Стрілка Зоргенфрея

На множині ${\displaystyle \mathbb {R} }$ усіх дійсних чисел множини ${\displaystyle \beta =\{[a,b),\ a,b\in \mathbb {R} ,\ a<b\}}$ утворюють базу топології ${\displaystyle \tau }$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Топологічний простір ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ називається стрілкою Зоргенфрея.

Властивості

• τ сильніша за евклідову топологію на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ цілком нормальний.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ задовольняє першу, але не задовольняє другу аксіому зліченності.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ сепарабельний.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ не метризовний.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ ліндельофів.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ не ${\displaystyle \sigma }$-компактний.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ не локально компактний.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ нульвимірний.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ цілком відокремлений.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ цілком незв'язний.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ не екстремально незв'язний.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ не розсіяний.
• ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ є метакомпактним і навіть паракомпактним простором.

Література

1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446