Многогранник

Многогра́нник^[1][2][3][4], або багатогра́нник^[5][6][7][8] — геометрична фігура (геометричне тіло), частина тривимірного евклідового простору, обмежена замкненою поверхнею, яка складається з плоских многокутників, які називаються гранями многогранника.

Многогранник
Попередник	многокутник
Наступник	4-політоп
Досліджується в	стереометрія
Грань політопа	грань
Модельний елемент	правильний додекаедр, Малий зірчастий додекаедр і восьмикутна призмаd
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Многогранник у Вікісховищі

Мінімальний тороїдальний многогранник

Куб та піраміда є прикладами многогранників.

Окреме зацікавлення викликають правильні та опуклі многогранники.

Многогранник є 3-мірним прикладом більш загального поняття — політопу, яке використовується в довільній кількості вимірів.

Визначення

Многогра́нник, а точніше тривимірний многогра́нник — сукупність нескінченного числа плоских многокутників в тривимірному евклідовому просторі така, що:

1. кожна сторона будь-якого із многокутників є одночасно стороною іншого (але тільки одного), яке називається суміжним з першим (за цією стороною);
2. зв'язність: від будь-якого із многокутників, які складають многогранник, можна дійти до будь-якого із них, переходячи до суміжного з ним, а від цього, в свою чергу, до суміжного з ним, і т. д.

Ці многокутники називаються гранями, їх сторони — ребрами, а їх вершини — вершинами многогранника. Найпростішими прикладами многогранників є опуклі многогранники, тобто границя обмеженої підмножини евклідового простору що є перетином скінченного числа півпросторів.

Варіанти значення

Наведене означення многогранника набуває різного змісту в залежності від того, як означити многокутник, для якого можливі такі два варіанти:

• Плоскі замкнені ламані (навіть і ті, в яких є самоперетин);
• Частини площини, обмежені ламаними.

У першому випадку ми маємо поняття зіркоподібного многогранника. У другому — многогранник є поверхня, складена із многокутних кусків. Якщо ця поверхня сама себе не перетинає, то вона є повною поверхнею деякого геометричного тіла, яке також називається многогранником. Звідси з'являється третє означення многогранника, як самого геометричного тіла.

Зв'язані визначення

• Многогранник з ${\displaystyle n}$ гранями називають ${\displaystyle n}$-гранник.
  • Зокрема, тетраедр це приклад 4-гранника, додекаедр — 12-гранник, ікосаедр — 20-гранник і т. д.

Опуклий многогранник

Многогранник називається опуклим, якщо він увесь розташований по один бік від площини кожної з його граней.

Опукле тіло обмежене двома площинами у просторі буде прикладом нескінченного опуклого многогранника.

Варіації і узагальнення

• Поняття многогранника індуктивно узагальнюється за розмірністю, і зазвичай називається n-вимірний многогранник або політоп.
• Нескінченний многогранник допускає у визначенні кінцеве число необмежених граней і ребер.
• Криволінійні многогранники допускають криволінійні ребра і грані.
• Сферичний многогранник.

Див. також

• Біпіраміда
• Дуальний многогранник
• Напівправильний многогранник
• Правильний многогранник
• Призма (математика)
• Розгортка многогранника
• Теорема Александрова про опуклі многогранники
• Теорема Коші про многогранники
• Теорема Мінковського про многогранники^[ru]
• Одностійкий многогранник^[en] — многогранник, який завжди буде стояти лише на одній грані
• Призматоїд
• Гранування (геометрія)