених тврђења, Еуклид је у првој књизи Елемената доказао и тврђење у супротном смеру од Питагорине теореме, према коме је правоугли троугао једини троугао код кога важи једнакост ²+²=².^[27]

Гарфилдов доказ

Слика уз Гарфилдов доказ Питагорине теореме

Још један посебно значајан геометријски доказ, у коме се не користе квадрати над страницама, открио је негде око 1876. године Џејмс Гарфилд, који је касније постао двадесети председник САД. Према Илиши Лумису, доказ је био последица једне Гарфилдове математичке расправе са осталим члановима Конгреса.^[21]

Идеја доказа је да се на полазни троугао надовеже још један њему подударан, тако да се краћа катета првог и дужа катета другог налазе на једној правој и да полазе из истог темена. Затим се спајањем преостала два темена троуглова која припадају хипотенузама добија правоугли трапез чије су основице дужине и , а висина дужине . Са једне стране, његова површина се може добити као производ полузбира основица и висине, а са друге као збир површина три троугла на које је подељен, па важи:

${\displaystyle {\frac {(a+b)^{2}}{2}}={\frac {ab}{2}}+{\frac {ab}{2}}+{\frac {c^{2}}{2}}\,\,\Rightarrow \,\,a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Леонардов доказ

Леонардов доказ Питагорине теореме

Идеја Леонардовог доказа Питагорине теореме

Следећи доказ се приписује чувеном италијанском уметнику и научнику Леонарду да Винчију,^[28] а ослања се на симетрију и ротацију.^[29]

1. Нека је правоугли троугао са правим углом код темена .
2. Над сваком од страница , и конструисани су квадрати , и респективно.
3. Над страницом конструисан је троугао који је подударан троуглу , али је у односу на њега заротиран за 180° (степени).
4. Шестоугао је преполовљен својом дијагоналом .
5. Спајањем тачака и добија се шестоугао , који је преполовљен својом дијагоналом . Троуглови и су симетрични у односу на дијагоналу , што за последицу има да су тачке , и колинеарне.
6. Ако се четвороугао заротира око тачке за 90° (у смеру кретања казаљке на сату на приложеној слици), поклопиће се са четвороуглом , што значи да они имају једнаке површине. То је последица чињенице да су углови и прави, што значи да је угао једнак углу , пошто су оба једнака збиру правог угла и угла . Слично, угао је једнак углу , јер су оба једнака збиру правог угла и угла . То значи да дуж прелази у , дуж прелази у , а дуж у .
7. Како четвороуглови и имају једнаке површине (рецимо, ), и шестоуглови и имају међусобно једнаке површине (2). Ако се из шестоугла изоставе подударни троуглови и , његова површина се смањује на збир површина квадрата и . Са друге стране, ако се из површине шестоугла изузму површине подударних троуглова и , добијена површина је једнака површини квадрата , а одатле непосредно следи једнакост ²+²=².

Доказ Џорџа Ејрија

Слика помоћу које је Ејри доказао Питагорину теорему. У белом петоуглу је био исписан доказ у стиху.

Енглески математичар и астроном, Џорџ Бидел Ејри, свој доказ је формулисао у стиху који је био исписан на пратећој слици, и у оригиналу гласи:

^[30]

што би се могло превести на српски језик са:

„Ја сам, као што се види, . Када на мени стоје два троугла, добија се квадрат над хипотенузом. Али, ако ја стојим на њима добијају се квадрати над катетама.「

Идеја доказа је да се уочи бели петоугао који је заједнички елемент за обе стране једнакости. На приложеној слици он је добијен тако што су квадрат странице и квадрат странице постављени на исту праву и наслоњени један на други, а затим су им одузета два плава правоугла троугла чије су катете дужина и . Површина тог петоугла је управо . Уколико се на њега надовежу два црвена троугла подударна са плавим троугловима, површина тог другог лика ће бити чиме је теорема доказана.

Уопштења теореме

Косинусна теорема

Неједнакостраничан оштроугли троугао

Види још: Косинусна теорема

Једна од значајних генерализација Питагорине теореме је косинусна теорема, која, поред правоуглих, важи и за оштроугле и тупоугле троуглове, односно, може се применити на произвољан троугао. Ако су темена, странице и углови троугла означени као на слици, важе једнакости:

${\displaystyle \ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,}$

${\displaystyle \ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,}$

${\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .}$^[31]

Сабирак вишка се може интерпретирати као двоструки скаларни производ вектора одређених одговарајућим страницама. Када је ${\displaystyle \gamma }$ прав угао, биће ${\displaystyle \cos \gamma =0}$, па се тада последња једнакост своди на Питагорину теорему.

Просторна Питагорина теорема

Тетраедар .

