Зміна базису

У лінійній алгебрі, базис для векторного простору це лінійно незалежна множина для якої цей простір є лінійною оболонкою.^[1][2][3] Ця стаття здебільшого розглядає скінченно-вимірні векторні простори, але багато теорем мають місце для нескінченно-вимірних векторних просторів.^[3] Базис векторного простору розмірності n це множина з n векторів (α₁, …, α_n), які називають базисними векторами, з властивістю, що будь-який вектор цього простору можна представити як унікальну лінійну комбінацію базисних векторів.^[4][5][3] Матриці переходу операторів також визначені вибраним базисом. Через те, що часто бажано працювати з більше ніж одним базисом для векторного простору, у лінійній алгебрі засадничо важливо бути здатним легко переходити від координатних представлень векторів і операторів в одному базисі до їх тотожних представлень в іншому базисі. Такий перехід називається зміною базису.^[6][7][8]

Лінійні комбінації однієї базисної множини векторів (фіолетові) формують нові вектори (червоні). Якщо вони лінійно незалежні, то вони утворюють нову базисну множину. Лінійні комбінації, що пов'язують першу множину і другу становлять лінійне відображення, яке називається зміною базису.

Вектор представлено в двох різних базисах (фіолетові і червоні стрілки).

Хоча символ R, що ми його використовуємо нижче може позначати поле дійсних чисел, результати дійсні і, якщо R замінено на будь-яке поле F. Хоча нижче використано термінологію векторних просторів, обговорені результати дійсні і тоді коли R це комутативне кільце а векторний простір повсюдно замінено на вільний R-модуль.

Матриця переходу

Означення

Матрицею переходу в ${\displaystyle \ n}$-вимірному просторі від базису ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle }$ до базису ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle }$ називається квадратна матриця, стовпці якої — координати розкладу векторів ${\displaystyle \langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle }$ у базисі ${\displaystyle \langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle }$.

А саме нехай виконуються рівності (де всі коефіцієнти однозначно визначені, бо ${\displaystyle \langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle }$ є базисом):

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=\alpha _{11}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{12}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{1n}\mathbf {a} _{n}}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{2}=\alpha _{21}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{22}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{2n}\mathbf {a} _{n}}$

${\displaystyle \cdots }$.

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=\alpha _{n1}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{n2}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{nn}\mathbf {a} _{n}.}$

Тоді матриця переходу має вигляд:

${\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})={\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{21}&\ldots &\alpha _{n1}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}&\ldots &\alpha _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{1n}&\alpha _{2n}&\ldots &\alpha _{nn}\end{pmatrix}}}$

Якщо записувати базиси за допомогою вектор-рядків елементами яких є базисні вектори, то можна у матричній формі записати:

${\displaystyle \langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle =\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle \cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle {\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{21}&\ldots &\alpha _{n1}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}&\ldots &\alpha _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{1n}&\alpha _{2n}&\ldots &\alpha _{nn}\end{pmatrix}}.}$

Властивості

• Матрицею переходу від довільного базису ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle }$ до самого себе є одинична матриця.
• Якщо ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle }$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle }$ і ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\langle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{n}\rangle }$ є трьома базисами одного векторного простору і ${\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$ є матрицею переходу від ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ до базису ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ а ${\displaystyle B({\mathcal {B}},{\mathcal {C}})}$ є матрицею переходу від базису ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ до базису ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, то матриця переходу від ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ до ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ є добутком цих матриць:

${\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {C}})=B({\mathcal {B}},{\mathcal {C}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$

• Зокрема із попереднього випливає, що матриця переходу між будь-якими матрицями є невиродженою і матриця зворотного переходу є оберненою до даної матриці переходу:

${\displaystyle B({\mathcal {B}},{\mathcal {A}})=(B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}))^{-1}}$.

