Екзотична сфера

Екзоти́чна сфе́ра — гладкий многовид М, гомеоморфний, але не дифеоморфний стандартній n-сфері.

Історія

Перші приклади екзотичних сфер побудував Джон Мілнор у розмірності 7; він довів, що на ${\displaystyle S^{7}}$ існує як мінімум 7 різних гладких структур. Тепер відомо, що ${\displaystyle S^{7}}$ має 28 гладких структур.

Ці приклади, так звані сфери Мілнора, знайдено серед просторів ${\displaystyle S^{3}}$-розшарувань над ${\displaystyle S^{4}}$. Такі розшарування класифікують двома цілими числами ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — елементом ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}=\pi _{3}(\mathrm {SO} (4))}$. Деякі з цих розшарувань ${\displaystyle M_{a,b}}$ гомеоморфні стандартній сфері, і при цьому не дифеоморфні їй.

Оскільки ${\displaystyle M_{a,b}}$ одинзв'язні, згідно узагальненої гіпотези Пуанкаре, перевірка гомеоморфності ${\displaystyle M_{a,b}}$ і ${\displaystyle S^{7}}$ зводиться до підрахунку гомологій ${\displaystyle M_{a,b}}$; ця умова накладає певні умови на ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$.

У доведенні недифеоморфності Мілнор міркує від супротивного. Він зауважує, що многовид ${\displaystyle M_{a,b}}$ є межею 8-вимірного многовиду — простору ${\displaystyle W_{a,b}}$ розшарування диска ${\displaystyle D^{4}}$ над ${\displaystyle S^{4}}$. Далі, якщо ${\displaystyle M_{a,b}}$ дифеоморфний стандартній сфері, то ${\displaystyle W_{a,b}}$ можна заклеїти кулею, отримавши замкнутий гладкий 8-вимірний многовид. Підрахунок сигнатури отриманого многовиду через його числа Понтрягіна призводить до суперечності.

Класифікація

Зв'язна сума двох екзотичних n-вимірних сфер — також екзотична сфера. Операція зв'язної суми перетворює різні гладкі структури на орієнтованій n-вимірній сфері на моноід, званий моноідом екзотичних сфер.

n = 4

Для ${\displaystyle n\neq 4}$ відомо, що моноїд екзотичних сфер є абелевою групою, званою групою екзотичних сфер.

Ця група тривіальна для ${\displaystyle n=1,2,3,5,6}$. Тобто, в цих розмірностях існування гомеоморфізму на стандартну сферу ${\displaystyle S^{n}}$ тягне за собою існування дифеоморфізму на ${\displaystyle S^{n}}$. При ${\displaystyle n=7}$ вона ізоморфна циклічній групі порядку 28. Тобто, існує семивимірна екзотична сфера ${\displaystyle \Sigma ^{7}}$, така, що будь-яка 7-вимірна екзотична сфера дифеоморфна зв'язній сумі кількох копій ${\displaystyle \Sigma ^{7}}$; при цьому зв'язна сума 28 копій ${\displaystyle \Sigma ^{7}}$ дифеоморфна стандартній сфері ${\displaystyle S^{7}}$.

Група екзотичних сфер ізоморфна групі ${\displaystyle \Theta _{n}}$ класів орієнтованих h-кобордизмів гомотопічної n-сфери. Ця група скінченна та абелева.

Група ${\displaystyle \Theta _{n}}$ має циклічну підгрупу

${\displaystyle bP_{n+1}}$,

відповідну ${\displaystyle n}$-сферам, які обмежують паралелізовні многовиди^[en].