Један просторни аналогон Питагорине теореме је специјалан случај косинусне теореме за тетраедар, према којој, за површине страна тетраедра означене са ${\displaystyle \scriptstyle S_{O}}$, ${\displaystyle \scriptstyle S_{A}}$, ${\displaystyle \scriptstyle S_{B}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle S_{C}}$, које су наспрамне одговарајућим теменима у свом индексу, и за диедарске углове при ивицама (диедарски угао ), () и (), важи једнакост:

${\displaystyle S_{O}^{2}=S_{A}^{2}+S_{B}^{2}+S_{C}^{2}-2S_{B}S_{C}\cos \alpha -2S_{C}S_{A}\cos \beta -2S_{A}S_{B}\cos \gamma .}$^[32]

Ако су углови ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$, ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ и ${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$ прави, тако да је триедар при темену правоугли, претходна једнакост се своди на:

${\displaystyle S_{O}^{2}=S_{A}^{2}+S_{B}^{2}+S_{C}^{2},}$

што се може сматрати једним уопштењем Питагорине теореме у простору ${\displaystyle \scriptstyle R^{3}}$. Ову теорему је француски математичар Жан-Пол де Гија де Малвес презентовао париској Академији наука 1783. године, због чега носи његово име, иако је била позната још Декарту.^[33]

Парсевалова једнакост

Види још: Парсевалова једнакост

Уопштење Питагорине теореме на бесконачнодимензионим сепарабилним пред-Хилбертовим просторима је познато као Парсевалова једнакост. Ако је ${\displaystyle \scriptstyle X}$ један такав простор, а ${\displaystyle \scriptstyle \left\{e_{1},e_{2},\cdots \right\}}$ једна његова ортонормална база, тада за сваки вектор ${\displaystyle \scriptstyle x\in X}$ важи:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }\left(x\cdot e_{n}\right)^{2}=\left\|x\right\|^{2}}$^[20].

Последице и употреба теореме

Питагорине тројке

Види још: Питагорина тројка

Питагорина тројка је уређена тројка природних бројева , и за које важи једнакост ²+²=², односно, Питагорину тројку чине целобројне дужине страница правоуглог троугла. Вавилонске глинене таблице^[34] (енгл. ) које су датиране у период 1800—1600. п. н. е. показују да су такве тројке биле познате много пре Питагоре. Данас није најјасније какву су употребну вредност имала та знања. Према неким изворима^[35], чини се да је у питању списак готових решења једног проблема који је омогућавао древном предавачу математике да без додатних израчунавања одмах провери тачност ученичких радова.

Свака Питагорина тројка је облика (, , ), где је природан број и (, , ) примитивна Питагорина тројка (односно чине је узајамно прости бројеви). Различитих примитивних Питагориних тројки има бесконачно много и позната је њихова експлицитна параметризација.

Геометријска конструкција ирационалних бројева

Главни чланак: Конструктибилни бројеви

Корен из 2 је конструктибилан број - правоугли троугао са катетама јединичне дужине има дијагоналу дужине  √2

Откриће ирационалних бројева се приписује Питагорејцима, али није прецизно познато да ли су до њих дошли проучавањем геометријске средине или разматрањем дужине дијагонале квадрата.^[36] Поред тога што су установили да постоје несамерљиви бројеви, показали су да се они могу конструисати што је озбиљно угрозило њихово веровање да је у основи свега оно што се данас назива рационалним бројем, па је откриће строго чувано. Постоји легенда да је један од чланова братства, који се дрзнуо да јавно говори о томе, за казну утопљен у мору.^[37]

Иако се не могу изразити у облику количника два цела броја, неки ирационални бројеви се могу конструисати помоћу лењира и шестара. Тако се √2, који се понекад назива и Питагорином константом^[38], може добити као хипотенуза правоуглог троугла коме су обе катете јединичне дужине. Уколико су катете дужина 1 и √2, хипотенуза ће бити дужине √3 и слично за квадратни корен произвољног природног броја.

Не могу се сви позитивни ирационални бројеви конструисати помоћу лењира и шестара: такви, конструктибилни бројеви чине посебан подскуп скупа алгебарских бројева и стога их има пребројиво много, док је осталих, неконструктибилних реалних бројева непребројиво много; неконструктибилни су, на пример, бројеви ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$,  20°, (Ермит 1871), (Линдеман 1882), и многи други.