• Якщо розглядається векторний простір над полем дійсних чисел і базис ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle }$ є ортонормованим щодо деякого скалярного добутку на просторі, то базис ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle }$ буде ортонормованим тоді і тільки тоді, коли матриця переходу ${\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$ буде ортогональною. У випадку комплексних векторних просторів таке саме твердження справедливе для унітарних матриць і ермітових скалярних добутків.

Перетворення координат вектора при зміні базису

Нехай деякий довільний вектор ${\displaystyle \mathbf {x} }$ виражається через вектори у базисах ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle }$ і ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle }$ як

${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+\dots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\sum _{i}x_{i}\,\mathbf {a} _{i},}$

і

${\displaystyle \mathbf {x} =y_{1}\mathbf {b} _{1}+y_{2}\mathbf {b} _{2}+\dots +y_{n}\mathbf {b} _{n}=\sum _{i}y_{i}\,\mathbf {b} _{i}.}$

Ці рівності дозволяють ввести координатні вектор-стовпці і за допомогою матричного добутку і означення матриці переходу записати:

${\displaystyle \mathbf {x} =\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle \cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}){\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}.}$

Із однозначності запису вектора через базис звідси випливає формула перетворення координат при зміні базису:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}){\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}.}$

Тобто якщо координати деякого вектора у базисі ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ утворюють вектор стовпець ${\displaystyle y}$, а у базисі ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ утворюють вектор стовпець ${\displaystyle x}$, то

${\displaystyle x=B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})y.}$

Важливо помітити зміну порядку у цій формулі. Якщо матриця ${\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$ визначає перехід від базису ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ до базису ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, то формула перетворення координат задає перехід навпаки від координат у базисі ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ до координат у базисі ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Тому матрицю ${\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$ можна також називати матрицею переходу від координат у базисі ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ до координат у базисі ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

У такій інтерпретації можна також дати означення матриці переходу через матриці лінійного відображення. Стовпцями такої матриці ${\displaystyle M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$ є координати ${\displaystyle T(\mathbf {a} _{i})}$ у базисі ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Якщо вибрати тотожне лінійне перетворення то стовпцями матриці ${\displaystyle M(I;{\mathcal {B}},{\mathcal {A}})}$ будуть координати розкладів векторів із ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ у базисі ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Тому

${\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})=M(I;{\mathcal {B}},{\mathcal {A}})}$.

Зміна порядку базисів у правій і лівій частині не є помилково.

Приклади

Два виміри

У двовимірному просторі, двійка векторів отриманих обертанням стандартного базису проти годинникової стрілки на 45° є базисом простору. Матриця чиї стовпчики є координатами цих векторів у початковому базисі має вид:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}}$

Якщо ми хочемо перевести будь-який вектор простору в цей базис, нам треба помножити зліва його компоненти на обернену до цієї матрицю,^[9] а щоб перевести вектор з координатами у новому базисі у координати стандартного потрібно нові координати помножити на саму матрицю.

Три виміри

Нехай R буде новим базисом заданим за допомогою кутів Ейлера. Матриця цього базису в якості стовпців матиме компоненти кожного з векторів у стандартному базисі. Отже, ця матриця виглядає так (Див. статтю Ейлерові кути):

${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{bmatrix}\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\gamma }-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&-\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {s} _{\gamma }-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\alpha }\\\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\gamma }+\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {s} _{\gamma }+\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&-\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\alpha }\\\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&\mathrm {c} _{\beta }\end{bmatrix}}.}$

Знов-таки, будь-який вектор простору можна перевести в цей новий базис домножуючи його зліва на обернену до цієї матриці.

Перетворення матриці лінійного відображення при зміні базису

Нехай задані векторні простори ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle W}$ над одним полем і для простору ${\displaystyle V}$ вибрані два базиси ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$ і ${\displaystyle {\mathcal {A}}'=(\mathbf {a} '_{1},\ldots ,\mathbf {a} '_{n}),}$ а у просторі ${\displaystyle W}$ вибрані два базиси ${\displaystyle {\mathcal {B}}=(\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{m})}$ і ${\displaystyle {\mathcal {B}}'=(\mathbf {b} '_{1},\ldots ,\mathbf {b} '_{m}).}$ Нехай ${\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')}$ і ${\displaystyle B({\mathcal {B}},{\mathcal {B}}')}$ є відповідними переходами між базисами у двох просторах.