• Якщо n парне, то група ${\displaystyle bP_{n+1}}$ тривіальна.
• Якщо ${\displaystyle n\equiv 1{\pmod {4}}}$, то група ${\displaystyle bP_{n+1}}$ має порядок 1 або 2:
  • вона має порядок 1 за n = 1, 5, 13, 29 або 61;
  • вона має порядок 2 за ${\displaystyle n\equiv 1{\pmod {4}}}$, якщо при цьому ${\displaystyle n\neq 2^{k}-3}$.
• Якщо ${\displaystyle n\equiv 3{\pmod {4}}}$, тобто ${\displaystyle n+1=4m}$, то за${\displaystyle m\geq 2}$ порядок дорівнює

  • ${\displaystyle |bP_{4m}|=2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)B}$,

де ${\displaystyle B}$ — чисельник дробу ${\displaystyle |4B_{2m}/m|}$, ${\displaystyle B_{2m}}$ — числа Бернуллі. (Іноді формула дещо відрізняється через різні визначення чисел Бернуллі.)

Фактор-групи ${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}$ описуються через стабільні гомотопічні групи сфер^[en] за модулем образу J-гомоморфізму^[en]. Точніше, існує ін'єктивний гомоморфізм

${\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J}$,

де ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ — n-на стабільна гомотопічна група сфер, ${\displaystyle J}$ — образ J-гомоморфізму. Цей гомоморфізм або є ізоморфізмом, або має образ індексу 2. Останнє трапляється тоді й лише тоді, коли існує n-вимірний паралелізовний многовид з інваріантом Кервера^[en] 1.

Питання існування такого многовиду називається задачею Кервера. Станом на 2012 рік її не було розв'язано лише для випадку ${\displaystyle n=126}$. 30 травня 2024 року Чжоулі Сю (у співпраці з Вейнаном Ліном і Гуоженом Ваном) під час семінару в Принстонському університеті оголосив, що остаточний випадок розмірності 126 розв'язано і що існують многовиди інваріанту Кервера 1 у розмірності 126.^[1] Многовиди з інваріантом Кервера 1 побудовано в розмірностях 2, 6, 14, 30 і 62.

Розмірність n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Порядок Θn	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
Порядок bPn+1	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
Порядок Θn/bPn+1	1	1	1	1	1	1	1	2	2×2	6	1	1	3	2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Порядок πnS/J	1	2	1	1	1	2	1	2	2×2	6	1	1	3	2×2	2	2	2×2×2	8×2	2	24
Індекс	-	2	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-	-	2	-	-	-	-	-	-

Подальші значення в цій таблиці можна обчислити з наведеної вище інформації разом із таблицею стабільних гомотопічних груп сфер^[en].

У непарних розмірностях сфери ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1},\mathbb {S} ^{3},\mathbb {S} ^{5},\mathbb {S} ^{61}}$ і тільки вони мають єдину гладку структуру.^[2]

n ≠ 4

У розмірності ${\displaystyle n=4}$ практично нічого не відомо про моноїд гладких сфер, крім того, що він є скінченним або зліченно-нескінченним та абелевим. Невідомо, чи існують екзотичні гладкі структури на 4-вимірній сфері. Твердження, що їх немає, відоме як «гладка гіпотеза Пуанкаре».

Так зване скручування Глака полягає у вирізуванні трубчастого околу 2-сфери S² в S⁴ і вклеюванні його назад за допомогою дифеоморфізму його межі ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$. Результат завжди гомеоморфний S⁴, але в більшості випадків невідомо, чи він дифеоморфний S⁴.

Скручені сфери

Нехай дано дифеоморфізм ${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$, який зберігає орієнтацію. Склеївши дві копії кулі за відображенням ${\displaystyle f}$ між межами, отримаємо так звану сферу, скручену дифеоморфізмом ${\displaystyle f}$. Скручена сфера гомеоморфна стандартній, але, власне кажучи, не дифеоморфна їй.

Іими словами, многовид називається скрученою сферою, якщо він допускає функцію Морса рівно з двома критичними точками.

• За n ≠ 4 будь-яка екзотична сфера дифеоморфна деякій скрученій сфері.
• За n = 4 будь-яка скручена сфера дифеоморфна стандартній.

Див. також

• Теорія Серфа
• Многовид Бріскорна
• Дика сфера