Базелски проблем

Види још: Базелски проблем

Италијански математичар Пјетро Менголи је 1644. године поставио питање одређивања збира реципрочних вредности квадрата свих природних бројева. Иако је поставка проблема релативно једноставна, на решење се чекало скоро читав век, јер је тек Ојлер 1735. године објавио резултат, за који је 1741. године и доказао да је заиста тражени збир. Коришћењем математичке нотације, Базелски проблем се може записати на следећи начин:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}},}$

а збир датог реда се може геометријски апроксимирати коришћењем Питагорине теореме. Конструкцијом правоуглог троугла са катетама дужине 1 и 1/2 добија се хипотенуза чија је дужина квадратни корен збира прва два члана датог реда. Уколико се затим над том хипотенузом као катетом конструише нови правоугли троугао коме је друга катета дужине 1/3, његова хипотенуза ће имати дужину једнаку квадратном корену из збира прва три члана истог реда. Продужавањем поступка у бесконачност дужина хипотенузе сваког следећег троугла је све ближа вредности ${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {6}}}}$.

Растојање између две тачке у аналитичкој геометрији

Види још: Аналитичка геометрија

Формула за растојање између две тачке у Декартовом правоуглом координатном систему је изведена помоћу Питагорине теореме. Ако су ${\displaystyle \scriptstyle A\,=\,(x_{a},y_{a})}$ и ${\displaystyle \scriptstyle B\,=\,(x_{b},y_{b})}$ две тачке у равни, онда је њихово еуклидско растојање:

${\displaystyle \left|AB\right|={\sqrt {(x_{a}-x_{b})^{2}+(y_{a}-y_{b})^{2}}}.}$^[39]

У општем случају, у вишедимензионом еуклидском простору, растојање између тачака ${\displaystyle \scriptstyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ и ${\displaystyle \scriptstyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$ се одређује формулом:

${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Фермаова последња теорема

Види још: Последња Фермаова теорема

Последња Фермаова теорема је тврђење које је Пјер Ферма записао без доказа на маргини Диофантове друге књиге Аритметике, а тиче се питања да ли постоје природни бројеви који би задовољавали уопштење једначине којом се дефинишу Питагорине тројке. Тврђење до кога је дошао отприлике 1637. године,^[40] да не постоје природни бројеви и за које важи једнакост

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}\,}$

кад год је природан број већи од 2, било је вековима претпоставка, а доказао га је тек Ендру Вајлс 1995. године.

Обрнута Питагорина теорема

Такозвана Обрнута Питагорина теорема гласи: Ако је површина квадрата конструисаног над хипотенузом једнак збиру површина квадрата конструисаних над катетама, онда је троугао правоугли.

Помињање Питагорине теореме у општој култури

У књизи Аутобиографија Бранислав Нушић наводи формулацију теореме у стиху:

Квадрат од хипотенузе,
То зна свако дете,
Раван је квадратима
Од обе катете.^[41]

Немачки песник и ботаничар, Аделберт фон Шамисо, посветио је једну своју песму открићу Питагорине теореме.^[42]

На једној од седам слика француског сликара Лорана де ла Ера (фр. ) које представљају седам слободних вештина, древни тривијум и квадривијум, под називом Алегорија Геометрије приказана је жена која у десној руци држи пергамент са неколико геометријских слика.^[43] Прва у низу је управо слика коју је Еуклид дао у свом доказу Питагорине теореме у првој књизи Елемената.^[21]

У филму Виктора Флеминга „Чаробњак из Оза「, снимљеном према истоименој књизи Л. Френка Баума, постоји сцена^[44] у којој један од главних јунака, Страшило, у тренутку када добија на поклон од Чаробњака диплому, демонстрира своје знање експлицитно наводећи нетачан исказ теореме у следећем облику:

Збир квадратних корена било које две странице једнакокраког троугла је једнак квадратном корену треће странице.^[45]

Страшилову формулацију цитира Хомер Симпсон у десетој епизоди петог серијала серије „Симпсонови「, након што употреби наочари Хенрија Кисинџера нађене у тоалету спрингфилдске нуклеарке. За разлику од Страшиловог исказа који остаје нетачан, у цртаној серији се из позадине чује глас који делимично исправља Хомера („У питању је правоугли троугао, идиоте.「).^[46]

У Грчкој, Јапану, Сан Марину, Македонији и Суринаму су издате поштанске марке са карактеристичним визуелним приказом Питагорине теореме.^[47]

У Уганди је 2000. године пуштен у оптицај новчић у облику правоуглог троугла, на чијој је задњој страни лик Питагоре и алгебарски запис теореме, уз текст „Питагорин миленијум「.^[48]

Карактеристична слика која симболише Питагорину теорему се може видети и на грбу шведског инжењера Кристофера Полхема (швед. ).^[49]

У седамнаестој и тридесет четвртој књизи енглеског издања стрипа Астерикс појављује се лик младог римског архитекте Квадратнадхипотенузиса (енгл. ), чије је име инспирисано теоремом.^[50]