Якщо тепер ${\displaystyle T:V\to W}$ є лінійним відображенням то у відповідних базисах воно задається матрицями ${\displaystyle M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$ і ${\displaystyle M(T;{\mathcal {A}}',{\mathcal {B}}')}$. Якщо ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ є довільним вектором, координати якого у базисах ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$ можна записати за допомогою вектор стовпців ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$ і ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}}$, то ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$ є вектором простору ${\displaystyle W}$ координати якого у базисах ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {B}}'}$ можна записати за допомогою вектор стовпців ${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}}$ і ${\displaystyle {\begin{pmatrix}y'_{1}\\\vdots \\y'_{m}\end{pmatrix}}}$.

У цих позначеннях у матричному записі враховуючи означення матриць переходу і лінійного відображення:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y'_{1}\\\vdots \\y'_{m}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{{\mathcal {A}}'})\cdot {\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}.}$

Оскільки вказані рівності справедливі для координатних стовпців усіх векторів ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$, то ${\displaystyle B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{{\mathcal {A}}'})}$ є однозначно визначеною матрицею відображення ${\displaystyle T:V\to W}$ у базисах ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$ і ${\displaystyle {\mathcal {B}}'}$:

${\displaystyle M(T;{\mathcal {A}}',{\mathcal {B}}')=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')=(B({\mathcal {B}},{\mathcal {B}}')^{-1}\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}').}$

Зокрема якщо ${\displaystyle V=W}$ і ${\displaystyle T}$ є лінійним перетворенням, то його матриці у базисах ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ і ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$ пов'язані співвідношенням:

${\displaystyle M(T;{\mathcal {A}}')=(B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}'))^{-1}\cdot M(T;{\mathcal {A}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')}$.

У простіших позначеннях, якщо ${\displaystyle A}$ є матрицею перетворення у базисі ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, а ${\displaystyle A'}$ є матрицею перетворення у базисі ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$ і ${\displaystyle U=B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')}$, то:

${\displaystyle A'=U^{-1}AU}$.

Матриця білінійної форми

Білінійна форма на векторному просторі V над полем R це відображення V × V → R лінійне щодо обох аргументів. Тобто, B : V × V → R білінійна, якщо відображення

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$

${\displaystyle \mathbf {y} \mapsto B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )}$

лінійні для будь-якого y з V. Це визначення також застосовне для модуля над комутативним кільцем і гомоморфізмом модуля в якості лінійного відображення.

Матриця Грама G, що відповідає базису ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle }$ визначена так

${\displaystyle G_{i,j}=B(\mathbf {a} _{i},\mathbf {a} _{j}).}$

Якщо ${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x_{i}\mathbf {a} _{i}}$ і ${\displaystyle \mathbf {y} =\sum _{i}y_{i}\mathbf {a} _{i}}$ це представлення векторів x, y у цьому базисі, тоді білінійна форма задана так

${\displaystyle B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}G\mathbf {y} .}$

Матриця буде симетрична якщо білінійна форма B це симетрична білінійна форма.

Зміна базису

Якщо задано два базиси ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle }$ і ${\displaystyle {\mathcal {A}}'=\langle \mathbf {a} '_{1},\mathbf {a} '_{2},\ldots ,\mathbf {a} '_{n}\rangle }$, ${\displaystyle G}$ є матрицею Грама у першому базисі, а ${\displaystyle G'}$ є матрицею грама у другому базисі, то ці матриці пов'язана співвідношенням із матрицею переходу ${\displaystyle B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')}$:

${\displaystyle G'=B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')^{\mathsf {T}}\cdot G\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}').}$

Джерела

• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (вид. 5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (вид. 2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646